菱形基礎知識點及同步練習、含答案

1、學科：數(shù)學教學內容：菱形【基礎知識精講】定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.定理1四邊都相等的四邊形是菱形.定理2:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.【重點難點解析】1.菱形的性質（1）菱形具有平行四邊形的一切性質；（2）菱形的四條邊都相等；（3）菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；（4）菱形是軸對稱圖形.2菱形的面積=底X高=對角線乘積的一半.A. 重點、難點提示1.理解并掌握菱形的概念，性質和判別方法；（這是重點，也是難點，要掌握好）2經歷探索菱形的性質和判別條件的過程，在操作活動和觀察、分析過程中發(fā)展學生 的主動探究習慣和初步的審美意識，進一步了解和體會說理的基本方法

2、；3. 了解菱形的現(xiàn)實應用和常用的判別條件；4. 體會特殊與一般的關系.B. 考點指要菱形是特殊的平行四邊形，其性質和判別方法是中考的重要內容之一.一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.菱形是特殊的平行四邊形， 具有平行四邊形的一切性質.除具有平行四邊形的一切性質外，菱形還具有以下性質： 菱形的四條邊都相等； 兩條對角線互相垂直平分；（出現(xiàn)了垂直，常與勾股定理聯(lián)系在一起） 每一條對角線都平分一組內角.（出現(xiàn)了相等的角，常與角平分線聯(lián)系在一起）菱形是軸對稱圖形，它的兩條對角線所在直線是它的兩條對稱軸.（不是對角線，而是其所在直線，因為對稱軸是直線，而對角線是線段）菱形的判別方法：（學會利用軸對稱的方

3、法研究菱形） 一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形； 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形； 四條邊都相等的四邊形是菱形.【難題巧解點撥】例 1 :如圖 4-24，在 ABC 中，/ BAC=90 ° , AD 丄 BC 于 D , CE 平分/ ACB，交 AD于G,交AB于E, EF丄BC于F.求證：四邊形 AEFG是菱形.A圖 4-24思路分析AEFG由已知可知，圖中有平行線，就可證角相等、線段相等，因此，可先證四邊形 是平行四邊形，再證一組鄰邊相等.證明：/ BAC=90 ° , EF 丄 BC , CE 平分/ ACB , AE=EF，/ CEA= / CEF .（這是略證

4、，并不是完整的證明過程）/ AD 丄 BC, EF 丄 BC, - EF / AD ,（垂直于同一條直線的兩條直線互相平行）/ CEF= / AGE ,（兩直線平行，內錯角相等）/ CEA= / AGE , AE=AG , EF / AG，且 EF=AG ,四邊形AEFG是平行四邊形.（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形） 又 AE=EF ,平行四邊形 AEFG是菱形.例2:已知菱形的周長為 20cm, 條對角線長為 5cm，求菱形各個角的度數(shù). 已知：菱形 ABCD 中，AB+BC+CD+DA=20cm ，對角線 AC=5cm .求/ ADC、 / BCD、/ DAB 的度數(shù).思路分析利

5、用菱形的四條邊相等，可求出各邊長，從而得到等邊三角形，如圖4-25 .解：在菱形ABCD中，/ AB=BC=CD=DA ，又 AB+BC+CD+DA=20cm AB=BC=CD=DA=5cm又 T AC=5cm， AB=BC=AC , CD=DA=AC , ABC和厶DAC都是等邊三角形，（本題將邊之間的長度關系轉化為角的關系）/ ADC= / ABC=60。，/ BCD= / DAB=120例3:如圖4-26，在平行四邊形 ABCD中，/ BAE= / FAE ,/ FBA= / FBE.求證：四 邊形ABEF是菱形.圖426證法一： AF / BE,/ FAE= / AEB（兩直線平行，內

6、錯角相等）又/ BAE= / FAE,/ BAE= / AEB , AB=BE .（等角對等邊）同理，AB=AF , BE=EF, AB=BE=EF=AF ,四邊形ABEF是菱形.（四條邊都相等的四邊形是菱形） 證法二： AF / BE,/ FAE= / AEB ,又/ BAE= / FAE,/ BAE= / AEB , AB=BE .又/ FBA= / FBE , AO=OE , AE丄FB ,（等腰三角形三線合一）同理，BO=OF ,四邊形ABEF是菱形.（對角線互相垂直平分的四邊形是菱形）（你還有其他的證明方法嗎？不妨試一下）例4:菱形的兩鄰角之比為 1 : 2，邊長為2,則菱形的面積為

