非線性控制系統(tǒng)分析

1、第八章第八章 非線性控制系統(tǒng)分析非線性控制系統(tǒng)分析8.1 非線性控制系統(tǒng)概述非線性控制系統(tǒng)概述8.2 常見非線性特性及其對系統(tǒng)運動的影響常見非線性特性及其對系統(tǒng)運動的影響8.3 相平面法相平面法8.4 描述函數(shù)法描述函數(shù)法8.1 非線性控制系統(tǒng)概述非線性控制系統(tǒng)概述一、研究非線性控制理論的意義一、研究非線性控制理論的意義yx0yx0yx0 實際上，理想的線性系統(tǒng)并不存在，組成系統(tǒng)的各元實際上，理想的線性系統(tǒng)并不存在，組成系統(tǒng)的各元件的動態(tài)和靜態(tài)特性都存在著不同程度的非線性。件的動態(tài)和靜態(tài)特性都存在著不同程度的非線性。典型非線性特性典型非線性特性二、非線性系統(tǒng)的特征二、非線性系統(tǒng)的特征 1.穩(wěn)定

2、性分析復(fù)雜，穩(wěn)定性分析復(fù)雜，系統(tǒng)可能存在多個平衡狀態(tài)；系統(tǒng)可能存在多個平衡狀態(tài)；(1)xx x如：000( )1ttx ex txx e時間響應(yīng)曲線時間響應(yīng)曲線平衡狀態(tài)：平衡狀態(tài)：x=0 x=1 平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而且與系統(tǒng)的初始條件有直接的關(guān)系。且與系統(tǒng)的初始條件有直接的關(guān)系。2.可能存在自激振蕩現(xiàn)象；可能存在自激振蕩現(xiàn)象；3.頻率響應(yīng)發(fā)生畸變。頻率響應(yīng)發(fā)生畸變。 長時間大幅度振蕩會造成長時間大幅度振蕩會造成機械磨損，增加誤差，因此多機械磨損，增加誤差，因此多數(shù)情況下不希望系統(tǒng)有自振發(fā)數(shù)情況下不希望系統(tǒng)有自振發(fā)生。但在控

3、制中通過引入高頻生。但在控制中通過引入高頻小幅自振，可克服間隙、死區(qū)小幅自振，可克服間隙、死區(qū)等非線性因素的不良有影響。等非線性因素的不良有影響。 非線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)除了含有與輸入同頻率的正弦非線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)除了含有與輸入同頻率的正弦信號分量信號分量(基頻分量基頻分量)外，還含有關(guān)于外，還含有關(guān)于w w 的高次諧波分量，的高次諧波分量，使輸出波形發(fā)生非線性畸變。使輸出波形發(fā)生非線性畸變。三、非線性系統(tǒng)的分析與設(shè)計方法三、非線性系統(tǒng)的分析與設(shè)計方法1.相平面法相平面法-基于時域分析的圖解法基于時域分析的圖解法 通過在相平面上繪制相軌跡曲線，確定非線性微分通過在相平面上繪制相軌跡曲線，確定非

4、線性微分方程在不同初始條件下解的運動形式。方程在不同初始條件下解的運動形式。相平面法相平面法僅適用僅適用于于一階一階和和二階二階系統(tǒng)。系統(tǒng)。2.描述函數(shù)法描述函數(shù)法基于頻域的等效線性化方法基于頻域的等效線性化方法 通過諧波線性化，將非線性特性近似表示為復(fù)變增通過諧波線性化，將非線性特性近似表示為復(fù)變增益環(huán)節(jié)，然后推廣應(yīng)用頻率法，分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定益環(huán)節(jié)，然后推廣應(yīng)用頻率法，分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性或自激振蕩。性或自激振蕩。3.逆系統(tǒng)法逆系統(tǒng)法 運用內(nèi)環(huán)非線性反饋控制，構(gòu)成偽線性系統(tǒng)，并以運用內(nèi)環(huán)非線性反饋控制，構(gòu)成偽線性系統(tǒng)，并以此為基礎(chǔ)，設(shè)計外環(huán)控制網(wǎng)絡(luò)。該方法應(yīng)用數(shù)學(xué)工具直此為基礎(chǔ)，設(shè)計外

