初一數(shù)學(xué)第四、五講一元一次方程

1、真誠為您提供優(yōu)質(zhì)參考資料，若有不當之處，請指正。第三章：一元一次方程一、方程的有關(guān)概念1、方程的概念（1）含有未知數(shù)的等式叫方程。（2）在一個方程中，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)是1，系數(shù)不為0，這樣的方程叫一元一次方程。且一元一次方程的一般形式為：概念剖析：方程一定是等式，但等式不一定都是方程，只有含未知數(shù)的等式叫方程； 等式：用等號“=”表示相等關(guān)系的式子叫做等式； 一元一次方程的條件：是方程；只含有一個未知數(shù)；未知數(shù)的指數(shù)是1；知數(shù)的系數(shù)不為0；例1、下列式子是方程的是（ ）A、 B、 C、 D、例2、下列方程是一元一次方程的是( )A、 B、 C、 D、例3、已知方程是關(guān)于的一元

2、一次方程，求、的值；2、等式的基本性質(zhì)（1）等式兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或代數(shù)式，所得結(jié)果仍是等式。若，則或。（2）等式兩邊同時乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不能為0），所得結(jié)果仍是等式。若，則或；（3）對稱性：等式的左右兩邊交換位置，結(jié)果仍是等式。若，則；（4）傳遞性：如果，且，那么，這一性質(zhì)叫等量代換。例4、用適當?shù)臄?shù)或式子填空如果，那么_；如果，那么_；如果，那么_；如果，那么_；二、解方程1、解方程及解方程的解的含義 求得方程的解的過程，叫做解方程。使方程的左、右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。例5、方程的解為_；例6、如果是方程的解，則 _；例7、程的解為，則的值為（ ）

3、A、2 B、22 C、10 D、2例8若與互為相反數(shù)，則_，_；2、移項的有關(guān)概念把方程中的某一項改變符號后，從方程的一邊移到另一邊，這種變形的過程叫做移項。這個法則是根據(jù)等式的性質(zhì)推出來的，是解方程的依據(jù)。要明白移項就是根據(jù)解方程變形的需要，把某一項從方程的左邊移到右邊或從右邊移到左邊。知識概括：移項不僅僅是位置變化，而是將方程的某一項改變符號后，從方程的一邊移到另一邊；移項必變號，“+”變“”，“”變“+”；“” 變“”，“”變“”；即移加變減，移乘變除，移減變加，移除變乘；3、解一元一次方程的步驟解一元一次方程的步驟主要依據(jù)注意問題1、去分母等式的性質(zhì)2注意拿分母的最小公倍數(shù)乘遍方程的每

4、一項，切記不可漏乘某一項，分母是小數(shù)的，要先利用分數(shù)的性質(zhì)，把分母化為整數(shù)，若分子是代數(shù)式，則必加括號。2、去括號去括號法則乘法分配律嚴格執(zhí)行去括號的法則，若是數(shù)乘括號，切記不漏乘括號內(nèi)的項，減號后去括號，括號內(nèi)各項的符號一定要變號。3、移項等式的性質(zhì)1越過“=”的叫移項，屬移項者必變號；未移項的項不變號，注意不遺漏,移項時把含未知數(shù)的項移在左邊，已知數(shù)移在右邊，書寫時，先寫不移動的項，把移動過來的項改變符號寫在后面。4、合并同類項合并同類項法則注意在合并時，僅將系數(shù)加到了一起，而字母及其指數(shù)均不改變。5、系數(shù)化為1等式的性質(zhì)2兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，記住未知數(shù)的系數(shù)永遠是分母（除數(shù)），切不可

5、分子、分母顛倒。6、檢驗知識窗口：解相同的方程稱為同解方程； 方程兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或代數(shù)式，方程的解不發(fā)生改變（方程同解原理1）；方程兩邊同時乘以（或除以）同一個不為0數(shù)或代數(shù)式，方程的解不發(fā)生改變（方程同解原理2）；例9、解程 解：根據(jù)（ ）得： （ ）得：根據(jù)（ ）得： （ ）得：根據(jù)（ ）得：請選擇正確的答案填如上面的括號內(nèi)A、去括號 B、合并同類項 C、方程等式的性質(zhì)1 D、方程等式的性質(zhì)2例10、各方程 二、列方程初步（列代數(shù)式）1、列代數(shù)式（1）在解決一些實際問題時，往往需要先把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語用含有數(shù)、字母和運算符號的式子寫出來，這就是列代數(shù)式。（2）列代數(shù)式

