基爾霍夫衍射理論

1、標(biāo)量衍射理論標(biāo)量衍射理論 信息光學(xué)主要研究?jī)?nèi)容：光波作為載波，實(shí)現(xiàn)信息光學(xué)主要研究?jī)?nèi)容：光波作為載波，實(shí)現(xiàn)信息的傳遞、變換、記錄和再現(xiàn)問(wèn)題。信息的傳遞、變換、記錄和再現(xiàn)問(wèn)題。 標(biāo)量衍射理論是研究上述問(wèn)題的物理基礎(chǔ)，我們用它來(lái)研究光波傳播規(guī)律。 光波是矢量波。當(dāng)滿足下列條件時(shí)，標(biāo)量衍光波是矢量波。當(dāng)滿足下列條件時(shí)，標(biāo)量衍射理論得到的結(jié)果與實(shí)際情況十分相符。射理論得到的結(jié)果與實(shí)際情況十分相符。條件條件：1）衍射孔徑比波長(zhǎng)大得多；）衍射孔徑比波長(zhǎng)大得多；2）觀察屏離衍射孔徑相當(dāng)遠(yuǎn)。）觀察屏離衍射孔徑相當(dāng)遠(yuǎn)。通常的光學(xué)儀器都滿足上述條件！通常的光學(xué)儀器都滿足上述條件！ dSreKPUCQUjkr 0（

2、1）疊加積分公式表明：觀察點(diǎn)疊加積分公式表明：觀察點(diǎn)Q的光波分布的光波分布 是是 上上所有單位脈沖在所有單位脈沖在Q點(diǎn)引起的光波擾動(dòng)的相干疊加。點(diǎn)引起的光波擾動(dòng)的相干疊加。 QU 基爾霍夫衍射理論基爾霍夫衍射理論 惠更斯惠更斯菲涅耳原理建立在菲涅耳原理建立在“子波子波源源”的假說(shuō)的假說(shuō)上。假定子波源振動(dòng)相位比上。假定子波源振動(dòng)相位比實(shí)際光波在該點(diǎn)的振動(dòng)超前實(shí)際光波在該點(diǎn)的振動(dòng)超前 。2 惠更斯惠更斯菲涅耳原理菲涅耳原理（二）亥姆霍茲方程（二）亥姆霍茲方程1. 波動(dòng)方程波動(dòng)方程(標(biāo)量標(biāo)量)單色光場(chǎng)中任意一點(diǎn)單色光場(chǎng)中任意一點(diǎn)Q的光振動(dòng)的光振動(dòng)u滿足滿足012222 tucu其中其中2222222

3、zyx -拉普拉斯算符拉普拉斯算符將單色光波分布將單色光波分布 tjeQUtQu2, 代入波動(dòng)方程代入波動(dòng)方程,得到得到 022QUk-亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程ck 22 說(shuō)明說(shuō)明: :1.1. 亥姆霍茲方程與時(shí)間變量無(wú)關(guān)，因此多用于解決單色光場(chǎng)的空間分布。亥姆霍茲方程與時(shí)間變量無(wú)關(guān)，因此多用于解決單色光場(chǎng)的空間分布。2.2. 我們今后假定，在自由空間傳播的任何單色光波的光場(chǎng)分布必須滿足亥姆我們今后假定，在自由空間傳播的任何單色光波的光場(chǎng)分布必須滿足亥姆霍茲方程。霍茲方程。基爾霍夫衍射理論所要解決的問(wèn)題基爾霍夫衍射理論所要解決的問(wèn)題解決的方法：利用格林定理，通過(guò)解決的方法：利用格林定理，通過(guò)假