5、環(huán)控制網(wǎng)絡(luò)。該方法應(yīng)用數(shù)學(xué)工具直接研究非線性控制問題，不必求解非線性系統(tǒng)的運動方接研究非線性控制問題，不必求解非線性系統(tǒng)的運動方程，是非線性系統(tǒng)控制研究的發(fā)展方向。程，是非線性系統(tǒng)控制研究的發(fā)展方向。 8.2 常見非線性特性及其對系統(tǒng)運動的影響常見非線性特性及其對系統(tǒng)運動的影響一、飽和特性一、飽和特性axkaaxkxaxkayxya-a斜率斜率k0對系統(tǒng)的影響：對系統(tǒng)的影響：1.使系統(tǒng)開環(huán)增益下降，對動態(tài)響應(yīng)的平穩(wěn)性有利；使系統(tǒng)開環(huán)增益下降，對動態(tài)響應(yīng)的平穩(wěn)性有利；2.使系統(tǒng)的快速性和穩(wěn)態(tài)跟蹤精度下降。使系統(tǒng)的快速性和穩(wěn)態(tài)跟蹤精度下降。二、死區(qū)特性二、死區(qū)特性-0斜率斜率kxy0( )xyk

6、xsign xx 對系統(tǒng)的影響：對系統(tǒng)的影響：1.使系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差；使系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差；2.當(dāng)系統(tǒng)輸入端存在小擾動信號時，在系統(tǒng)動態(tài)過程的當(dāng)系統(tǒng)輸入端存在小擾動信號時，在系統(tǒng)動態(tài)過程的穩(wěn)態(tài)值附近，死區(qū)的作用可減小擾動信號的影響。穩(wěn)態(tài)值附近，死區(qū)的作用可減小擾動信號的影響。三、間隙特性三、間隙特性()0()0 ( ) 0k xhyyk xhyc sign xy對系統(tǒng)的影響：對系統(tǒng)的影響： 增大系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，降低系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，使過增大系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，降低系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，使過渡過程振蕩加劇，甚至造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定。渡過程振蕩加劇，甚至造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定。 一般來說，間隙特性對系統(tǒng)總是有害的，應(yīng)該消

7、除一般來說，間隙特性對系統(tǒng)總是有害的，應(yīng)該消除或消弱它的影響?；蛳跛挠绊?。0yxh-h斜率斜率kc-c四、繼電特性四、繼電特性0-MMyx00 xMxMy對系統(tǒng)的影響：對系統(tǒng)的影響：1可能會產(chǎn)生自激振蕩，使系統(tǒng)不穩(wěn)定或穩(wěn)態(tài)誤差增大；可能會產(chǎn)生自激振蕩，使系統(tǒng)不穩(wěn)定或穩(wěn)態(tài)誤差增大；2.如選得合適可能提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度。如選得合適可能提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度。其他繼電特性其他繼電特性0yx-MM-hh滯環(huán)滯環(huán) + 繼電繼電0yx-MM-死區(qū)死區(qū) + 繼電繼電0yx-MM-死區(qū)死區(qū) + 間隙間隙 + 繼電繼電8.3 相平面法相平面法 相平面法由龐加萊相平面法由龐加萊1885年首先提出，是一種求解一、年

8、首先提出，是一種求解一、二階常微分方程的圖解法。其實質(zhì)是將系統(tǒng)的運動過程二階常微分方程的圖解法。其實質(zhì)是將系統(tǒng)的運動過程形象地轉(zhuǎn)化為相平面上一個點的移動，通過研究這個點形象地轉(zhuǎn)化為相平面上一個點的移動，通過研究這個點的移動軌跡，就可獲得系統(tǒng)運動規(guī)律的全部信息。的移動軌跡，就可獲得系統(tǒng)運動規(guī)律的全部信息。 相平面法可以用來分析一、二階線性或非線性系統(tǒng)相平面法可以用來分析一、二階線性或非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性、平衡位置、時間響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)精度及初始條件的穩(wěn)定性、平衡位置、時間響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)精度及初始條件和參數(shù)對系統(tǒng)運動的影響。和參數(shù)對系統(tǒng)運動的影響。 相平面法繪制步驟簡單、計算量小，特別適用于分析相平面法繪制步

9、驟簡單、計算量小，特別適用于分析常見非線性特性和一階、二階線形環(huán)節(jié)組合而成的非線常見非線性特性和一階、二階線形環(huán)節(jié)組合而成的非線性系統(tǒng)。性系統(tǒng)。一、相平面的基本概念一、相平面的基本概念),(xxfx 設(shè)二階系統(tǒng)的常微分方程：設(shè)二階系統(tǒng)的常微分方程：tx(t)方程的解方程的解xx -相變量相變量( ), ( )x tx t以以x(t)為橫坐標，為橫坐標， x(t)為縱坐標構(gòu)成的直角坐標平面。為縱坐標構(gòu)成的直角坐標平面。 相平面：相平面：相軌跡：相軌跡：相變量從初始時刻相變量從初始時刻t0對應(yīng)的狀態(tài)點對應(yīng)的狀態(tài)點 起，隨著時起，隨著時間在相平面上運動形成的曲線。間在相平面上運動形成的曲線。00(,

