初中數(shù)學(xué)幾何經(jīng)典圖解

1、初中數(shù)學(xué)幾何經(jīng)典圖解與飛鏢族型共邊共ft1梨邊的飛字模3r至BL構(gòu)造等腺三角形角平分線四大咳型與圓的切圖相關(guān) 的轉(zhuǎn)嫌的迨直角三角形畫(huà)中的輔助線幾何角平分找十 平行線裁長(zhǎng)補(bǔ)短手拉手 三垂a就型領(lǐng)長(zhǎng)補(bǔ)短手拉手連半役構(gòu)造 等膻三角形將軍飲馬半角巳知RtA科邊中點(diǎn)， 構(gòu)西斜邊中蛀三點(diǎn) 全等模型Rt一邊 中點(diǎn)，考慮 中（fl線定理已知專(zhuān) 腹底邊 中點(diǎn)燈頂點(diǎn)逐播 用三線 合一但長(zhǎng)中線 或類(lèi)中線構(gòu) ifi全等立體圖形 展開(kāi)的 最短路工o上角與定點(diǎn) 兩定點(diǎn)一定長(zhǎng) 半角m型模型截長(zhǎng)補(bǔ)短如圖，若證明線段4艮CD、斯之間存在 EF"B+CD,可以考慮截長(zhǎng)補(bǔ)短法.截長(zhǎng)法：如圖，在E尸上截取EGNB,再證明

2、GF=CD即可.補(bǔ)短法：如圖，延長(zhǎng)彳至點(diǎn)，使BH=CD, 再證明/小M即可.模型分析,截K補(bǔ)短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系,截長(zhǎng)，指在長(zhǎng)線段中截取段等于已 知線段；補(bǔ)短，指將,條短線段延K,延長(zhǎng)部分等于已知線段.該類(lèi)題目中常出現(xiàn)零腰 三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句，可以采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形來(lái)完成證明過(guò)程.模型1 角的8字模型如圖所示，AC,即)相交于點(diǎn)O, 連接40、BC.結(jié)論：Z/1+ZD= Zfi+ZC.模型分析,證法一：乙力是力OD的夕卜角， ，乙A+乙D=幺AOB. AOB是AOC的外角， 乙B+乙C二乙OB.乙A+乙D二乙B+乙C.i正法:：乙力+乙£)+乙力。7

3、5二180° 乙4+乙2)=1800 -乙AOD. Z B+乙C+乙BOC= 180© , 48+乙0180。-LBOC.又乙AOD=2LBOC,'乙4+乙。=44+乙C.(1 )因?yàn)檫@個(gè)圖形像數(shù)字8,所以我們往往把這個(gè)模型稱為8字模型.(2)8字模型彳上往在兒何綜合題目中推導(dǎo)角度時(shí)用到.模型2 角的飛鏢模型如捺”療示，有盆論：乙。=心為十乙6+ 21C.解法一：如圖作射線Z.3造 4ABD 的夕卜用.乙3二乙B乙JL N4是的夕卜加， - Z_QC=Z_3+44.二乙月QC，=乙+上1 42+乙U. 乙 BDC= LBAC+ 乙B+ 乙 C.解法二：如圖連接BC.

4、 -4 2+乙 4+4 7)=180" , ZV)=18(r - ( 42+44 ). 2Ll + ZL2+N3+Z_4+44=18(r ,)乙X+Z.1 +乙3=18(r -(乙2十乙4). 乙八乙4+Z_l + zL3.(1 )內(nèi)為這個(gè)圖修修6例,所以我TJ往往把這個(gè)模型稱為飛鍥模型.(2 )飛然模型在幾何綜合胭目中推彳角度II寸使用.模型3邊的“8”字模型J如圖所示，AC,相交于點(diǎn)。,連接40、BC.結(jié)論：ACBD>AD+BC.模型分析: OA+OD>ADQ)OB+OC>BC由+得：OA+OD+OB+OOBCAD.即：AC+BD>AD+BC.如圖所示有結(jié)

