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文檔簡介

1、 定義定義: 把n個隨機變量 的整體 ( ) 稱為 n維隨機變量維隨機變量 , 1XXn, , 2X, 1XXn, 2X 炮彈命中點的平面位置要由水平距離X和垂直距離Y來確定,則炮彈命中點的平面位置(X,Y)也是二維隨機變量yx,XY0 一爐鋼的綜合質量至少要由鋼的硬度(X),含碳量(Y),含硫量(Z)等多個變量來描述,則一爐鋼的綜合質量至少要用三維隨機變量(X,Y,Z)來表示 二維分布函數(shù) 二維離散型隨機變量 二維連續(xù)型隨機變量重點掌握:二維離散型隨機變量的概率分布、重點掌握:二維離散型隨機變量的概率分布、 二維連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)二維連續(xù)型隨機變量分布函數(shù) 一一 二維分布函數(shù) 數(shù)為隨機變

2、量X的分布函R(實數(shù)集),則稱定義:對任意的 xXPxFx 分分布布函函數(shù)數(shù)的的定定義義 復復習習:一一維維隨隨機機變變量量x X0它表示點(X,Y)落在下圖陰影部分中的概率(圖1)XY yx ,xy0聯(lián)合分布函數(shù))二維分布函數(shù)(或二維的為隨機變量(X,Y)R(實數(shù)集),則稱,定義:對任意的 yYxXPyxFyx, . 1yxyxyxyxyyxxFFFFYXP111221222121,x1x2y2y10yx法性質得中的概率,可由概率加 矩形點(X,Y)落入任一 2. , 2121yyxxYX 事實上,由圖2可看出關系式 yxyxyxyyxxyxYXYXYXYXYX112112212122,則

3、yxyxyxyyxxyxYXPYXPYXPYXPYXP112112212122, 即yxyxyxyxyyxxFFFFYXP1, 11, 22, 12, 22121,y2yx22,0yx(圖2)x2x1y1的概率)落入矩形域,求(其它的分布函數(shù)為:設隨機變量例3 y6 ,4 x0 02 y0 ,2 x0 sinsin),( ),(1YXyxyxFYX3 y6 ,4 x0P解:6 sin0sin3 sin0sin6 sin4 sin3 sin4 sin)6 , 0()3 , 0()6 ,4 ()3 ,4 (FFFF)26(410436XY復習:一維隨機變量分布函數(shù)的性質 10 xF1)()( ,

4、0)()( FxFFxFlimlimxx)()( , bFaFba則若)()0( xFxF 3. 常用性質,對于任意的對于任意的 x 0, ,yxFxFlimy0, ,yxFFyxlim1, ,yxFFyxlim1,0yxF,對于任意的對于任意的 y0, ,yxFyFlimx)yF(x,)yF(x, 有 時 yy當對于固定的x,y),F(xy),F(x 有 時 xx當對于固定的y,21212121 ),()0,(),(), 0(yxFyxFyxFyxF32,yarctgCxarctgBAyxF 032y,-F yarctgCBA 解:022 , CBAy則則為為取取022 : CBA同理可得同

5、理可得122,F CBA又2C , 2B , 1A 2 解得解得量.則稱X為離散型隨機變 1,2,3KPXXP ,1,2,3KX的所有可能取值為復習:一維隨機變量XKKK離散型隨機變量.則稱(X,Y)為二維 示為他們的概率分布可表或可數(shù)多個孤立的值,Y只可能取有限個定義:若隨機變量X和 1., 2 , 1,j ijiYXPPbaiiXYaai1bbbj 2111121 jpppLL12 iiijpppLLMMMMMMLL1 1) ) , , 1 10 0 ( (其其中中j ji i, ,i ij ji ij jp pp pX12 kxxxLL12 kpppLLp1 1) ) , , 0 0 (

6、 (其其中中1 1k kk kk kp pp p 0 0 0 0 0 2 0 -3 5 7 YX2141411611612164132131RxxdttfxXpxF)()()(1.定義:設(X,Y)是二維隨機變量,如果存在一個非負的函數(shù)f(x,y), 使得對任意的實數(shù)x,y,都有 則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量. 其中f(x,y)稱為(X,Y)的(概率)分布密度,或稱為(X,Y)的(概率)聯(lián)合密度. yxdudvvufyYxXPyxF),(),(),(2.二維隨機變量分布密度性質: 復習 一維隨機變量分布密度性質: 0)( ) 1 (xf1)( )2(dxxfbadxxfaFbFbXap)