6、的實質(zhì)也就是把文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)符號語言，即用代數(shù)式表示。（3）正確列代數(shù)式的關(guān)鍵是：認真審題，理清數(shù)量關(guān)系，抓住關(guān)鍵性的詞語（字句）；正確判斷各數(shù)量關(guān)系中的運算順序；要理解并掌握基本的數(shù)量關(guān)系。如：路程問題：路程=時間速度 速度=路程時間 時間=路程速度 平均速度=總路程總時間輪船航行問題：順水航行的速度=靜水速度+水流速度 逆水航行的速度=靜水速度水流速度工程問題：工作量=工作時間工作效率 工作效率=工作總量工作時間 工作時間=工作總量工作效率價格問題：總價=單價數(shù)量 單價=總價數(shù)量 數(shù)量=總價單價利潤問題：利潤=售價成本 售價=利潤+成本 成本=售價利潤數(shù)字問題：表示數(shù)字的方法： （其中

7、、表示個位、十位、百位、千位萬位的數(shù)字）。面積問題：記住特殊圖形的面積公式，非特殊圖形的面積可用“面積分割補法”去計算。例11、用代數(shù)式表示甲乙兩數(shù)和的平方與甲乙兩數(shù)的平方的差的積；除的商與的差的2倍大1的數(shù)；例12、設(shè)表示任意一個整數(shù)利用含有的代數(shù)式表示：任意一個偶數(shù)；任意一個奇數(shù)；不能被3整除的數(shù)；三個連續(xù)偶數(shù)的平方和；例13、一項工程甲單獨完成需要天，乙單獨完成需要天，若兩隊合作，完成這項工程需要多少天？例14、一個水池裝有兩條進水管，單開甲進水管，小時可以將空池注滿，單開乙進水管， 小時可以將空池注滿，則兩管一起開，一小時可以注水多少？例15、甲乙兩人行走，甲走完全程需要時間為，乙走完

8、全程需要時間為，則兩人一小時共走全程的幾分之幾？例16、一輪船在A、B兩地航行，已知A、B兩地相距，從A到B是順水，從B到A是逆水，輪船在靜水中的速度為每小時，水流的速度為每小時，求輪船在A、B兩地間往返一次的平均速度。例17、輪船在A、B兩地航行，靜水中的速度為每小時，水流的速度為每小時，求輪船在A、B兩地間往返一次的平均速度。例18、張大佰從報社以每份0.4元的價格購進了份報紙，以每份0.5元的價格售出了份，剩余的以每份0.2元的價格退回了報社，則張大佰賣報收如_元。例19、某超市為了促銷，常用打折的方法.某種商品的零售價為元，先后兩次打折，第一次打八折，第二次打七折，兩次打折后的零售價為

9、多少元，比原價便宜多少元？例20、甲、乙兩人從同地出發(fā)同向而行，甲每小時走，乙每小時走（），乙比甲先走小時， 小時后甲可以追上乙。例21、上等米每千克售價為元，次等米每千克售價為元，取上等米千克和次等米千克，混合后為了價格持平，則混合后的大米每千克售價應(yīng)為多少元？例22、隨著計算機技術(shù)的迅猛發(fā)展，電腦價格不斷降低，某品牌電腦按原售價降低m元后，又降價10%，現(xiàn)售價為n元，那么該電腦的原售價為多少？例23、如果用名同學(xué)在小時內(nèi)搬運塊磚，那么名同學(xué)以同樣的速度搬運塊磚需要多少時間？例24、種商品每件進價為元，按進價增加25定出售價，后因庫存積壓降價，按售價的九折出售，每件還能盈利多少元？例25、一