10、)x x 相平面圖：相平面圖：相平面及其上的相軌跡簇相平面及其上的相軌跡簇(多個初始條件下的多個初始條件下的運動對應(yīng)多條相軌跡運動對應(yīng)多條相軌跡)組成的圖形。組成的圖形。二、二、 相軌跡的繪制方法相軌跡的繪制方法1.解析法解析法-解微分方程，然后在相平面上繪制相軌跡。解微分方程，然后在相平面上繪制相軌跡。 從從 中解出中解出x，對，對x求導(dǎo)得到求導(dǎo)得到 ，從，從x, 中消中消去中間量去中間量t ，就得到，就得到 的關(guān)系。的關(guān)系。( , )xf x xx x xx(1)消變量法消變量法(2)直接積分法直接積分法dxdx dxdxxxdtdx dtdx( , )dxxf x xdx( )( )g

11、x dxh x dx00( )( )xxxxg x dxh x dx例：設(shè)系統(tǒng)的微分方程為例：設(shè)系統(tǒng)的微分方程為 ，初始條件，初始條件為為 ，試繪制系統(tǒng)的相軌跡。，試繪制系統(tǒng)的相軌跡。0 xx 0)0(,)0(0 xxx0 xdxxdxdxxxdx 解：解：( ), ( )g xx h xx )(21)(20200 xxxdxxdxgxxxx)(21)(20200 xxxdxdxxhxxxx整理后得：整理后得：)(202022xxxx相軌跡相軌跡 2.等傾線法等傾線法 -不解微分方程，直接在相平面上繪制相軌跡。不解微分方程，直接在相平面上繪制相軌跡。等傾線：等傾線： 相平面上相軌跡斜率相等的諸

12、點的連線。相平面上相軌跡斜率相等的諸點的連線。等傾線法等傾線法基本思想：基本思想： 先確定相軌跡的等傾線，進而繪出相軌跡的切線先確定相軌跡的等傾線，進而繪出相軌跡的切線方向場，然后從初始條件出發(fā)，沿方向場逐步繪制相方向場，然后從初始條件出發(fā)，沿方向場逐步繪制相軌跡。軌跡。),(xxfdxxdxx 相軌跡方程xxxfdxxd),(dxconstdx令等傾線方程),(xxfx 給定一組給定一組 值，就可得到一值，就可得到一族等傾線，在每條等傾線上各點族等傾線，在每條等傾線上各點處作斜率為處作斜率為 的短直線，并以箭的短直線，并以箭頭表示切線方向，則構(gòu)成相軌跡頭表示切線方向，則構(gòu)成相軌跡的切線方向場

13、。的切線方向場。 只要從某一初始點出發(fā)，沿只要從某一初始點出發(fā)，沿著方向場各點的切線方向?qū)⑦@些著方向場各點的切線方向?qū)⑦@些短線用光滑的曲線連接起來，便短線用光滑的曲線連接起來，便可以得到系統(tǒng)的一條相軌跡。可以得到系統(tǒng)的一條相軌跡。解：解：xdxxdxdxdx令xx 例例: 用等傾線法繪制用等傾線法繪制 的相軌跡。的相軌跡。0 xx 當(dāng)以當(dāng)以(x0,0)為初始條件時，是一個圓。為初始條件時，是一個圓。 =- - ，-2， -1，-0.5，0，0.5 時畫等傾線時畫等傾線注意事項注意事項(4)等傾線分布越密，相軌跡越準確。等傾線分布越密，相軌跡越準確。(3)相軌跡與相軌跡與x軸垂直相交；軸垂直相交

14、；(2)上半平面上半平面 ，故，故x的走向應(yīng)沿的走向應(yīng)沿x的增加的方向由左的增加的方向由左向右，下半平面反之；向右，下半平面反之；0 x (1)坐標軸坐標軸x和和 比例尺相同；比例尺相同；x 三、線性系統(tǒng)的相軌跡三、線性系統(tǒng)的相軌跡 1.線性一階系統(tǒng)的相軌跡線性一階系統(tǒng)的相軌跡微分方程：微分方程：001(0)cccT 0 ccT相軌跡方程：相軌跡方程：cTc1設(shè)系統(tǒng)初始條件為設(shè)系統(tǒng)初始條件為c(0)=c00bccac 2422, 1baasdcacbcdcc2.線性二階系統(tǒng)的相軌跡線性二階系統(tǒng)的相軌跡微分方程：微分方程：特征根：特征根：相軌跡微分方程：相軌跡微分方程：等傾線方程：等傾線方程：)