5、論:AB+AO BD+CD.（模型4邊的飛鏢模型）模型分析如圖，延長(zhǎng)8Q交/1。于點(diǎn)£ : AB+AOAB+AE+EC,ABAE>BE9 AB+AOBE+EC. (T)v BE+EC=BD+DE+EC,DE+EOCD, BE+ECBD+CD,由可得:AB+AC> BD+CD.模型 手拉手ftll圖，起等幄三角形、/AHE/$B=AU, /tn=AE. 乙 A/fG/，MK=a結(jié)論： 連接 "/> CE. 則右1。aZsC/匕模型分析如圖.Z 6412 Z BAC：，I)AU.乙CAE= ADAE-乙DAC. Z 8AC= Z nAEf. 乙 BAD= AC

6、AE./£/，/)和/U人忖. /BAD qCAE.圖、圖EJJ"!”hE(1 )這個(gè)圖形是由兩個(gè)共頂點(diǎn)口頂用相等的等艇:用形構(gòu)成,在相刈位置企化的【司時(shí)， 始終存作對(duì)全等三加形.(2)如果把小等眼三用形的爬長(zhǎng)而作小產(chǎn)，大等睡三角形的腋代石作大，兩個(gè)等腰三 用形有公共頂點(diǎn),類(lèi)似大手為右小手.所以把這個(gè)模型稱為手拉手模型.C3)拉模次格和加然結(jié)令，在考試中作為幾何緣令蹈口 H1現(xiàn).模型三垂直全等模型女口4.LD=/_ BCA=乙今0CT、BOAC.知f 論：RtACZ> BtZO127.模型分析二說(shuō)到三浜百枚型，不得不說(shuō)一卜弦圖，弦圖的運(yùn)川在初中立向三角心中占有舉足杉術(shù)

7、的 地位.很買(mǎi)利用浜在倒用.勾股定理求邊長(zhǎng),相似求邊區(qū)用，會(huì)用到從弦博中文肉H1來(lái)的郤分兒何四修去求做.圖和圖就足我們經(jīng)格會(huì)見(jiàn)到的兩種弦圖.-：垂直圖形變形如F圖、圖，這也梃川炫圖瀕交向來(lái)的.Q模型1 倍長(zhǎng)中線或類(lèi)中線(與中點(diǎn)有關(guān)的線段)構(gòu)造全等三角形如圖，足'的中戰(zhàn)，延長(zhǎng) 4)至點(diǎn)“使，”>4九 易證：4/X?匕(SAS).如圖，。是中點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)點(diǎn)-使。Zk/。，易證：/為“qZSKDC (SAS).當(dāng)遇見(jiàn)中線或者中點(diǎn)的時(shí)候，可以?shī)试嚤堕L(zhǎng)中線或類(lèi)中線.構(gòu)造全等三角形,目的是對(duì) 已知條件中的線段進(jìn)彳了轉(zhuǎn)移.模型2已知等腰三角形底邊中點(diǎn)，可以考慮與頂點(diǎn)連接用“三線合一”連接中線模

8、型分析等腿一:角形中有底邊中點(diǎn)時(shí)，求作底邊的中線，利用等腰一角形“一線合一”的性質(zhì)得 到角相等或邊相笠，為解掰創(chuàng)造更多的條件，當(dāng)看見(jiàn)等腰三角形的時(shí)候，就應(yīng)想到一邊 等、珀等、二線合一。模型3已知三角形一邊的中點(diǎn)，可以考慮中位線定理取另一邊中點(diǎn)構(gòu)造中位線模型分析在三角形中，如果有中點(diǎn).可構(gòu)造三角形的中位級(jí)，利HJ三角形中位線的性質(zhì)定理：DE/BC.旦。£二/8(7來(lái)解題 中位線定理!中既有線段之的位置關(guān)系乂有數(shù)聯(lián)關(guān)系,該模型可以解決角相等.線段之間的倍半、相等及平行問(wèn)題.模型4已知直角三角形斜邊中點(diǎn)，可以考慮構(gòu)造斜邊中線構(gòu)造直用三角形斜邊上的中線在宜用三川形中.當(dāng)遇見(jiàn)斜邊中點(diǎn)時(shí).徑格會(huì)

