在中學(xué)數(shù)學(xué)中,關(guān)於軌跡的討論,主要有兩類

1、軌跡問題的探究性學(xué)習(xí)韋輝樑2011/09在中學(xué)數(shù)學(xué)中, 關(guān)于軌跡的討論，主要有兩類: "幾何軌跡" - 是指由一個(gè)幾何結(jié)構(gòu)中的動(dòng)點(diǎn)而產(chǎn)生的軌跡圖形。"方程的軌跡" - 是指由代數(shù)方程 f(x, y) = 0的解集G=p=(x, y)| f(x, y) =0, xÎD 所構(gòu)成的圖像。構(gòu)成幾何軌跡的要素有3: 幾何結(jié)構(gòu), 主動(dòng)點(diǎn), 軌跡點(diǎn)，而軌跡點(diǎn)是受幾何結(jié)構(gòu)約束的。構(gòu)成方程軌跡的要素有2: 定義域D和方程 f(x, y) = 0。 幾何軌跡的的學(xué)習(xí)是初三的課程，方程軌跡的學(xué)習(xí)是高二的課程，當(dāng)中包括了用方程來描述幾何軌跡的問題 - 求幾何軌跡的方程

2、。研究幾何軌跡的方法是: 1. 根據(jù)給定的條件, 設(shè)計(jì)并作出相關(guān)的幾何結(jié)構(gòu)； 2. 作出軌跡圖形。由于初中課程的限制，結(jié)果并不要求推導(dǎo)軌跡方程，重要的是設(shè)計(jì)并作出相關(guān)的幾何結(jié)構(gòu)。研究方程軌跡的方法是:1. 根據(jù)給定的條件, 由公式或其他方法，建立能表達(dá)該條件的數(shù)學(xué)方程 f(x, y) = 0和定義域D；2. 解方程、描點(diǎn)，得到軌跡的圖像。高中課程的重點(diǎn)是建立方程。建立方程要靠數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法和演譯推理，最好還是用人腦紙筆作業(yè)。解方程和作圖主要是一些大量的重覆而繁瑣的工作, 宜借助電腦完成。如果研究的是幾何軌跡的方程，則首先要作出相關(guān)的幾何結(jié)構(gòu)，作出幾何軌跡，這有助于建立方程的思考，并對所得方

3、程進(jìn)行檢驗(yàn) - 方程軌跡與幾何軌跡是否重合。無論是作幾何結(jié)構(gòu)或函數(shù)圖像都要借助工具，下面問題將在DM_Lab環(huán)境中進(jìn)行探究。一. 幾何軌跡的探究幾何軌跡的探究著重在幾何結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)。下面以 "平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之“和、差、積、商”為定值的點(diǎn)的軌跡"為例。1. 平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡操 作參 考 圖 例說 明方法11. 用作兩點(diǎn)F1和F2；2. 用以F1為心作圓F1,半徑R> |F1F2|;3. 用在圓周上取一點(diǎn)A;4. 用作線段AF1,AF2;5. 用作AF2中垂線BC交AF1于C;6. 選藍(lán)色，用跟蹤點(diǎn)C;7. 用點(diǎn)一下A點(diǎn)，建立自動(dòng)動(dòng)畫。8. 暫存1

4、. 這樣的幾何結(jié)構(gòu)需要證明其滿足給定的條件。易證: CF1+CF2 = CF1+CA = R= 定值。2. 可用縮放圓的半徑，改變定值。方法21. 用作兩點(diǎn)F1和F2;2. 用作線段AB, 使得:|AB| > |F1F2|3. 用在AB上取一點(diǎn)C;4. 用作線段AC和CB;5. 用作以F1為心,AC為半徑的圓F1;6. 用作以F2為心,CB為半徑的圓F2;7. 用作兩圓交點(diǎn)P1和P2;8. 藍(lán)色，用跟蹤點(diǎn)P1,P2;9. 用點(diǎn)一下C點(diǎn)，建立自動(dòng)動(dòng)畫。10. 暫存1. 這樣的幾何結(jié)構(gòu)顯然有P1F1+P1F2 = AC+CB = AB= 定值。2. 移動(dòng)A或B可改變該定值。2. 平面內(nèi)到兩定

