全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案(安徽賽區(qū))

1、中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會全國初中數(shù)學(xué)競賽試題【安徽賽區(qū)】、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.每道小題均給出了代號為 A, B, C, D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得 0分）11、如果a 22，那么1 一1 -2丄3 a的值為【(B)(C) 2(D) 2 2A解:Bv 3 a 12:廠-21因此原式22、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，滿足不等式x2y22x 2y的整數(shù)點坐標(biāo)x，y）的個數(shù)為【(A) 10(B) 9(C) 7(D) 5解：B解法一：x2 y22x2y化為x因為x、y均為整數(shù)，因此12x 1x 0分別解得

2、或y1y 12所以共有9個整點0解法二：x2 y2 2x 2y化為212它表示以點（1,1）為圓心，.2為半徑的圓內(nèi),（0,0），（ 1,0），（ 1,1），(1,2 )，(2,0 ),(2,1 ),(2,2 )畫圖可知，這個圓內(nèi)有 9個（0,2 ）、（ 0,1 ）3、如圖，四邊形 ABCD中, AC, BD是對角線， ABC是等邊三角形.ADC 30 , AD = 3 , BD = 5，則CD的長為【(A) 3.2(B) 4(C) 2.5(D) 4.5解：圖，以 CD為邊作等邊 CDE連接AE.由于AC = BC, CD = CE,BCD BCA ACD DCE ACD ACE .所以 BC

3、DA ACE BD = AE .又因為 ADC 30，所以 ADE 90 在 Rt ADE 中，AE 5, AD 3, 于是 DE=,AD2 4，所以 CD = DE = 4 .4、如果關(guān)于x的方程x2px q0（ p，q是正整數(shù)）的正根小于3，那么這樣的方程的個數(shù)是(A)5(B)(C)(D) 8解：ct p、q是正整數(shù)二4q,XiX20 正根為 P p2 4q 3P解得q 9 3p - Hq2'3'4'5'5、黑板上寫有1 , 1 ,2丄共100個數(shù)字.100每次操作先從黑板上的數(shù)中選取2個數(shù)a,b，然后(A) 2012(B)101(C) 100(D) 99解

4、：Cab ab (a 1)(b1)1 .計算結(jié)果與順序無關(guān)順次計算得：1(1 1)(; 1) 122 ,(211)(： 1) 1 3 ,3(31)(;1)14,1(99 1)(1001) 1 100二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6、如杲a, b,c是正數(shù)，且滿足a bc119,a b b c1ca10abc 砧那么的9b c c a a b刪去a, b，并在黑板上寫上數(shù)ab，則經(jīng)過99次操作后，黑板上剩下的數(shù)是【】值為11解：7在a b b ca b71°兩邊乘以a b c 9得3c a 9a b b cb 10即c aa b b c c a7、如圖，O O的半徑為20

5、,A是O O上一點以O(shè)A為對角線作矩形 OBAC，且OC12 延長BC ,與O O分別交于D, E兩點，解：如圖，設(shè) DE的中點為 M，連接OM，則OMDE 因為OB .20212216，所以O(shè)MOB OC16 1248CMOC2 OM 236, BM564CEBD (EMCM) (DMBM)8、設(shè)n為整數(shù)，且2右（nBCBMCM206436283)( n23）能被5整除，則所有n的個數(shù)為2解：1600 n n3 n25n2 9因此5 | n4 9，所以n41(mod 5)，因此 n5k1,或5k 2 2012 54022所以共有28則CE BD的值等于 52012-402=1600 個數(shù)9、

6、如果正數(shù)x,y, z可以是一個三角形的三邊長， 那么稱（x, y, z）是三角形數(shù).若（a, b, c）和（1 ,丄a b c均為三角形數(shù)，且 a< b< c,則旦的取值范圍是c解：3、5a 1c解：i2abc依題意得:111，所以b c a，代入（2）得bca1 1111，兩邊乘以a得ca bcca1-即C-a化簡得a2 3ac c2 0，兩邊除以c2得a23a 10所以35a35另一萬面:cc2c210、已知n是偶數(shù)，且1w n w 100.若有唯一的正整數(shù)對數(shù)為.c a c c c aaw bw c,所以a 1綜合得351c2 c(a, b)使得a2 b2 n成立，則這樣的n

