高中數(shù)學 綜合測試 新人教A版選修2-2

1、選修22 在本模塊中，學生將學習導數(shù)及其應用、推理與證明、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入。 微積分的創(chuàng)立是數(shù)學發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應用開創(chuàng)了向近代數(shù)學過渡的新時期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段。導數(shù)概念是微積分的核心概念之一，它有極其豐富的實際背景和廣泛的應用。在本模塊中，學生將通過大量實例，經(jīng)歷由平均變化率到瞬時變化率刻畫現(xiàn)實問題的過程，理解導數(shù)概念，了解導數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)中的作用，初步了解定積分的概念，為以后進一步學習微積分打下基礎(chǔ)。通過該模塊的學習，學生將體會導數(shù)的思想及其豐富內(nèi)涵，感受導數(shù)在解決實際問題中的作用，了解微積分的文化價值。 “推理與證明”是數(shù)學的

2、基本思維過程，也是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）、實驗和實踐的結(jié)果，以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程，歸納、類比是合情推理常用的思維方法。在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，有利于創(chuàng)新意識的培養(yǎng)。演繹推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等），按照嚴格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程，培養(yǎng)和提高學生的演繹推理或邏輯證明的能力是高中數(shù)學課程的重要目標。合情推理和演繹推理之間聯(lián)系緊密、相輔相成。證明通常包括邏輯證明和實驗、實踐證明，數(shù)學結(jié)論

3、的正確性必須通過邏輯證明來保證，即在前提正確的基礎(chǔ)上，通過正確使用推理規(guī)則得出結(jié)論。在本模塊中，學生將通過對已學知識的回顧，進一步體會合情推理、演繹推理以及二者之間的聯(lián)系與差異；體會數(shù)學證明的特點，了解數(shù)學證明的基本方法，包括直接證明的方法（如分析法、綜合法、數(shù)學歸納法）和間接證明的方法（如反證法）；感受邏輯證明在數(shù)學以及日常生活中的作用，養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習慣。 數(shù)系擴充的過程體現(xiàn)了數(shù)學的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，同時體現(xiàn)了數(shù)學發(fā)生發(fā)展的客觀需求和背景，復數(shù)的引入是中學階段數(shù)系的又一次擴充。在本模塊中，學生將在問題情境中了解數(shù)系擴充的過程以及引入復數(shù)的必要性，學習復數(shù)的一些基本知識，體會人類理性

4、思維在數(shù)系擴充中的作用。 內(nèi)容與要求 1. 導數(shù)及其應用（約24課時） （1）導數(shù)概念及其幾何意義 通過對大量實例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數(shù)概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導數(shù)，體會導數(shù)的思想及其內(nèi)涵（參見選修11案例中的例2、例3）。 通過函數(shù)圖象直觀地理解導數(shù)的幾何意義。 （2）導數(shù)的運算 能根據(jù)導數(shù)定義求函數(shù)的導數(shù)。 能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)，能求簡單的復合函數(shù)（僅限于形如）的導數(shù)。 會使用導數(shù)公式表。 （3）導數(shù)在研究函數(shù)中的應用 結(jié)合實例，借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系（參見選修11案例中的

5、例4）；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 結(jié)合函數(shù)的圖象，了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數(shù)求不超過三次的多項式函數(shù)的極大值、極小值，以及閉區(qū)間上不超過三次的多項式函數(shù)最大值、最小值；體會導數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性。 （4）生活中的優(yōu)化問題舉例。 例如，通過使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導數(shù)在解決實際問題中的作用（參見選修11案例中的例5）。 （5）定積分與微積分基本定理 通過實例（如求曲邊梯形的面積、變力做功等），從問題情境中了解定積分的實際背景；借助幾何直觀體會定積分的基本思想，初步了解定積分的概念。 通過實

