六年級下冊奧數(shù)試題數(shù)的整除特征(一)全國通用(含答案)

1、第 1 講 數(shù)的整除特征（一）知識網(wǎng)絡(luò)數(shù)的整除性質(zhì)主要有：（ 1 ）若甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)能被丙數(shù)整除。（ 2）若兩個數(shù)能被一個自然數(shù)整除，那么這兩個數(shù)的和與差都能被這個自然數(shù)整除。（ 3）幾個數(shù)相乘，若其中有一個因數(shù)能被某一個數(shù)整除，那么它們的積也能被這個數(shù)整除。（ 4）若一個數(shù)能被兩個互質(zhì)數(shù)中的每一個數(shù)整除，那么這個數(shù)也能被這兩個互質(zhì)數(shù)的積整除。（ 5）若一個數(shù)能被兩個互質(zhì)數(shù)的積整除，那么這個數(shù)也能分別被這兩個互質(zhì)數(shù)整除。（ 6）若一個質(zhì)數(shù)能整除兩個自然數(shù)的乘積，那么這個質(zhì)數(shù)至少能整除這兩個自然數(shù)中的一個。（ 7）個位上是0、 2、 4、 6、 8 的數(shù)都能被2整除

2、。（ 8）個位上是0 或者 5 的數(shù)都能被5 整除。（ 9）若一個整數(shù)各位數(shù)字之和能被3 整除，則這個整數(shù)能被3 整除。（ 10）若一個整數(shù)末尾兩位數(shù)能被4 整除，則這個數(shù)能被4 整除。（ 11）若一個整數(shù)末尾三位數(shù)能被8整除，則這個數(shù)能被8 整除。（ 12）若一個整數(shù)各位數(shù)字之和能被9 整除，則這個整數(shù)能被9 整除。重點·難點數(shù)的整除概念、性質(zhì)及整除特征為解決一些整除問題帶來了很大方便，在實際問題中應(yīng)用廣泛。要學好數(shù)的整除問題，就必須找到規(guī)律，牢記上面的整除性質(zhì)，不可似是而非。學法指導(dǎo)能被 2 和 5， 4 和 25， 8 和 125 整除的數(shù)的特征是分別看這個數(shù)的末一位、末兩位、

3、末三位。我們可以綜合推廣成一條：末n 位數(shù)能被（或 ）整除的數(shù)，本身必能被（或 ）整除；反過來，末 n 位數(shù)不能被（或 ）整除的數(shù)，本身必不能被（或 ）整除。例如，判斷253200、 371601能否被 16 整除， 因為， 所以只要看各數(shù)的末四位數(shù)能否被16 整除。 學習這一講知識要學會舉一反三。經(jīng)典例題 例 1 在 568 后面補上三個數(shù)字，組成一個六位數(shù)，使它能分別被3、 4、 5 整除，且使這個數(shù)盡可能小。思路剖析這個六位數(shù)分別被3、 4、 5 整除，故它應(yīng)滿足如下三個條件：（ 1 ）各位數(shù)字和是3 的奇數(shù)；（ 2）末兩位數(shù)組成的兩位數(shù)是4 的倍數(shù)；（ 3）末位數(shù)為0 或 5。按此條件

4、很容易找到這個六位數(shù)。解答不妨設(shè)補上三個數(shù)字后的位數(shù)為，由于這個六位數(shù)被4、 5 整除，因為被 4 整除，所以c 不能是 5 而只能是0，且 b 只可能是2、 4、 6、 8、 0。8又因，所以 3| （ 5+6+8+a+b+0），所以：為了使六位數(shù)b=2 時，3|b=4 時，3|b=6 時，3|b=8 時，3|b=0 時，3|5+6+8+a+2），5+6+8+a+4），5+6+8+a+6），5+6+8+a+8），5+6+8+a+0），a 可為0、3、6、9；a 可為1、4、7；a 可為2、5、8；a 可為0、3、6、9；a 可為2、5、8。盡可能地小，則a 應(yīng)取0、 b 應(yīng)取2、 c 應(yīng)取0