7、()()()( )4(0),( ) 1 (yxf 1),( )2(dxdyyxf 1),(dxdyyxf因為連續(xù)型隨機變量(X,Y)落在整個XOY平面上是必然事件,所以)f()(F xxx 處有:在連續(xù)點 (3)(3) 在 的連續(xù)點處有 yxf,yxfyxFXY, yxyyYyxxXxPyxf);(lim),( 0y,0 x (4) 二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)落在平面區(qū)域D上的概率可用如下公式表示,即 DdxdyyxfDYXP),(),(解:(1)由 可得 1),(dxdyyxfdxdyeecdycedxyxyx0000)(1000cdxecdxeecxyx1c0y0,x e 0 y)(x)

8、,(其他yxf即陰影部分)的概率Y)落在區(qū)域(如圖3求(X, (3) (2)求分布函數(shù) 求常數(shù)c; (1) 具有概率密度 Y)設二維隨機變量(X, 例5:0y0,x y)(xec 0),( 其它yxf0y21y=2-2x yxdudvvufyxF),(),( dydxeyxFyxyx00)(),()1)(1 (yxee 0y0, x )e)(1e(1 0yx),( 其它yxF在x,y的其它取值處F(x,y)=0, (2) 時當 0, 0 yxdyedxxyx10220)(3) 如圖0 xy21y=2-2x3996.0)11(2102edxeexxGdxdyyxfGYXp ),(),(3.二維連

9、續(xù)型隨機變量的兩種重要分布: 為區(qū)域G的面積.其中其它則概率密度為勻分布,Y)服從區(qū)域G上的均(X,如果二維連續(xù)隨機變量均勻分布 )( 0G),( )(1),( ) 1 (GSyxGSyxf).,(, 1, 0, 0)()(2 )()1 (21exp121),( 222121212221212222212121212221 )2(,NyyxxyxfY)服從二維正態(tài)分布則稱(X,且為常數(shù)其中Y)概率密度為(X,如果二維連續(xù)隨機變量二維正態(tài)分布 例6:設(X,Y)在 上服從均勻分布,求其分布函數(shù)F(x,y). )20,30(yxDDy)(x, 1/6 0),(其它yxf解:由于區(qū)域D的面積為6,所

10、以(X,Y)的分布密度為時,且2030yxxydydxyxFxy6161),(00 (2) 當0),(0 0yxFyx時,或 (1) 當yxXY230(x,y)時,且230yx361),(200 xdxdyyxFx (3) 當時,且203yx261),(300ydydxyxFy (4) 當1),( 2 3yxFyx時,且 (5) 當XY230綜上所述 2030yx且F(x,y)=0 x0或yX2) 二維隨機變量二維隨機變量(X,Y)分布函數(shù)為分布函數(shù)為F(x,y),而而X,Y都是隨機變量,各自具有分布函數(shù),分別都是隨機變量,各自具有分布函數(shù),分別記為記為FX(x)和和FY(y),依次稱為依次稱

11、為(X,Y)關于關于X和關和關于于Y的邊緣分布函數(shù)。的邊緣分布函數(shù)。( )()XFxP Xx( )()YFyP Yy(,)( ,)P Xx YF x ()(, )P XYyFy ,1. 連續(xù)型 ),(),()(dxxdyyxfxFxF(1).邊緣分布函數(shù)X 則 ,yx,f其聯(lián)合概率密度函數(shù)為,Y)是連續(xù)型的,如果二維隨機變量(XdyydxyxfyFy),(),()( FY (二). 分離散型與連續(xù)型兩種情況考慮邊緣分布密度分別稱為關于X,Y的及則記(2).邊緣分布密度 )( )( ),()( ),()( YXYXyfxfdxyxfyfdyyxfxf 2)-2(11-exp 121),(2222

12、yxxyyxf),(- yxdy 2)-2(11-exp 121),()( 2222Xyxfxydyyxfx解:222222222)1 () () ( 2 xxyxxxyxyyx)y(- 2-exp 21)( 2Y yyf同理可得:dy )-2(1 x)-(y-exp-11 2)2exp()( 22-22Xxxf)x(- 2exp21 dv 2-exp 2)2exp()( -1 x-y 22-2X2 xxxf則有 令例例2. 設設(X,Y)的分布密度是的分布密度是其它,00, 0,6),()23(yxeyxfyx求求:(X,Y)關于關于X和和Y的邊緣概率密度。的邊緣概率密度。解解:dyyxfx

13、fX),()(其它, 00,3)(3xexfxX其它, 00,2)(2yeyfyY例例3. 設設(X,Y)在區(qū)域在區(qū)域G=(x,y)|0yx 1上服從上服從 均勻分布,求均勻分布,求(X,Y)關于關于X,Y的邊緣概率的邊緣概率 密度。密度。解解:SG=1/22,( , )( , )0,x yGf x y其它02,01( )( , )0,2 ,010,xXdyxfxf x y dyxx其它其它102,01( )( , )0,2(1),010,yYdxxfyf x y dxyy其它其它其它, 0, 10 ,21ydxy其它, 0, 10 ,22yy2. 離散型ppbaiijji為為X的邊緣分布列,