9、作斜邊 卜的中線,利用在用 三角形斜邊h 的中線等于斜邊的一半，即8=/16, *1正叨線段間的數(shù)忸關(guān)系，回ILH以福到兩個(gè)笠 艇三角形： 38 和BCD.該模熨經(jīng)常會(huì)與中位線定理一起綜合應(yīng)用.槿型1角平分線上的點(diǎn)向兩邊作B線如田./"造/“。"的平分戰(zhàn)上點(diǎn)， 過(guò)點(diǎn)/作a _L QM于點(diǎn)A' ON 十點(diǎn) s ypj RB-RA.依型分析和ju/n平分然的的"而： 加、產(chǎn)分法t.的點(diǎn)利加防必帕如的小i等. 的陽(yáng)極型. 為山出i可、布 和奔. 二，r”修圣號(hào)創(chuàng)造更親的條件, 進(jìn)向“，以快迪找刎*府的突破1.橫型2趣取構(gòu)造51寸稱全等)槿型3角平分線 + 垂線構(gòu)

10、造等腰三角形如1閨.上&N. MQZ的平分裝上 啟.啟 射線。A/JL代忌一點(diǎn).在5V I .被JR CR=CC , rtie PR , 她4CPB g ZSC”.侵型分析利用m干分級(jí)閨形2/J稱性，乙加的兩3枷處*仝審三仙形，可以彳玲抻*UM 加相沿.利MJ對(duì)松件把一"紋NU戊加進(jìn)行轉(zhuǎn)任.誼超勿常他JH的 種好鹿技W.(CH 圖.坦MQZ 加，*/戈卜.-欣./萬(wàn)_ O萬(wàn) i"點(diǎn).廷氏4戶文CZ J aU B、 則4"，足呼 儂三"”段仰獨(dú)1比4N±e?”r以利j“k“要三”衫的 ,三線，介 也，/以彳小刊網(wǎng)個(gè)個(gè)館的it加三川”多,

11、進(jìn)mi待則對(duì)應(yīng)3. 對(duì)應(yīng)加和竹. 這個(gè)梭型巧妙，也把"j平分彼和三強(qiáng)行一聯(lián)系 廣聞求.模型4 角平分線+平行線如圖.圮 N"CN 的平分段上一點(diǎn). 過(guò)個(gè)點(diǎn)作 UQCZ, 攵VXW 丁點(diǎn)<?. ”/"><?比價(jià)鹿 三死 膨.橫型分析,行預(yù) 平分線HJ. 毋過(guò)加 邛分線I: ZX作”1附 邊的甘彳廣線, 樹(shù)苗凈胺一%* 為L(zhǎng)EW 紂i 論四供電安的條公. 體戲 廠介I*分戲與沙鹿三加形之M的傳切X笨.模型1定直線與兩定點(diǎn)ms結(jié)論A /1BBE4+P8的最八、任1為43當(dāng)兩定點(diǎn)4、8在直線/異 側(cè)時(shí)，在直線，上找一點(diǎn)P, 使M+PB最小.連接力8交直線

12、/于點(diǎn)R點(diǎn) P即為所求作的點(diǎn).?A./P11/乃的最小值為W11/ V8，當(dāng)兩定點(diǎn)4B在宜線/同 側(cè)時(shí),在直線/上找一點(diǎn)尸. 使得P"PB最小.作點(diǎn)夕關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn) 連接力夕交直線/丁點(diǎn)P.點(diǎn) P即為所求作的點(diǎn). AB / X X 7|以-P8|的最大值為481當(dāng)兩定點(diǎn)8在直線/同例 時(shí)，在直線/上找一點(diǎn)a使 得| PA-PB |最大.P連接AB并延長(zhǎng)交直線/于點(diǎn) P,點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn).；一":/ Bp 1 卜B1 %-尸5 |的最大值為力所當(dāng)兩定點(diǎn)力、4在直線/異側(cè) 時(shí)，在自線,上找一點(diǎn)憶使得1 PA-PR | 限大.作點(diǎn)8關(guān)于直線，的對(duì)稱點(diǎn), 連接AB1并延長(zhǎng)交亢