7、 思路分析本題主要考查菱形的性質和面積公式的應用：圖 4-27解法一：如圖4-27,/ B：Z A=1 : 2,四邊形ABCD是菱形， AD / BC,/ A+ / B=180 ° ,/ B=60 °，/ A=120 ° ,過A作AE丄BC于E,/ BAE=30 ° ,1.BE AB =1，（直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半）2.AE 二.AB2 BE2 二,22 -12 = ,3，（勾股定理）.S菱形abcd二BC AE =2.,3 .（平行四邊形的面積計算方法是：底乘以高）解法二：如圖4-28,圖 4-28/ B ：/ A=

8、1 : 2,四邊形ABCD是菱形， AD / BC,/ A+ / B=180 ° ,/ B=60 °，/ A=120 ° ,連結AC、BD交于點O,1 ABD B = 30 , AC 丄 BD .2（菱形的性質：對角線平分一組對角，對角線互相垂直）1 在 Rt ABO 中，AO AB =1 ,2.BOAB2 -AO2 二.22 -12 二、3, AC=2 , BD =2 . 3 ,S菱形ABCD=AC BD = 1 2 2 3 =2.3 .2 2答：菱形的面積為2 3 .【典型熱點考題】例1 如圖4-13，已知菱形 ABCD中, E、F分別是BC CD上的點，且/

9、 B=Z EAF=60 , / BAE=18°，求/ CEF的度數(shù).AD圖4U3點悟：由/ B=60°知，連接 AC得等邊 ABC與 ACD從而 ABEA ADF,有AE=AF 則厶AEF為等邊三角形，再由外角等于不相鄰的兩個內角和，可求/CEF解：連接AC./ 四邊形ABCD為菱形，/ B=Z D= 60 ° , AB=BC=CD=DA ABC與 CDA為等邊三角形. AB=AC ,Z B=Z ACD=/ BAC=60 ,/ EAF=60°,/ BAE=Z CAF AE=AF.又/ EAF=60° , EAF為等邊三角形./ AEF=60&#

10、176;,/ AEC玄 B+Z BAE=Z AEF+Z CEF 60 ° +18° =60° +Z CEF,Z CEF=18°.例2 已知如圖 4-14，在 ABC中，Z BAC=90 , AD丄BC于D, CE平分Z ACB交 AD 于G,交AB于E, EF± BC于F,求證：四邊形 AEFG為菱形.圖 4-14點悟：可先證四邊形 AEFG為平行四邊形，再證鄰邊相等 （或對角線垂直）. 證明：T Z BAC=90 , EF丄 BC, CE平分Z BCA AE=FE, Z AECZ FEC/ EF 丄 BC, ADL BC, EF / ADZ

11、FEC=Z AGE Z AECZ AGEAE=AG ,四邊形AEFG為平行四邊形.又 AE=AG. 四邊形AEFG為菱形.點撥：此題還可以用判定菱形的另兩種方法來證.例3 已知如圖4-15 , E為菱形ABCD邊BC上一點，且AB=AE AE交BD于0,且/ DAE=2 / BAE 求證：EB=0AAD證明：/ 四邊形ABCD為菱形，/ ABC=2/ ABD AD / BC,/ DAE玄 AEB/ AB=AE,/ ABC/ AEB/ DAE=2/ ABD/ DAE=2/ BAE/ ABD玄 BAE- 0A=0B./ BOE/ ABD/ BAE/ B0E=2/ BAE/ BEA=Z B0E- 0

12、B=BE , A0=BE.說明：利用菱形性質證題時，要靈活選用，選不同性質，就會有不同思路.例4已知菱形的一邊與兩條對角線構成的兩角之比為5: 4,求菱形的各內角的度數(shù).點悟：先作出菱形ABCD和對角線AC BD（如圖4-16）.圖 4-16解： 四邊形ABCD是菱形， AC 丄 BD, / 1 + / 2=90°，又T/ 1：/ 2=4： 5,/ 仁40°,/ 2=50 °,/ DCB/ DAB=/ 2=100°,故 / CBA玄 CDA=/ 1=80°.【同步達綱練習一】相Al強化練習 *一、選擇題1 已知菱形的一條對角線與邊長相等，則菱形