10、個四位數(shù)，它的千位數(shù)字、百位數(shù)字、十位數(shù)字和個位數(shù)字分別是、把這個四位數(shù)的順序逆過來（如7643變?yōu)?467），求所得的四位數(shù)與原來的四位數(shù)的差。例26、（1）一個偶數(shù)和一個奇數(shù)的和是奇數(shù)嗎？為什么？（2）三個連續(xù)自然數(shù)之和是三的倍數(shù)？為什么？例27、一個兩位數(shù)，當它的個位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍時，它能被12整除嗎？為什么？三、列方程解應(yīng)用題1、列方程解應(yīng)用題的一般步驟（1）將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題；（2）分析問題中的已知量和未知量，找出相等關(guān)系；（3）設(shè)未知數(shù)，列出方程； （4）解方程； （5）檢驗并作答。2、一些實際問題中的規(guī)律和等量關(guān)系（1）日歷上數(shù)字排列的規(guī)律是：橫行每整行排列7個連續(xù)的

11、數(shù)，豎列中，下面的數(shù)比上面的數(shù)大7。日歷上的數(shù)字范圍是在1到31之間，不能超出這個范圍。（2）幾種常用的面積公式：長方形面積公式：，為長，為寬，為面積；正方形面積公式：，為邊長，S為面積；梯形面積公式：，、為上下底邊長，為梯形的高，為梯形面積；圓形的面積公式：，為圓的半徑，為圓的面積；三角形面積公式：，為三角形的一邊長，為這一邊上的高，為三角形的面積。（3）幾種常用的周長公式：長方形的周長：，為長方形的長和寬，為周長。正方形的周長：，為正方形的邊長，為周長。圓：，為半徑，為周長。（4）柱體的體積等于底面積乘以高，當休積不變時，底面越大，高度就越低。所以等積變化的相等關(guān)系一般為：變形前的體積=變

12、形后的體積。（5）打折銷售這類題型的等量關(guān)系是：利潤=售價成本。（6）行程問題中關(guān)建的等量關(guān)系：路程=速度時間，以及由此導(dǎo)出的其他關(guān)系。（7）在一些復(fù)雜問題中，可以借助表格分析復(fù)雜問題中的數(shù)量關(guān)系，找出若干個較直接的等量關(guān)系，借此列出方程，列表可幫助我們分析各量之間的相互關(guān)系。（8）在行程問題中，可將題目中的數(shù)字語言用“線段圖”表達出來，分析問題中的數(shù)量關(guān)系，從而找出等量關(guān)系，列出方程。例28、甲、乙、丙三人，甲每分鐘走60，乙每分鐘走67.5，丙每分鐘走75，如果甲、乙兩人在東村，丙在西村，三人同時相向而行，丙遇到乙后2分鐘又遇到了甲，求東、西兩村的距離。例29、某工廠甲、乙、丙三個工人每天

13、生產(chǎn)的零件數(shù)，甲和乙的比是34，乙和丙的比是23。若乙每天所生產(chǎn)的件數(shù)比甲和丙兩人的和少945件，問每個工人各生產(chǎn)多少件？例30、一架飛機飛行于兩城之間，順風(fēng)飛行需要5小時30分鐘，逆風(fēng)飛行需要6小時，已知風(fēng)速是每小時24，求兩城之間的距離。例31、某牛奶加工廠現(xiàn)有鮮奶9噸，若在市場上直接銷售，每噸可獲利500元，制成酸奶銷售，每噸可獲利1200元；制成奶片銷售，每噸可獲利2000元。該工廠的生產(chǎn)能力是：如果制成酸奶，每天可加工3噸；制成奶片，每天可加工1噸，受人員限制，兩種加工方式不可同時進行，受氣溫限制這批牛奶必須在4天內(nèi)全部銷售或加工完畢為此，該廠設(shè)計了兩種可行方案： 方案1、盡可能多的

14、制成奶片，其余直接銷售鮮奶;方案2、將一部分制成奶片，其余部分制成酸奶銷售. 無論采取哪一種方案，都必須保證4天完成，請設(shè)計一下，選哪一種方案好?為什么? 例32、某初一學(xué)生在做作業(yè)時，不慎將墨水打翻，使一道作業(yè)搞污且只能看到如下字樣：“甲、乙兩地相距40，摩托車的速度為45，貨車的速度為35， ？”（涂墨部分表示被墨水覆蓋的若干文字）請將這道作業(yè)補充完整，并將列方程解答。例33、有一些相同的房間需要粉刷墻面。一天3名一級技工去粉刷8個房間，結(jié)果其中有50平方米墻面未來得及刷；同樣的時間內(nèi)5名二級技工，粉刷了10個房間之外，還多刷了40平方米的墻面。每名一級技工比二級技工一天多刷10平方米墻面