5、。故能被3、 4、 5 整除的最小六位數(shù)應(yīng)為568020。 例 2 四位數(shù)能同時被2、 3、 5 整除，問這個四位數(shù)是多少？思路剖析能同時被2、 3、 5 整除，所以滿足以下三個條件：個位數(shù)字B 在 0、 2、 4、 6、 8 之中，各位數(shù)字之和是3 的倍數(shù)，個位數(shù)B 在 0、 5 之中。第一個和第三個條件都是針對個位數(shù)字的，所以先根據(jù)第二個條件確定百位數(shù)字A。解答要使能同時被2 和 5 整除，個位數(shù)字只能是B=0；又要使能被 3 整除，所以各位數(shù)字之和8+A+1+0=9+A應(yīng)能被3 整除。 可以看出，當A取0、3、6、9 時， 各位數(shù)字之和9+A可以被3 整除。所求的四位數(shù)是8010、 83

6、10、 8610、 8910。 例 3 有兩堆糖果，第一堆有513 塊，第二堆有633 塊，哪一堆可以平均分給9 個小朋友而無剩余？思路剖析本題實際上是判斷513 與 633 能否被 9 整除。解答513 各位上數(shù)字之和是5+1+3=9，能被9 整除； 633 各位上數(shù)字的和是6+3+3=12，不能被9 整除。所以，第一堆可以平均分給9 個小朋友而無剩余，第二堆平均分給9 個小朋友還剩余3 塊。 例 4 有一個四位數(shù)是 9 的倍數(shù)，求A的值。思路剖析四位數(shù)是 9 的倍數(shù)，即能被9 整除，根據(jù)能被9 整除的數(shù)的特征，這個四位數(shù)9 的倍數(shù)。解答（ 1）當和是9 時，3+A+A+1=9，即2A=5，

7、所以A=2 5（舍）；（2）當和是18 時，3+A+A+1=18，即2A=14，A=7；（3）當和是27 時，3+A+A+1=27，即2A=23，可見A=115>10（舍）。所以，A的值是7。 例 5 一位馬虎的采購員買了72 只桶，洗衣時將購貨發(fā)票洗爛了，只能依稀看到：72 只桶，共679元（內(nèi)的數(shù)字洗爛了），請你幫他算一算，他一共用了多少錢？思路剖析用整除性質(zhì)：一個數(shù)能被兩個數(shù)和的積整除，那么這個數(shù)就能同時被這兩個數(shù)整除。例如，整數(shù)a 能被 15 整除，那么這個數(shù)一定能同時被3 和 5 整除。這種方法是分析整數(shù)問題的基本方法。解答將 67 9元看做679分，這是 72 只桶的總價，因

8、為單價×72= 679，所以679能被72 整除。72=8× 9，所以679 應(yīng)該能被 8 和 9 整除。如果679能被8 整除，那么它的末三位一定能被8 整除，即8|79 ，容易算出內(nèi)是2。因為 6792 能被 9 整除，所以其各數(shù)之和能被9 整除。+6+7+9+2= +24，顯然，中的數(shù)只能是 3。所以這筆賬是367 92 元。答：一共用了367 92 元。 例 6 在里填上適當?shù)臄?shù)字，使得六位數(shù)678能被8、 9 和 25 整除。解答解法一：根據(jù)8、 9 和 25 整除的數(shù)的特征很容易解出此題。這個六位數(shù)能被25 整除， 根據(jù)能被25 整除的數(shù)的特征知，六位數(shù)的末兩位