6、例（如變速運動物體在某段時間內(nèi)的速度與路程的關(guān)系），直觀了解微積分基本定理的含義（參見例1）。 （6）數(shù)學文化 收集有關(guān)微積分創(chuàng)立的時代背景和有關(guān)人物的資料，并進行交流；體會微積分的建立在人類文化發(fā)展中的意義和價值。具體要求見本標準中“數(shù)學文化”的要求（參見第104頁）。 2. 推理與證明（約8課時） （1）合情推理與演繹推理 結(jié)合已學過的數(shù)學實例和生活中的實例，了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，體會并認識合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用（參見選修12案例中的例2、例3）。 結(jié)合已學過的數(shù)學實例和生活中的實例，體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單

7、推理。 通過具體實例，了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異。 （2）直接證明與間接證明 結(jié)合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點。 結(jié)合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過程、特點。 （3）數(shù)學歸納法 了解數(shù)學歸納法的原理，能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題。 （4）數(shù)學文化 通過對實例的介紹（如歐幾里得幾何原本、馬克思資本論、杰弗遜獨立宣言、牛頓三定律），體會公理化思想。 介紹計算機在自動推理領(lǐng)域和數(shù)學證明中的作用。 3. 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入（約4課時） （1）在問題情境中了解數(shù)系的擴充

8、過程，體會實際需求與數(shù)學內(nèi)部的矛盾（數(shù)的運算規(guī)則、方程理論）在數(shù)系擴充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系。 （2）理解復數(shù)的基本概念以及復數(shù)相等的充要條件。 （3）了解復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義。 （4）能進行復數(shù)代數(shù)形式的四則運算，了解復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義。 說明與建議 1. 本模塊中，導數(shù)的概念是通過實際背景和具體應用的實例引入的。教學中，可以通過研究增長率、膨脹率、效率、密度、速度等反映導數(shù)應用的實例，引導學生經(jīng)歷由平均變化率到瞬時變化率的過程，知道瞬時變化率就是導數(shù)。通過感受導數(shù)在研究函數(shù)和解決實際問題中的作用，體會導數(shù)的思想及其內(nèi)涵。這樣處理的

9、目的是幫助學生直觀理解導數(shù)的背景、思想和作用。 2. 在教學中，要防止將導數(shù)僅僅作為一些規(guī)則和步驟來學習，而忽視它的思想和價值。應使學生認識到，任何事物的變化率都可以用導數(shù)來描述。 3. 教師應引導學生在解決具體問題的過程中，將研究函數(shù)的導數(shù)方法與初等方法作比較，以體會導數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性。 4. 教學中應通過實例，引導學生運用合情推理去探索、猜測一些數(shù)學結(jié)論，并用演繹推理確認所得結(jié)論的正確性，或者用反例推翻錯誤的猜想。教學的重點在于通過具體實例理解合情推理與演繹推理，而不追求對概念的抽象表述。 5. 本模塊中設置的證明內(nèi)容是對學生已學過的基本證明方法的總結(jié)。在教學中，應通

10、過實例，引導學生認識各種證明方法的特點，體會證明的必要性。對證明的技巧性不宜作過高的要求。 6. 教師應借助具體實例讓學生了解數(shù)學歸納法的原理，對證明的問題要控制難度。 7. 在復數(shù)概念與運算的教學中，應注意避免繁瑣的計算與技巧訓練。對于感興趣的學生，可以安排一些引申的內(nèi)容，如求的根，介紹代數(shù)學基本定理等。 參考案例 例1. 一個物體依照規(guī)律在直線上運動，我們已經(jīng)知道，其在某一時刻的運動速度（即瞬時速度或瞬時變化率）為在時刻的導數(shù)，即。今考慮在到之間位置的總變化。我們把區(qū)間分割成n個小區(qū)間，不妨假設小區(qū)間的長度相等，其長度為。對每一個小區(qū)間，我們假設的變化率近似為某一常量，于是我們可以說 的變化率時間。 在第一個小區(qū)間內(nèi)，即從到，假設的變化率近似地為，于是有 同樣，對第二個小區(qū)間，即從到，假設的變化率近似地為，因此有 等等。把在所有小區(qū)間上得到的位置變化近似值全部加在一起，得到 s的總變化 我們可以把在到之間位置的總變化寫成。另一方面，當分割無限加細、n趨于無窮時，和式 的極限就是定積分或，也就是在