立體幾何好的題目及問題詳解

1、高三數(shù)學(xué)單元測試卷第九單兀簡單幾何體，交角與距離（時量:120分鐘 150分）一、選擇題：本大題共 10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1 .過三棱柱任意兩個頂點的直線共15條，其中異面直線有A. 18 對B. 24 對C. 30 對D . 36 對2 .一個與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為，則球的表面積為A. 8.2C. 4,2設(shè)三棱柱 ABC A1B1C1的體積為V, P、Q分別是側(cè)棱AA 1、CC1 上的點，且 PA = QC1,則四棱錐B APQC的體積為如圖，在多面體 ABCDEF中，已知 ABCD是邊長為正三角形，EF/AB,

2、 EF= 2，則該多面體的體積為.231設(shè)a、卩、丫為平面，m、n、l為直線，則mA .,l,m lB .C .,mD .如圖，正方體 ABCD A1 B1C1D1的棱長為1 ,5 .6 .的一個充分條件是m,n ,mO是底面A1B1C1D1的中心，貝U O到平面ABC1D1的距離為D1A11 1B1C17 不共面的四個定點到平面的距離都相等，這樣的平面共有C 6個D 7個8 .正方體 ABCD AiBiCiDi中，E、F分別為棱 AB、CiDi的中點，則直線 AiBi與平面AiECF所成角的正弦為它在xOy平面的正射影的面積為 8 ,9 在空間直角坐標(biāo)系 0 xyz中，有一個平面多邊形,在y

3、Oz平面和zOx平面的正射影的面積都為6，則這個多邊形的面積為iO將半徑都為i的4個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個正四面體的高的最小值為,32一632,632.634.32.63答題卡題號12345678910答案二、填空題：本大題共 5小題，每小題4分，共20分把答案填在橫線上ii 正三棱錐P ABC的四個頂點同在一個半徑為2的球面上，若正三棱錐的側(cè)棱長為2卡，則正三棱錐的底面邊長是 .12 .如圖，PA 丄平面 ABC，/ABC = 90 且PA = AB = BC= a ,則異面直線PB與AC所成角的正切值等于13 .已知球面上 A、B兩點間的球面距離是 1，過這兩點的球面半徑

4、的夾角為60 ，則這個球的表面積與球的體積之比是 .14 .下面是關(guān)于三棱錐的四個命題： 底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐. 底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐. 底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐. 側(cè)棱與底面所成的角都相等，且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐.其中，真命題的編號是 （寫出所有真命題的編號）.15 .在正方體 ABCD A1B1C1D1中，過對角線 BD1的一個平面交 AA1于E,交CC1于F,則 四邊形BFD1E 一定是平行四邊形 四邊形BFD1E有可能是正方形 四邊形BFD1E在底面ABC

5、D內(nèi)的投影一定是正方形 四邊形BFD1E有可能垂直于平面 BB1D以上結(jié)論正確的為 （寫出所有正確結(jié)論的編號）.三、解答題：本大題共 6小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16 .（本題滿分12分）在四棱錐V ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面 VAD丄底面ABCD .（I）證明AB丄平面VAD .(n)求面VAD與面VDB所成的二面角的大小.2和6，高為“ .3的等腰梯形.將它沿對稱17 .(本題滿分12分)如圖1，已知ABCD是上、下底邊長分別是軸00 1折成直二面角，如圖 2.(I)證明AC丄B01；(n)求二面角 0 AC 01的大小.G,使

6、得D點到平面PAG的距離為1 ,若存在，求出BGD18 .(本題滿分14分)如圖，在底面是矩形的四棱錐P ABCD中，PA丄底面 ABCD , PA = AB = 1 , BC = 2 .(1 )求證：平面 PDC丄平面PAD ;(2) 若E是PD的中點，求異面直線 AE與PC所成角的余弦值;(3) 在BC邊上是否存在一點的值；若不存在，請說明理由.19 .（本題滿分14分）如圖，已知三棱柱 ABC AiBiCi的底面是邊長為 均成45 角，且AiE丄BiB于E, AiF丄CCi于F.求證：平面 AiEF丄平面BiBCCi;求直線 AAi到平面BiBCCi的距離；2的正三角形，側(cè)棱 AiA與A