9、數(shù)可能是00、 25、 50、75；該數(shù)又能被8 整除，所以這個六位數(shù)的末三位數(shù)應(yīng)能被8 整除，而在800、 825、 850、 875 中只有800 滿足條件，所以這個六位數(shù)的個位、十位都是0；又因為這個六位數(shù)能被9 整除，所以這個六位數(shù)的各位數(shù)字之和（不妨設(shè)首位為x）為：x+6+7+8=21+x能被 9 整除，可推出x 只能為 6，所以這個六位數(shù)為667800。解法二：根據(jù)數(shù)的整除性質(zhì)（4）：如果一個數(shù)能被兩個互質(zhì)數(shù)中的每一個數(shù)整除，那么這個數(shù)也能被這兩個互質(zhì)數(shù)的積整除。因為 8× 25=200，而且 8 與 25 互質(zhì)，根據(jù)整除的性質(zhì)（4），所求的六位數(shù)能被200 整除，所以個

10、位、 十位都應(yīng)該是0。 然后由這六位數(shù)能被9 整除， 和解法一一樣的方法可知這個六位數(shù)為667800。 例 7 有一水果攤一天進貨6 筐，分別裝著香蕉和蘋果，重量為8 千克、 9 千克、 16 千克、 19 千克、 23 千克和 27 千克。頭一天賣出一筐蘋果，在剩下的5 筐中，香蕉的重量是蘋果重量的2 倍。問賣掉的那筐重多少千克？剩下的5 筐，哪幾筐是蘋果，哪幾筐是香蕉？思路剖析根據(jù)已知條件：剩下的5 筐中香蕉的重量是蘋果的2 倍?？赏瞥觯菏Ｏ碌? 筐中香蕉重量與蘋果重量之和是3 的倍數(shù)，即能被3 整除。解答因為 6 筐水果的總重量：8+9+16+19+23+27=102（千克），根據(jù)題意，

11、剩下的5 筐中香蕉與蘋果總重量之和是3 的倍數(shù)，那么賣出的一筐蘋果也必須是3 的倍數(shù)。從6 筐水果數(shù)中可知有兩種情況，賣出一筐蘋果可能是9 千克或是27 千克。如果賣出的一筐蘋果是9 千克，那么102 9=93（ 千克 ） 。根據(jù)剩下的5 筐中香蕉的重量與蘋果總重量的 2 倍，則蘋果為93÷（1+2） =31（千克）。從剩下的8、 16、 19、 23 和 27 中可知 8 千克和 23千克為蘋果（8+23=31 ）。最后剩下16 千克、 19 千克和 27 千克這三筐為香蕉。如果賣出的一筐蘋果是27 千克，同理，102 27=75（ 千克 ），蘋果為75÷ （1+2）=2

12、5（ 千克 ），即 16千克與 9 千克這兩筐。香蕉便是最后剩下的8 千克、 19 千克和 23 千克這三筐。所以本題有兩種答案：如果賣出的那筐是9 千克蘋果，則剩下的5 筐中 8 千克、 23 千克兩筐為蘋果， 16 千克、 19 千克和 27 千克三筐為香蕉。如果賣出的那筐是27 千克蘋果，則剩下的5 筐中 9 千克、16 千克兩筐為蘋果，8 千克、 19 千克、 23 千克三筐為香蕉。 例 8 把 1 至 1997 這 1997 個自然數(shù)依次寫下來，得一個多位數(shù)12345678910111213 1994199519961997 ，試求這個多位數(shù)除以9 的余數(shù)。思路剖析根據(jù)一個數(shù)能被9

13、整除的特征可以知道：一個自然數(shù)除以9 的余數(shù)，等于這個自然數(shù)各個數(shù)位上數(shù)字和除以9 的余數(shù)。所以上面求多位數(shù)除以9 的余數(shù)問題，便轉(zhuǎn)化為求1 至 1997 這 1997 個自然數(shù)中所有數(shù)字之和是多少的問題。解答解法一：因為1 至 9 這 9 個數(shù)字之和為45，所以 10 至 19， 20 至 29， 30 至 39，80 至 89，90 至 99 這十個數(shù)的各位數(shù)位上的數(shù)字和分別為：45+10， 45+20， 45+30， 45+40，45+80， 45+90。所以， 1 至 99 這 99 個自然數(shù)各位數(shù)字之和為：45+55+65+ +125+135=900因為 1 至 99這 99 個自然