13、的鄰角度數(shù)分別為（）（A）45 °，135 °（B）60（C）90 °，90 °（D）302若菱形的一條對角線長是另一條對角線的 為（）120 °150 °2倍，且此菱形的面積為S,則它的邊長(A) ,S (B)1 一 1、S (c). 3S2 2(D)1 5S2二、填空題3.已知：菱形 ABCD中, E、F 是 BC CD上的點，且 AE=EF=AF=A,則/ B=.4 已知：菱形的兩條對角線長分別為a、b,則此菱形周長為 ,面積為5菱形具有而矩形不具有的性質是 .6已知一個菱形的面積為 8.3平方厘米，且兩條對角線的比為1:3，則

14、菱形的邊長為.三、解答題7.已知：0為 牯門對角線BD的中點，MN過O且垂直BD,分別交CD AB于M N.求 證：四邊形 DNBK是菱形.&如圖4-17 ,已知菱形BD=12cm求菱形的高.圖 4-17【同步達綱練習二】1. 在菱形 ABCD 中，若/ ADC=120 °，貝U BD : AC 等于（）A.3:2B. 33C. 1： 2D.3:12. 已知菱形的周長為40cm ,兩對角線的長度之比為 3： 4,則兩對角線的長分別為（）A . 6cm, 8cmB. 3cm, 4cmC. 12cm, 16cmD. 24cm , 32cm3菱形的對角線具有（）A .互相平分且不垂

15、直B .互相平分且相等C.互相平分且垂直D 互相平分、垂直且相等（掌握菱形對角線的性質，注意不要增加性質）4已知菱形的面積等于160cm2，高等于8cm，則菱形的周長等于6和8，那么它的邊長是.40cm，兩鄰角的比是1： 2，則較短的對角線長是 cm .5. 已知菱形的兩條對角線的長分別是6. 菱形的周長是7. 如圖相交于點E,是4-29，在 ABC 中，/ BAC=90 DF丄BC于F.求證：四邊形° , BD 平分/ ABC , AG 丄 BC，且 BD、AG AEFD是菱形.&如圖4-30,平行四邊形 ABCD的對角線AC的垂直平分線與 AD、BC、AC分別交于點E、F

16、、O.求證：四邊形逼更呈企業(yè)亙建亙邕墾一 !參考答案【同步達綱練習一】一、1. B;2. D; 1二、3. 80°； 4. 2 ,a2 b2 , 2ab；5. 對角線互相垂直，各邊長相等.6. 4厘米.三、7.由已知 MN為BD的垂直平分線，有 DM=BM DN=BN又由 DOMA BON 得 DM=BN DM=BM=BN=DN 二四邊形 DNBh是菱形.&過點D作DHL AB于H,則DH為菱形的一條高.又 AC、BD互相垂直平分于 0,11二 0A AB =8 厘米，OB BD=6 厘米.22由勾股定理，得AB = s AO2 B02 -10 （厘米）.11又AB DH B

17、D 0A ,221110 DH 12 8 , DH=9.6 厘米.22【同步達綱練習二】1. B; 2. C; 3. C; 4. 80cm; 5. 5;6. 10;7. 證法一：在 Rt ABD 和 Rt FBD 中，/ BD 為/ ABC 的平分線，/ ABD= / FBD，/ DAB= / DFB=90 ° ,又 BD=BD , Rt ABD 也 RtA FBD AD=DF，/ ADE= / EDF又 DF 丄 BC , AG 丄 BC , DF/AE ,/ EDF= / DEA，/ ADE= / DEA , AD=AE , AE=DF , 四邊形AEFD是平行四邊形./ AD=DF , 四邊形AEFD為菱形.證法二：同證法一得 DF=DA=AE ,/ Rt ABD 也 Rt FBD , AB=BF ,ABE FBE , AE=EF , DF=DA=AE=EF , 四邊形 AEFD 是菱形.證法三：同證法一：Rt ABD 也Rt FBD, AB=BF , ABE FBE , GAB= / EFB ,又/ C+ / ABC=