15、，求每個房間需要粉刷的墻面面積。例34、已知購買甲種物品比乙種物品貴5元，某人用300元買到甲種物品10件和乙種物品若干件，這時，他買到甲、乙物品的總件數(shù)比把這筆款全部都購買甲種物品的件數(shù)多5件，問甲、乙物品每件各多少元？例35、某學(xué)校七年級8個班進行足球友誼賽，采用勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分的記分制。某班與其他7個隊各賽1場后，以不敗的戰(zhàn)績積17分，那么該班共勝了幾場比賽？例36、A、B兩地間的路程為360，甲車從A地出發(fā)開往B地，每小時行駛72；甲車出發(fā)25分鐘后，乙車從B地從發(fā)開往A地，每小時行駛48，兩車相遇后，兩車仍然按原來的速度繼續(xù)行駛，那么相遇以后，兩車相距100時

16、，甲車從出發(fā)開始共行駛了多少小時？例37、甲、乙兩種商品的單價之和為100元，因為季節(jié)變化，甲商品降價10%，乙商品提價5%，調(diào)價后，甲、乙兩商品的單價之和比原計劃之和提高2%，求甲、乙兩種商品的原來單價？例38、為了拓展銷路，商店對某種照相機的售價作了調(diào)整，按原售價的8折出售，此時的利潤率為14%.若此種照相機的進價為1200元，該照相機的原售價的多少元？例39、右圖是由9個等邊三角形拼成的六邊形，若已知中間的小等邊三角形的邊長是a，則六邊形的周長是 .例40、右圖是某風(fēng)景區(qū)的旅游路線示意圖，其中B、C、D為風(fēng)景點，E為兩條路的交叉點，圖中的數(shù)據(jù)為相應(yīng)兩點間的路程（單位：），CEBDA11.

17、20.411.6以學(xué)生從A處出發(fā)，以2的速度步行游覽，每個景點的逗留時間均為0.5小時。（1） 當他沿著路線ADCEA游覽回到A處時，共用了3小時，求CE的路程；（2） 若此學(xué)生打算從A處出發(fā)，步行速度與在每個景點逗留的時間不變，且在4小時內(nèi)看完三個景點返回到A處，請你為他設(shè)計一條步行路線，并說明你的設(shè)計理由（不考慮其他因素）。練習(xí)題：一、填空題：1、請寫出一個一元一次方程：_。2、如果單項式與是同類項，則m=_。3、如果2是方程的解，求a=_。4、代數(shù)式的值是互為相反數(shù)，求x=_。5、如果|m|=4，那么方程的解是_。6、在梯形面積公式S = 中，已知S=10，b=2，h=4求a=_。7、方

18、程是一元一次方程，則_。二、選擇題：1、三個連續(xù)的自然數(shù)的和是15，則它們的積是（ ）A、125 B、210 C、64 D、1202、下列方程中，是一元一次方程的是（ ）（A） （B） （C） （D）3、方程的解是（ ）（A） （B） （C） （D） 4、已知等式，則下列等式中不一定成立的是（ ）（A） （B） （C） （D） 5、解方程，去分母，得（ ）（A） （B） （C） （D）6、下列方程變形中，正確的是（ ）（A）方程，移項，得 （B）方程，去括號，得（C）方程，未知數(shù)系數(shù)化為1，得（D）方程化成7、重慶力帆新感覺足球隊訓(xùn)練用的足球是由32塊黑白相間的牛皮縫制而成的，其中黑皮可看作正五邊形，白皮可看作正六邊形，黑、白皮塊的數(shù)目比為3:5，要求出黑皮、白皮的塊數(shù)，若設(shè)黑皮的塊數(shù)為，則列出的方程正確的是（ ）（A）（B）（C）（D） 8、珊瑚中學(xué)修建綜合樓后，剩有一塊長比寬多5m、周長為50m的長方形空地. 為了美化環(huán)境，學(xué)校決定將它種植成草皮，已知每平方米草皮的種植成本最低是元，那么種植草皮至少需用（ ）（A）元； （B）元； （C）元； （D）元.三、解方程：1、 2、3、 4、5、6、已知多項式是否存在，使此多項式與無關(guān)？若存在，求出的值；若不存在，說明理由。四、應(yīng)用題：1