13、線/于點(diǎn) r點(diǎn)p即為所求作r內(nèi)點(diǎn)./B |以-尸例的最小值為0/洪、1/ 當(dāng)兩定點(diǎn)4月在此線/同側(cè) 時(shí)，在直線/上找一點(diǎn)P.使得 1 PA-PB |最小.連接/切，作的垂打平分 線交直線,于點(diǎn)尸.點(diǎn)尸即 為所求作的點(diǎn).模型2 角與定點(diǎn)模型作法結(jié)論A /: -B點(diǎn)?在N力。內(nèi)部.在OB 邊上找點(diǎn)。，。/邊上找點(diǎn) C.使得尸。）陶長(zhǎng)1成小.°B. 尸”分別作點(diǎn)關(guān)于"1 QB 的對(duì)稱點(diǎn)尸、尸、連接 尸'尸"，交。8于點(diǎn)C. D,點(diǎn)C、£即為所求.PCQ冏長(zhǎng)的及小值為產(chǎn)產(chǎn)'/: B點(diǎn)P在心6內(nèi)部在03 邊上找點(diǎn)小O力邊上找點(diǎn) U,使得尸Q+8地小

14、.、1 、jp.作點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn) , 過(guò)產(chǎn)作 PtC±OAOB=D9 點(diǎn)C、點(diǎn)Q即為所求.PD+CD的城小依為P C/1J B點(diǎn)、Q在乙，。夕內(nèi)部，在邊上找點(diǎn)£）,。4邊上 找點(diǎn)仁,使得四邊形尸。QC 周長(zhǎng)圾小.3。J- B1 Q，分別作點(diǎn)，、Q關(guān)于OA. 。"的對(duì)稱點(diǎn)產(chǎn).Q,連接 PQ分別交QC OB卜點(diǎn) C. D、點(diǎn)C. Q即為所求.PC+CD+DQ的級(jí)小他為 PQ'.所以四邊形尸2QU周 長(zhǎng)的段小胸為PQWQ模型3兩定點(diǎn)一定快模型作法結(jié)愴A .dA A9 卡、/ ,AM+MN+NB 的母 為人 “R+dM，N / 一 A,r將/向右平移4個(gè)單位

15、列，作4 關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)力，連接力力與直線 /交于點(diǎn)N,將點(diǎn)N向左平移”個(gè)單 位即為點(diǎn)A/、N如為所求.如圖，在克線/上找“、N兩點(diǎn) （M在左）,使得" AM+MN+NB五i 小，RMN=d.A -/ihB如圖.。/2.小乙的肉肉為4. 在6、4分別找“、z兩點(diǎn)，使 得 MN JL /-11 AM%MN+NB收小.! ,AM+MN+NB 的最 /卜值為AB+d八、B將力向下平移d個(gè)單位到/連接力0 交向線4千點(diǎn)”，過(guò)點(diǎn)N作A/"，/】， 連接力"點(diǎn)N即為所求.模型立體圄形展開(kāi)的最短路徑模型分析上圖為無(wú)底的圓柱體側(cè)面展開(kāi)圖，如果螞蟻從點(diǎn)/沿圓柱表面爬行闔.到點(diǎn)8的段

16、短 路徑就是展開(kāi)圖中“S的長(zhǎng)./S'= jAA;A&i ,做此類(lèi)題目的美鈾就是，正確屣開(kāi)立體 圖形，利用“兩點(diǎn)之向線段堆短”或“兩邊之和大于第三邊”準(zhǔn)確找出段短路徑.趣型分析,l_S 欠 11 ：/ 1= Z 2匕。論:八AD6A人U“寵1, <nin<u 三“心便遼”，匕"J林3m工±1午、丫彳把電.wMir-r. win ti7.w w 及八二切11 u« in、匕才合益/折產(chǎn)；/i：的本“在工 三打”修.樣例分析U.燦& N.1-V2備，愴： /zf</-> ZXXZ/C：!¥«“1 不彳乂