14、數(shù)各數(shù)位上數(shù)字之和為900，所以 100 至 199， 200 至 299，800 至899， 900至 999這些 100 個數(shù)各位數(shù)位上的數(shù)字和分別為：900+100， 900+200， ， 900+800， 900+900。所以， 1 至 999 這 999 個自然數(shù)各位上數(shù)字之和為：900+1000+ +1700+1800=13500因為 1 至 999 這 999 個自然數(shù)各位上數(shù)字和為13500，所以1000 至 1999 這 1000 個自然數(shù)各數(shù)位上 的 數(shù) 字 和 為13500+1000=14500， 這 樣 1 至 1999 這 1999 個 自 然 數(shù) 各 數(shù) 位 的 數(shù)

15、 字 和 為 ：13500+14500=28000。 1998、 1999 這兩個數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字和為：27、 28。 28000 27 28=27945， 9能整除27945，所以多位數(shù)除以9 余 0解法二：將0 至 1999 這 2000 個自然數(shù)一頭一尾搭配成如下的100 組：（ 0， 1999），（ 1 ， 1998），（ 2，1997），（ 3， 1996），（4， 1995），（ 5， 1994），（6， 1993）（ 7， 1992），（ 8， 1991 ） （ 9，1990），（ 10，1989），（994， 1005），（ 995， 1004），（ 996，1003），（99

16、7， 1002），（998， 1001）（999， 1000），以上各組兩數(shù)之和為1999，并且每一組數(shù)相加時都不進位，1 至 1999 這 1999 個自然數(shù)的所有數(shù)字之和等于：（ 1+9+9+9）×1000=280001998、 1999 這兩個數(shù)各位數(shù)上的數(shù)字之和為：27、 28。 280002728=27945， 9 能整除27945，所以多位數(shù)除以9 余 0。解法三：因為依次寫出的任意連續(xù)9 個自然數(shù)所組成的多位數(shù)，一定能被9 整除。 而從 1 至 1997一共有 1997 個數(shù)， 1997÷ 9=2218，1990、1991、1992、1993、1994、199

17、5、1996、1997 這 8 個數(shù)所有數(shù)位上的數(shù)字和為19+20+21+22+23+24+25+26=180， 180 能被 9 整除，所以多位數(shù)除以9 余 0。點津為什么依次寫出的任意連續(xù)9 個自然數(shù)所組成的多位數(shù)一定能被9 整除呢？下面解釋一下。因為任意連續(xù)的9 個自然數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字和除以9 的余數(shù)，必定是0， 1， 2，7， 8 這 9 個數(shù)，而這9 個數(shù)的和為36， 36 能被 9 整除， 所以任意依次寫出的9 個連續(xù)自然數(shù)組成的多位數(shù)一定能被9 整除。1 這個四位數(shù)，同時能被2、 3、 4、 5、 9 整除，求此四位數(shù)。2 55 塊糖分給甲、乙、丙三人，甲分到糖的塊數(shù)是乙的2

18、倍，丙最少，但也多于10 塊，三個人各分幾塊？3已知4205 和 2813 都是 29 的倍數(shù)，1392和 7018是不是 29 的倍數(shù)？4老師買了72 本相同的書，當時沒有記住每本書的價格，只用鉛筆記下了用掉的總錢數(shù)13 7（ 其中為看不清的數(shù)字 ） 。5已知45 整除，求所有滿足條件的六位數(shù)。參考答案1 解：因為，所以 b=0 或 5。又因為，故b=0，即原四位數(shù)是，只需確定a。因為，所以 9| （ 4+5+a），則a=0 或9。又因為，所以a=0。所以，滿足條件的四位數(shù)是4500。2解：由題目條件可知，甲、 乙 =人分到的糖的塊數(shù)和是3 的倍數(shù)。 設(shè)丙分到x 塊糖， 那么 x> 10。 當 x=11或 x=12 時， 55-x 不能被 3 整除，丙不可能有11 塊或 12 塊糖。當x=13 時， 55-13=42， 42÷ 3=14。這時甲分到28