7、B、AC當(dāng)AAi多長時，點Ai到平面ABC與平面BiBCCi的距離相等.20 .（本題滿分i4分）如圖直角梯形 OABC 中，/COA = ZOAB = ,0C = 2, OA = AB = i , SO丄平面 OABC , 2SO=i，以O(shè)C、OA、OS分別為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系 O-xyz.ULU UUU求SC與OB的夾角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）；rh-S設(shè)n （i, p, q）,滿足n 平面SBC,求： n的坐標(biāo)； OA與平面SBC的夾角（用反三角函數(shù)表示）;0到平面SBC的距離.設(shè)k （1,r,s）滿足k seak OB填寫：k的坐標(biāo)為.異面直線SC、0B的距離為（注：只要

8、求寫出答案）21 .（本題滿分14分）ZBCA = 90 ,AAi = 2a, M、直三棱柱 ABC AiBiCi，底面 ABC 中，CA = CB= a,N分別是AiBi、AAi的中點.(I) 求BN的長；(II) 求 cos BA ,CB1；(III) 求證：AiB丄 CiM .簡單幾何體，交角與距離參考答案、選擇題題號12345678910答案CDCAABDACC二、填空題11 . 3;12 .3;13 .n；14 .15 .三、解答題16 .證明：（I）作 AD的中點0 ,貝U VO丄底面ABCD .建立如圖空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)正方形邊長為則 A（ 1，0，0），B1（2，1，0),1

9、0），D（- 2，0，0），V（0，0,二),2UUUUULT AB (0,1,0), AD(1,0,0),uuurAV3分uuu uult由 AB AD (0,1,0)(1,0,0)uuuABuuurAD4分UUU UULTAB AV (0,1,0)(uuuABUULTAV5分又 AB AAV = AAB丄平面 VAD（n）由（I）得uuuAB (0,1,0)是面VAD的法向量設(shè)n （1,y,z）是面vdb的法向量，則T ULT n VB T UUT n BD(1,y,z)(寺1,于)(1,y,z) ( 1, 1,0) 0uuu rcos AB,n(0,1,0) (1, 1,込3,21711

10、分又由題意知，面VAD與面VDB所成的二面角，所以其大小為V21arccos717 .解法一（I）證明 由題設(shè)知 OA丄00 1, OB丄OO 1.所以/ AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA丄OB.故可以O(shè)為原點，OA、OB、001所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖3，則相關(guān)各點的坐標(biāo)是 A ( 3, 0 , 0),B (0 , 3 , 0), C (0 , 1 , V 3 )O1 (0, 0 ,3 )從而 AC ( 3,1, .3),B01 (0, 3,、3), AC BQ所以AC丄BO1.(II )解：因為 B01 0C3330,所以 BO1 丄 OC ,由（I）

11、 AC丄BO1,所以BO1丄平面OAC, B01是平面OAC的一個法向量設(shè)n （x,y,z）是0平面O1AC的一個法向量,由n AC 0 3x y 3z 0,取乙方，得門(1,0,3). n 0Q 0 y 0.設(shè)二面角0 AC 01的大小為 ，由n、BQ的方向可知n , BO1 ,所以coscos n ,B01 = n B013In | |B01 丨 4 即二面角 0 AC 01的大小是朽arccos .4解法二（I）證明面角，即OA丄OB.從而AO丄平面 OBCO 1,OC是AC在面OBCO 1內(nèi)的射影.因為 tan OOiBOB3tan OiOC OiC3 ,OOiOOi 3所以/OO i