4、定衍射屏的邊界條件，求解波動(dòng)假定衍射屏的邊界條件，求解波動(dòng)方程，得到方程，得到基爾霍夫衍射公式?；鶢柣舴蜓苌涔健?光場(chǎng)中任意一點(diǎn)光場(chǎng)中任意一點(diǎn)Q的復(fù)振幅能否用光場(chǎng)中其他各點(diǎn)的復(fù)振幅能否用光場(chǎng)中其他各點(diǎn)的復(fù)振幅表示出來(lái)？的復(fù)振幅表示出來(lái)？比如：通過(guò)孔徑平面的場(chǎng)分布計(jì)比如：通過(guò)孔徑平面的場(chǎng)分布計(jì)算孔徑后面任意一點(diǎn)的復(fù)振幅。算孔徑后面任意一點(diǎn)的復(fù)振幅?；鶢柣舴蜓苌涔交鶢柣舴蜓苌涔?dSrernrnreajQUjkrjkr 2,cos,cos10000 點(diǎn)光源點(diǎn)光源P0照明平面屏幕照明平面屏幕因此有因此有（1）孔徑平面上的光波分布是）孔徑平面上的光波分布是P0點(diǎn)發(fā)點(diǎn)發(fā)射的單色球面波產(chǎn)生的；射的單

5、色球面波產(chǎn)生的； 0000jkreraPU 與惠更斯與惠更斯菲涅耳衍射積分公式比較：菲涅耳衍射積分公式比較： dSrernrnreajQUjkrjkr 2,cos,cos10000 dSreFPUcQUjkr ,00 惠更斯惠更斯菲涅耳衍射積分公式菲涅耳衍射積分公式可以看出：可以看出： 常數(shù)常數(shù) jc1 傾斜因子傾斜因子 2,cos,cos,00rnrnF 基爾霍夫假設(shè)：基爾霍夫假設(shè)：衍射公式的適用范圍：衍射公式的適用范圍：任意單色光波照明孔徑的情況。任意單色光波照明孔徑的情況。因?yàn)槿我鈴?fù)雜的光波都可以看成是簡(jiǎn)單球面波的線性組合。因?yàn)槿我鈴?fù)雜的光波都可以看成是簡(jiǎn)單球面波的線性組合。因此，上式中

6、的因此，上式中的 可以理解為在任意單色光照明下對(duì)可以理解為在任意單色光照明下對(duì)孔徑平面產(chǎn)生的光場(chǎng)分布。孔徑平面產(chǎn)生的光場(chǎng)分布。 PU0（1）在）在 上，上， PU0與無(wú)屏?xí)r一樣；與無(wú)屏?xí)r一樣；（2） 外，外， 00PU衍射公式的積分限可以被擴(kuò)展到無(wú)窮，即：衍射公式的積分限可以被擴(kuò)展到無(wú)窮，即： dSreFPUQUjkr ,00 光波傳播的線性性質(zhì)光波傳播的線性性質(zhì)令令 QPhreFjjkr,10 dSreFPUjQUjkr ,100 基爾霍夫衍射公式基爾霍夫衍射公式（1）則（則（1）式化簡(jiǎn)為）式化簡(jiǎn)為 dSQPhPUQU,0 （2）說(shuō)明說(shuō)明：（：（2）式是疊加積分，它的物理意義是）式是疊加積分

7、，它的物理意義是P點(diǎn)有一個(gè)單位脈沖，它在觀察點(diǎn)點(diǎn)有一個(gè)單位脈沖，它在觀察點(diǎn)Q造成的光波造成的光波分布是分布是 ，它被稱為脈沖響應(yīng)。，它被稱為脈沖響應(yīng)。 QPh,疊加積分公式表明：觀察點(diǎn)疊加積分公式表明：觀察點(diǎn)Q的光波分布的光波分布 是是 上所有單位脈沖在上所有單位脈沖在Q點(diǎn)引起的光波擾動(dòng)的相干疊加。點(diǎn)引起的光波擾動(dòng)的相干疊加。 QU條件條件：（1）點(diǎn)光源）點(diǎn)光源P0足夠遠(yuǎn)，且入射光在孔徑平面上各點(diǎn)的足夠遠(yuǎn)，且入射光在孔徑平面上各點(diǎn)的入射角都不大。入射角都不大。 （2）觀察平面與孔徑平面的距離）觀察平面與孔徑平面的距離z遠(yuǎn)大于孔徑，且在遠(yuǎn)大于孔徑，且在觀察面上僅僅考慮一個(gè)對(duì)孔徑上各點(diǎn)張角不大的范