5、點(diǎn)距離之差為定值的點(diǎn)的軌跡操 作參 考 圖 例說 明方法11. 取出 "和" 1.的圖;2. 用縮小圓F1,至半徑R< |F1F2|;3. 用點(diǎn)一下A點(diǎn)，建立自動(dòng)動(dòng)畫。4. 暫存1, |CF2-CF1| = R = 定值。2. 可用縮放圓的半徑，改變定值。方法21. 取出 "和" 2.的圖;2. 移動(dòng)B點(diǎn), 縮小AB的長度, 使 |AB| < |F1F2|3. 用改AB為直線;4. 用點(diǎn)一下C點(diǎn)，建立自動(dòng)動(dòng)畫。5. 暫存1. |CA-CB| = AB =定值。2. 移動(dòng)A或B可改變該定值。3. 如果圖像在頂點(diǎn)附近有斷裂,可取消自動(dòng)動(dòng)畫, 改為

6、手動(dòng)慢動(dòng)作拖動(dòng)C點(diǎn)的移動(dòng)。注 符合條件的幾何結(jié)構(gòu)不是唯一的，這里只是其中的兩例，更多的方法可以讓學(xué)生去探究和討論，這有助于提高學(xué)生幾何知識(shí)的運(yùn)用和數(shù)學(xué)的思維能力，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培育。3. 平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之積為定值的點(diǎn)的軌跡操 作參 考 圖 例說 明方法11. 用作兩點(diǎn)F1和F2;2. 用作線段AB, 使得: |AB| > |F1F2|3. 用在AB上取一點(diǎn)C;4. 用連結(jié)AC;5. 測量AC長度，得變量a；6. 在參數(shù)監(jiān)察欄輸入: d = 37. 在參數(shù)監(jiān)察欄輸入: b=d/a8. 用作線段DE=b;9. 用作以F1為心,DE為半徑的圓F1, R1=DE;10. 用作以F2為心

7、,AC為半徑的圓F2, R2=AC; 11. 用作兩圓交點(diǎn)P1和P2;12. 紅色，用跟蹤點(diǎn)P1,P2;13. 用點(diǎn)一下C點(diǎn)，建立自動(dòng)動(dòng)畫。1.R1·R2 = DE·AC = a·b=d=定值。2. 修改d的值, 例如改 d=5，可改變該定值。4. 平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之商(比)為定值的點(diǎn)的軌跡操 作參 考 圖 例說 明方法11. 用作兩點(diǎn)F1和F2;2. 用作線段AB； 3. 用在AB上取一點(diǎn)C;4. 用連結(jié)AC;5. 用作以F1為心,AC為半徑的圓F1, R1=AC;6. 用作以F2為心,AB為半徑的圓F2, R2=AB; 7. 用作兩圓交點(diǎn)P1和P2;8. 紅

8、色，用跟蹤點(diǎn)P1,P2;9. 用鼠標(biāo)慢慢拖動(dòng)B點(diǎn)移動(dòng)。1. C是線段AB的內(nèi)分點(diǎn)，當(dāng)A或B移動(dòng)時(shí)，C的分比不變。即AC:AB=定值。R1:R2 =AC:AB = 定值。2. 移動(dòng)C的位置, 可改變該定值。注 以上是一些幾何軌跡的例，這些軌跡都是由特定的幾何結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的。設(shè)計(jì)這些幾何結(jié)構(gòu)，要根據(jù)給定的條件，再運(yùn)用幾何知識(shí)或有關(guān)幾何定理，很考究心思。產(chǎn)生同樣軌跡的幾何結(jié)構(gòu)不是唯一的，這里有廣闊的創(chuàng)意空間?？梢猿蔀樾〗M討論或創(chuàng)意活動(dòng)的課題。幾何軌跡一般是按排在初三課程的后期，多數(shù)幾何內(nèi)容學(xué)過之后進(jìn)行，因此也可以作為對前面知識(shí)的拓展應(yīng)用。例如：運(yùn)用圓冪定理，設(shè)計(jì)一個(gè)能產(chǎn)生 "到兩點(diǎn)距離之積為常