17、 ”蚪.皓4WPB. M”及蝌trU®，B加"&iC <1I ! ” GQ "，工"I *S MJ枇不只X 不，戊 K I七仲J X 格.412<r J 幌伙3伙M曲1”“為 411，以 ：”"f分.，共，0“，ill /X7UA> 一 AAHU 進(jìn)銀型3線三晤角型，門(mén)，侖; -fZ/C s C*Z?Zj'OEM分析1何”以4U攸J ： acF=aq X”.處”的8 N YC+ N DUE= N 0 N X ,34 ,乙B乙ACE. / /JUA； J A. 4ARU 4UD£.LEAZbU 4UC6

18、.ri 片 二寸知:點(diǎn)c -、11,.ai ;個(gè)桿i醇白勺“，的”、廣體工. 衣哈冷不"內(nèi)也不h口匕楨,取",物 :m $ 4ihcu電”j，攵*.、片<r她儂償pg”，幟，av、區(qū)劃midi+tj八*g桶似 A/DEBC.條伯；：Ab/L>E/BC結(jié)論：*左-HE 4BD£ BAF. 4ADE - 4ABe：如 ，BjD L>E _ AZ>AH RC7 AR.22£ =9+心= = i C AB AH AH 2反=1BU '+ 方 =74的"MM"除以 Q西） UJ DiZ仃抑視豕.會(huì)發(fā)現(xiàn)該模型中含有

19、兩個(gè)/型相似模型,它的結(jié)論是由兩個(gè)/幽相似的結(jié)論 相加而彳沙到的.該模型的縱用有助 尸提向綜令饒力水 平.模型分析田中.|JM柳J斤知的IHI網(wǎng)加和H .易得 2U 4PCR.圖中，由LWI的內(nèi)接pq必形的個(gè)外用等它的內(nèi)對(duì)加，納得乃U圖)中，已知，"切OC 卜點(diǎn)5, 如卜圖，過(guò)Y作門(mén)彳克AE,連接HE.W1 在 N EAM Z. E - 伙了.又 4BO Z_e>fZ?-9O,- ABAD=乙E=乙 C.從而/?U4模型6相似與旋轉(zhuǎn)陽(yáng)繞點(diǎn)川艇的</>£模型5與E1有關(guān)的冏單相似&按BD、CE.餌刎如圖>如國(guó).巳如 Q£BC 將/&#

20、163;>£ 觀點(diǎn)/旋軌一定的加度.結(jié)論：4ABD 4ACE.模型分析DE/3C,4D _ AE-'ABZ4C9AjiWJ<2) adaedabac.-乙 BAL>0 4 CAE 4ABD AAUE.垓模制難度蛟入，州山現(xiàn)在壓，山肋中，以仃加三加形為濘城山物，對(duì)學(xué)生的絳他刀處求較通.號(hào)瘀知識(shí)點(diǎn)布相似、旃秒、股定現(xiàn)、三加即效,屬優(yōu)8,生必領(lǐng)鄧加的 種理例.模型1連半徑構(gòu)造等腰三角形模型分析,在圓的相關(guān)題目中，不要忽略隱含的已知條件.我們逆格可以連接半徑構(gòu)造等腰三角形, 利川等腰三角形的性質(zhì)及河中的相關(guān)定理，解決角度的計(jì)算問(wèn)避L模型2構(gòu)造直角三角形如圖已知/是。的直徑.點(diǎn)。是陵I上一點(diǎn).連接AC. BC9 則4/CS=9(T.如圖，已知43是0。的一條弦，過(guò)點(diǎn)。作O£J./S, 如J OAOA2.模型分析(1)如圖，當(dāng)圖形中含有直徑時(shí)，構(gòu)造直15所對(duì)的圓周用是解決問(wèn)題的承孌思路，在 證明有關(guān)問(wèn)題中注意90。的圓周角的構(gòu)造.(2)如圖，在解決求弦氏、弦心跖、半徑問(wèn)題時(shí)，在圓中曲作弦心距或連接半徑作為 柿助線，利用弦心距、#在和半弦組成個(gè)百角三角形，再利用勾股定網(wǎng)進(jìn)行計(jì)算.模型3與圓的切線有關(guān)的