8、圍。觀察面上僅僅考慮一個(gè)對(duì)孔徑上各點(diǎn)張角不大的范圍。滿足以上條件，則有滿足以上條件，則有 rejQPhjkr 1, 脈沖響應(yīng)：脈沖響應(yīng)： 002202000,exp1,;,yyxxhzyyxxjkzjyyxxh 對(duì)對(duì)r進(jìn)行二項(xiàng)式展開(kāi)并化簡(jiǎn)，有進(jìn)行二項(xiàng)式展開(kāi)并化簡(jiǎn)，有 20202yyxxzr 顯然，脈沖響應(yīng)具有空間不變的函數(shù)形式。顯然，脈沖響應(yīng)具有空間不變的函數(shù)形式。 無(wú)論孔徑平面上子波源的位置如何，它所產(chǎn)生的無(wú)論孔徑平面上子波源的位置如何，它所產(chǎn)生的球面子波的形式是一樣的。球面子波的形式是一樣的。 2202000exp1,zyyxxjkzjyyxxh yxhyxUydxyyxxhyxUyxU,

9、0000000000 上式表明：孔徑平面上透射光場(chǎng)和觀察平面上光場(chǎng)之間上式表明：孔徑平面上透射光場(chǎng)和觀察平面上光場(chǎng)之間存在一個(gè)卷積關(guān)系。存在一個(gè)卷積關(guān)系。衍射屏的新定義衍射屏的新定義在波動(dòng)光學(xué)中，一般認(rèn)為衍射屏就是在不透明屏上開(kāi)各種各樣的孔。在波動(dòng)光學(xué)中，一般認(rèn)為衍射屏就是在不透明屏上開(kāi)各種各樣的孔。如今，我們將如今，我們將“能引起衍射的障礙物能引起衍射的障礙物”統(tǒng)稱為衍射屏。統(tǒng)稱為衍射屏。例如：例如：障礙物的振幅障礙物的振幅以一定的分布衰減；（以一定的形式限定波面的變化）以一定的分布衰減；（以一定的形式限定波面的變化）障礙物的相位障礙物的相位延遲；（衍射屏的光學(xué)厚度發(fā)生變化）延遲；（衍射屏的

10、光學(xué)厚度發(fā)生變化）或兩者兼而有之?；騼烧呒娑兄?。表示衍射屏的光學(xué)性質(zhì)的一個(gè)重要參數(shù)是：表示衍射屏的光學(xué)性質(zhì)的一個(gè)重要參數(shù)是：復(fù)振幅復(fù)振幅透過(guò)率透過(guò)率，有些場(chǎng)合里有些場(chǎng)合里 又稱為孔函數(shù)或瞳函數(shù)，一般用又稱為孔函數(shù)或瞳函數(shù)，一般用 或或 表示。表示。 Ptzyxt,前前后后 PUi PUt衍射屏衍射屏定義：定義： PUPUPtit常用衍射屏的透過(guò)率函數(shù)表示常用衍射屏的透過(guò)率函數(shù)表示： 2,2 . 0,yxrectyxt（1）一個(gè)矩形孔）一個(gè)矩形孔 的衍射物的衍射物222 . 0mm（2）平行）平行y軸的單狹縫，軸的單狹縫，x軸上寬度為軸上寬度為a。 x 1, axrectyaxrectyxt（3）雙縫光柵，如圖）雙縫光柵，如圖aa02d2d 12/2/, adxrectadxrectyxt常用衍