9、量" 的點(diǎn)的軌跡。學(xué)生首先要回憶圓冪定理講的是什么。圓冪定理包括三條定理，其中之一叫相交弦定理。如下圖：圓O上兩弦AB和DE相交于C點(diǎn)，則EC·CD = AC·CB。如果A、B、C不動(dòng)，讓D點(diǎn)繞圓周一圈，則有EC·CD = AC·CB=常量。而EC和CD卻是變量。如果以EC和CD為半徑作兩個(gè)圓，兩圓不要離的太遠(yuǎn)，讓它們能相交，則交點(diǎn)到兩圓心的距離之積就是一個(gè)常量。那么，交點(diǎn)的軌跡滿足題目條件，就是所求。操 作參 考 圖 例說 明11. 用作圓O；2. 用作弦AB，A、B在圓周上；3. 用在AB上取一點(diǎn)C；4. 用作CD，D在圓周上；5. 用作C

10、D與圓O交點(diǎn)E；6. 用連結(jié)EC；7. 用作兩點(diǎn)F1和F2;8. 用作以F1為心,EC為半徑的圓F1, R1=EC;9. 用作以F2為心,CD為半徑的圓F2, R2=CD; 10. 用作兩圓交點(diǎn)P1和P2;11. 紅色，用跟蹤點(diǎn)P1,P2;12. 用點(diǎn)一下D點(diǎn)，建立自動(dòng)動(dòng)畫。1.R1·R2 = EC·CD = AC·CB=定值。2. 移動(dòng)C的位置, 可改變該定值。3. 完成后再玩一玩：用點(diǎn)一下C點(diǎn)，出現(xiàn)的是一條怎樣的軌跡?二. 函數(shù)軌跡的探究所謂函數(shù)的軌跡，就是方程的曲線，主要是解方程描點(diǎn)。這交給電腦去做好了，探究的空間只是參數(shù)對圖像的影響。這是高中課程的內(nèi)容。下

11、面以 "平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之“和、差、積、商”為定值的點(diǎn)的軌跡"為例。1. 平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡操 作參 考 圖 例說 明方法11. 開啟座標(biāo)格線，作座標(biāo)軸，顯示刻度。2. 從工具打開函數(shù)作圖；3. 用作兩點(diǎn)F1和F2；4. 測量點(diǎn)F1的x、y座標(biāo)得變量a和b；5。測量點(diǎn)F2的x、y座標(biāo)得變量c和d；6. 測量點(diǎn)F1到F2的距離，得變量e；7. 在函數(shù)輸入欄輸入：hf=>sqrt(x-a)2+(y-b)2)+sqrt(x-c)2+(y-d)2) = k8. 設(shè)k為參數(shù)，要初值 > 變量e；9. 用讓函數(shù)動(dòng)起來.。觀察：參數(shù)k對圖像的影響。 +2

12、. 差、積、商 的作圖方法幾乎完全相同，只是輸入函數(shù)不同而以，這里從略。下面只給出圖例。要注意的是參數(shù)k要有適當(dāng)?shù)姆秶?，不是任意的k值都有圖像。原因留給學(xué)生去思考。差積商(比)hf=>abs(sqrt(x-a)2+(y-b)2)-sqrt(x-c)2+(y-d)2)=k參數(shù)K的初終值都要小于變量e。hf=>sqrt(x-a)2+(y-b)2)*sqrt(x-c)2+(y-d)2)=k受DM_Lab精度的限制，參數(shù)K的初值最好>=2。hf=>sqrt(x-a)2+(y-b)2)/sqrt(x-c)2+(y-d)2)=k參數(shù)K可取(0,5)試試。三. 求幾何軌跡的方程解析幾