12、 B=60 ,QiOC=3O ，從而OC丄 BOi由三垂線定理得 AC丄BOi.（II ）解 由（I） AC 丄 BOi , OC 丄 BOi，知 BOi 丄平面 AOC.設(shè)OC AOiB=E ,過點E作EF丄AC于F,連結(jié)OiF（如圖4），貝U EF是OiF在平面 AOC內(nèi)的射影，由三垂線定理得OiF丄AC.所以/OiFE是二面角 O AC Oi的平面角由題設(shè)知 OA=3 , OOi= -.3 , OiC=i ,所以O(shè)iA.OA2 OO22、3, AC . OiA2 OiC2.13 ,從而OiFOiA OiC 2 3 AC又 OiE=OO i sin30 所以sinOiFEOiEJ3OiF即

13、二面角O AC Oi的大小是arcsin 3.4i8 .解：以A為原點,AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空i間直角坐標(biāo)系，則 A（0, 0,。）, B（i，0，0），C（i2，0，），D（，2, 0），E（，J ? P（，0， i）.uuuLULTuuuuuui UUUCD =（-i, 0,0）, AD =（0,2, 0）, AP=（0, 0, i）, AE=（0,i, ：） , PC =（i,2,-i）,UUU UUITQ CDgAD0 CDAD.UUUT UUU（i）CDgAP0 CDAPCD平面PAD平面PDC丄平面 PAD.-5CD平面PDCAPI ADA

14、uuu uuur tcos AE, PCuuu uurAEgPC-tuu uuu-|AE g PC|i2_3010，所求角的余弦值為妊10(3)假設(shè)BC邊上存在一點 G滿足題設(shè)條件，令 BG = x,則 DQ 丄平面 PAG ,即 DQ = 1 . V2S kdg = S 矩形 abcd ,則 G(1 , x, 0)，作 DQ 丄 AG ,UULT UUU UUU UUU |AG|gDQ| |AB|gAD| = 2uuu|AG | = 2,又 AG = XM ,故存在點G,當(dāng)BG=- 3時，使點D到平面PAG的距離為1.14分19 .解： CC1/BB1，又 BB1 丄A1E,.CC1 丄A1

15、E，而 CC1 丄A1F,：CC1 丄平面 A1EF,平面A1EF丄平面B1BCC14 分作A1H丄EF于H，貝U A1H丄面B1BCC1,A1H為A1到面B1BCC1的距離，在 A1EF中,A1E= A1F=2 , EF= 2 , a1EF為等腰 Rt且EF為斜邊， A1H為斜邊上中線，可1得 A1 H = EF= 19分2作A1G丄面ABC于G,連AG,貝U A1G就是A1到面ABC的距離，且 AG 是ZBAC的角平分線，A1G= 11.分cos45/cos ZA1 AG =cos30633 一 ,5 SAG J一1A1A = 1314分20 .解：(I)如圖所示:0 , 0), B (1

16、 , 1 , 0)0 , 0), S (0 , 0 , 1 ),0 (0 ,SCcos(2,0, 1),OB(1,1,0)SC, OBarccos5(n) SB (1,1, 1),CB( 1,1,0)r uur rn SB, nr uuun CBuuu r uirCB, n SB 1 pp 0,解得:p 1,q2,SBCn (1,1,2)過O作OEBC于 E,則 BC 面SOE , SOE SAB又兩面交于SE,過O作OH SE于H ,則OH連FH ,則 OFH為所求又OE . 2, SE .3SBC,延長OA與CB交于F,則OF 2OH咤SEarcs inL61 ,2sinL L L L 10分k的坐標(biāo)為1,1,2 ;OH14分.(II) A1(a, 0, 2a), C(0 , 0, 0),B1(0 ,2 a),21 .以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系(I) B(0，a，0)，N(a, 0，a)，0)2I BN | (a 0)2(0 a)2 (a BA1 = (a， a, 2a), CB1 = (0 , a, 2a), BA C