14、記 并將1,2,ji, )Y,P(X 是離散型 ,Y)如果二維隨機變量(X )1,2,(i )P(X jijipappbjiijj為為Y的邊緣分布列,記 )1,2,(j )P(Y 同理稱例例8 袋中有袋中有2只白球和只白球和3只黑球,現(xiàn)進行有放回地取球,只黑球,現(xiàn)進行有放回地取球,定義下列隨機變量:定義下列隨機變量:第一次取出黑球第一次取出白球01X第二次取出黑球第二次取出白球01Y試給出試給出(X,Y)的聯(lián)合分布與邊緣分布。的聯(lián)合分布與邊緣分布。若采用不放回取球,情況又怎樣?若采用不放回取球,情況又怎樣? 隨機變量的獨立性是概率論中的一個重要概念隨機變量的獨立性是概率論中的一個重要概念兩事件

15、兩事件A,B獨立的定義是:獨立的定義是:若若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件則稱事件A,B獨立獨立 . 設設 X,Y是兩個是兩個r.v,若對任意的,若對任意的x,y,有有)()(),(yYPxXPyYxXP 則稱則稱X,Y相互相互獨立獨立 .兩隨機變量獨立的定義是:兩隨機變量獨立的定義是:)()(),(yFxFyxFYX用分布函數(shù)表示用分布函數(shù)表示,即即 設設 X,Y是兩個是兩個r.v,若對任意的,若對任意的x,y,有有則稱則稱X,Y相互相互獨立獨立 . 它表明,兩個它表明,兩個r.v相互相互獨立時,它們的聯(lián)合獨立時,它們的聯(lián)合分布函數(shù)等于兩個邊緣分布函數(shù)的乘積分布函數(shù)等于兩個邊緣分布函數(shù)

16、的乘積 . 若若 (X,Y)是離散型是離散型r.v ,則上述獨立性的,則上述獨立性的定義等價于:定義等價于:)()(),(jijiyYPxXPyYxXP則稱則稱X和和Y相互相互獨立獨立.對對(X,Y)的所有可能取值的所有可能取值(xi, yj),有有),(yxf其中其中是是X,Y的聯(lián)合密度,的聯(lián)合密度,)()(),(yfxfyxfYX 幾乎處處成立,則稱幾乎處處成立,則稱X,Y相互相互獨立獨立 .對任意的對任意的 x, y, 有有 若若 (X,Y)是連續(xù)型是連續(xù)型r.v ,則上述獨立性的,則上述獨立性的定義等價于:定義等價于:這里這里“幾乎處處幾乎處處成立成立”的含義是:的含義是:在平面上除去

17、面在平面上除去面積為積為0的集合外,的集合外,處處成立處處成立.分別是分別是X的的)(),(yfxfYX邊緣密度和邊緣密度和Y 的邊緣密度的邊緣密度 .如果二維隨機變量如果二維隨機變量(X,Y)滿足滿足,)()(),(yYPxXPyYxXP則稱則稱X與與Y相互相互獨立獨立 .連續(xù)型連續(xù)型)()(),(yfxfyxfYXl隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性對任意對任意x,y, 有有)()(),(yFxFyxFYX即離散型離散型,.2 , 1,jipppjiij例例4. 設設(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為的聯(lián)合分布函數(shù)為判斷判斷X與與Y是否獨立。是否獨立。2(1)arctan,0,0( , )0,xey

18、xyF x y其它因此,因此, X與與Y是獨立。是獨立。1,0( )( ,)0, xXexFxF x其它2arctan,0( )(, )0,YyyFyFy其它 解解:例例5.袋中有袋中有5個大小形狀相同的球,其中個大小形狀相同的球,其中4個白個白 球,球,1個紅球?,F(xiàn)甲、乙兩人輪流隨機取個紅球。現(xiàn)甲、乙兩人輪流隨機取 球球(不放回不放回),直到某人取出紅球為止,設,直到某人取出紅球為止,設 甲先取球。令甲先取球。令X、Y分別為結束取球時分別為結束取球時 甲、乙取球的次數(shù)。求甲、乙取球的次數(shù)。求(X,Y)的聯(lián)合分布的聯(lián)合分布 列,并判斷列,并判斷X、Y的獨立性。的獨立性。 因此,因此, X與與Y不獨立。不獨立。 解解:例例6.已知已知X、Y獨立獨立,完成下面表格。完成下面表格。XY12p.j123pi.1/81/81/611/241/43/41/121/31/43/81/2例例7. 設二維隨機變量設二維隨機變量(X,Y)的分布密度為:的分布密度為:)

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