13、何學(xué)習(xí)中較困難的要數(shù)求軌跡的參數(shù)方程了，題目一般是沒有附圖的，圖形要學(xué)生自己畫圖，圖形畫不好不但使解題無從著手，而且還可能形成誤導(dǎo)。獲得答案后，也難以驗(yàn)證。此處給出3例，可作為解題和驗(yàn)證的參考。例1. 如圖，圓O(0,0)的半徑 R = 5，A是圓周上一點(diǎn)，自A向x軸作垂線，垂足為B，沿OA方向截取OC = AB，求C點(diǎn)軌跡方程。作圖1. 用，作圓O，以(0, 0)為心，5為半徑；2. 用，在圓周上取一點(diǎn)A；3. 用，作ABx軸；4. 用，沿OA截取OC=AB；5. 選擇顏色，用跟蹤C(jī)的軌跡；操作 : 拖動(dòng)A點(diǎn)移動(dòng)，畫出點(diǎn)C的軌跡。解:(1) (2) |OC| = |AB| = 5|sin|

14、(3) (4) 軌跡方程: 驗(yàn)證 1. 在函數(shù)輸入欄輸入 tf=> x=5*abs(sin(t)*cos(t), y=5*abs(sin(t)*sin(t) ，（按Enter）例2 . 過橢圓 上一點(diǎn) P(-8, 0)作直線交橢圓于Q點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)的軌跡。作圖1. 用，作橢圓O，其中a = 8，b = 6；2. 用，在x軸上作一點(diǎn) P (-8, 0)；3. 用，作線段PQ，Q在橢圓上；4. 用，作PQ中點(diǎn)M；5. 選擇顏色，用跟蹤C(jī)的軌跡；操作 : 拖動(dòng)A點(diǎn)移動(dòng)，畫出點(diǎn)C的軌跡。解: 橢圓的參數(shù)方程: 由Q在橢圓上=>，由已知 ，設(shè)PQ中點(diǎn)為M(x, y) = ，=> M點(diǎn)軌

15、跡的參數(shù)方程: ，消去參數(shù) => 驗(yàn)證: 在函數(shù)輸入欄輸入 tf=> x=4*cos(t)-4, y=3*sin(t) ，按Enter思考: 如果M是PQ的2/3分點(diǎn)，則軌跡及方程又如何 ?例3. 已知 :1. 原點(diǎn)O(0,0)，圓O半徑為 4，2. 點(diǎn)A在x軸上: A(5,0)3. 點(diǎn)B在圓周上，4. CD為AB中垂線，CD長為 4求: D點(diǎn)的軌跡方程作圖1. 用，作圓O，以(0, 0)為心，4為半徑；2. 用，在x軸上作一點(diǎn) A (5, 0)；3. 用，作線段AB，B在圓O上；4. 用，作AB中點(diǎn)C；5. 用，作CKAB，6. 用自由線段，利用網(wǎng)格作一線段a = 4；7. 用x

16、 1，沿CK截取CD = a；8. 選擇顏色，用跟蹤D的軌跡；操作 : 拖動(dòng)B點(diǎn)在圓周上滑動(dòng)一周，畫出點(diǎn)D的軌跡。解: (1) 寫出A、B、C各點(diǎn)座標(biāo):A = (5, 0)B =( 4cos, 4sin)(2) 寫出向量由CDCB，|CD| = 4得:(3) 寫出D點(diǎn)座標(biāo) - D點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程:由得: 驗(yàn)證1. 在函數(shù)輸入欄輸入 tf=> x=(5+4*cos(t)/2+16*sin(t)/sqrt(5-4*cos(t)2+(4*sin(t)2), y=2*sin(t)+4*(5-4*cos(t)/sqrt(5-4*cos(t)2+(4*sin(t)2) ，按Enter拓展：本題，如果B點(diǎn)不在圓周上，而在函數(shù) y = sin x 曲線上， 求D點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程。求軌跡的方程這一類問題，首先用