7、的個解：依題意得n b a b a b但是422 ,242124 6 ,322 16 4 8, 40 220 4 10,4822441268 ,56 2284 14, 60 2 306 10, 64 2 32 4 1672236418612,80 2404 20 8 10, 882 44 4 22962484246168 12由于n是偶數(shù),a+b、a-b同奇偶，所以n是4的倍數(shù)當(dāng)1 w n w 100時，4的倍數(shù)共有25個這些不符合要求，因此這樣的n有25-12=13個三、解答題(共4題，每題20分，共80 分)11、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，AO 8, AB AC , sin ABC

8、CD與y軸交于點且Sacoe Saade 已知經(jīng)過B, C, E三點的圖象是一條拋物線，求這條拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式.AB 58，所以 AB = 10 .由勾股定理，得 BO AB2 AO26 易知 ABO ACO ,因此CO = BO = 6于是 A(0 , 8) , B(6 ,0) , C( 6,0).設(shè)點 D的坐標(biāo)為(m ,n).由 SacoeSaade，得 SacdbSaaob 1所以丄BC2111n AO BO , - 12( n) 8 6 .解得 n 4. 因此D為AB的中點，點 D的222坐標(biāo)為(3 ,84).因此CDAO分別為AB,BC的兩條中線，點EABC的重心，所以點

9、E的坐標(biāo)為(0 £).，3設(shè)經(jīng)過B, C, E三點的拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式為y a(x 6)( x 6) 將點E的坐標(biāo)代入，解得228a = 故經(jīng)過B, C, E三點的拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式為y x2 82727312、如圖，O 0的內(nèi)接四邊形 ABCD中, AC, BD是它的對角線，AC的中點I是厶ABD的內(nèi)心.求證: (1) 0I是厶IBD的外接圓的切線；(2) AB+ AD= 2BD.(1)如圖，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)和同弧上圓周角的性質(zhì)知CID IAD IDA,CDI CDB BDI BAC IDA IAD IDA 所以 CID CDI , CI = CD 同理，C

10、I = CB故點C是厶IBD的外心.連接 OA OC因為I是AC的中點，且 OA = OC,所以O(shè)l丄AC即Ol丄CI .故OI是厶IBD外接圓的切線.(2)如圖，過點I作IE丄AD于點E,設(shè)OC與BD交于點F.由Be (?D，知OCLBD.因為/ CBF =/ IAE , BC = CI = AI ，所以 Rt BCF 如 Rt AIE .所以 BF = AE .又因為I是厶ABD的內(nèi)心，所以AB AD BD 2AE BD BD 2BF BD .故AB AD 2BD .13、給定一個正整數(shù)n，凸n邊形中最多有多少個內(nèi)角等于 150 ?并說明理由.解:14、將2 , 3，n (n>2)任

11、意分成兩組，如果總可以在其中一組中找到數(shù)a, b, c (可以相同)使得 a b c ，求 n 的最小值解：當(dāng)n 2161時，把2,3,L , n分成如下兩個數(shù)組：2,3,28, 28 1 , L , 2161 和4,5 , L , 281 .在數(shù)組 2,3,28, 281, L, 2161 中，由于 3328,(28)22161 ,所以其中不存在數(shù)a , b , c，使得ab c .在數(shù)組 4,5,L , 28 1 中,由于 44 28 1,所以其中不存在數(shù)a , b , c，使得ab c .所以， n 216.下面證明當(dāng) n 2 時,滿足題設(shè)條件.不妨設(shè) 2 在第一組, 若 22 4也在第一組, 則結(jié)論已經(jīng)成立. 故不妨設(shè) 22 4在第二組. 同理可設(shè) 44 28