15、()()(tkcatbctc2122402402aabsaabs 討論二階線性系統(tǒng)的相軌跡討論二階線性系統(tǒng)的相軌跡1.b0時時2ab220nncccww0bccac (1)0 1 s1s2 -一對純虛根一對純虛根(5)- -1 0且當(dāng)且當(dāng)n1時：時：)sin(sincos)(1111wwwtYtBtAty表明：非線性環(huán)節(jié)可近似認為具有和線性環(huán)節(jié)相類似的表明：非線性環(huán)節(jié)可近似認為具有和線性環(huán)節(jié)相類似的頻率響應(yīng)形式。頻率響應(yīng)形式。定義：正弦輸入信號作用下，非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出中定義：正弦輸入信號作用下，非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出中一次諧波分量和輸入信號的復(fù)數(shù)比為非線性環(huán)節(jié)的描述一次諧波分量和輸入信號的復(fù)

16、數(shù)比為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，用函數(shù)，用 N(A) 表示：表示：AjABeAYeANANjANj111)(1)()(例例8-3：設(shè)繼電特性為：設(shè)繼電特性為,0( ),0Mxy xMx計算該非線性特性的描述函數(shù)。計算該非線性特性的描述函數(shù)。解：解：( )sinx ttw220001( )022MAy t d td td twww,0( ),2Mty tMtww221001( )coscoscos0MAy ttd ttd ttd twwwwww2210014( )sinsinsinMMBy ttd ttd ttd twwwwww114()BjAMN AAA非線性特性為輸入非線性特性為輸入 x 的奇函

17、數(shù)時：的奇函數(shù)時：10102( )cos2( )sinAy ttdtBy ttdtwwww y(t)為奇函數(shù)，且又為半周期對稱時：為奇函數(shù)，且又為半周期對稱時：121004( )sinABy ttdtww非線性特性為輸入非線性特性為輸入t 的奇函數(shù)時：的奇函數(shù)時：00A34121)(xxxy例例8-4:設(shè)某非線性元件的特性為設(shè)某非線性元件的特性為 試計算其描述函數(shù)。試計算其描述函數(shù)。解：解：y(x)為為x的奇函數(shù)的奇函數(shù)00AsinxAtw輸入時tAtAtyww33sin4sin2)(10A y(t)為奇函數(shù)，且又為半周期對稱時為奇函數(shù)，且又為半周期對稱時201sin)(4wwttdtyB20

18、20432sin4sin24wwwwttdAttdA3314332 448 2216AAABA2113( )216BN AAA由定積分公式得：由定積分公式得：4.非線性系統(tǒng)描述函數(shù)法分析的應(yīng)用條件非線性系統(tǒng)描述函數(shù)法分析的應(yīng)用條件(1)非線性系統(tǒng)應(yīng)簡化個非線性環(huán)節(jié)和一個線性部分閉環(huán)非線性系統(tǒng)應(yīng)簡化個非線性環(huán)節(jié)和一個線性部分閉環(huán)連接的典型結(jié)構(gòu)形式；連接的典型結(jié)構(gòu)形式；- -x(t)非線性部分非線性部分Ny(t)c(t)r(t)線性部分線性部分G(s)(2)非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性應(yīng)非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性應(yīng)y(x)是是x 的奇函數(shù)，即的奇函數(shù)，即f(x)=- -f(x)，或正弦輸入下的輸出為，或

19、正弦輸入下的輸出為t的奇對稱函數(shù)，即的奇對稱函數(shù)，即y(t+/w) =- -y(t)，以保證非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)不含有常值，以保證非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)不含有常值分量，即分量，即A0=0；(3)系統(tǒng)的線性部分應(yīng)具有較好的低通濾波性能。系統(tǒng)的線性部分應(yīng)具有較好的低通濾波性能。3.描述函數(shù)的物理意義描述函數(shù)的物理意義 非線性環(huán)節(jié)僅考慮基波分量，非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)非線性環(huán)節(jié)僅考慮基波分量，非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)表現(xiàn)為復(fù)數(shù)增益的放大器。表現(xiàn)為復(fù)數(shù)增益的放大器。注意：描述函數(shù)表現(xiàn)為關(guān)于輸入正弦信號的幅值注意：描述函數(shù)表現(xiàn)為關(guān)于輸入正弦信號的幅值A(chǔ)的復(fù)變的復(fù)變增益放大器，這正是非線性環(huán)節(jié)的的近似頻率特性與線

20、性增益放大器，這正是非線性環(huán)節(jié)的的近似頻率特性與線性系統(tǒng)頻率特性的本質(zhì)區(qū)別。系統(tǒng)頻率特性的本質(zhì)區(qū)別。二、典型非線性特性的描述函數(shù)二、典型非線性特性的描述函數(shù)非線性元件得描述函數(shù)計算步驟：非線性元件得描述函數(shù)計算步驟：1.設(shè)設(shè)非線性元件的輸入非線性元件的輸入x(t)=Asinw wt 根據(jù)該元件的特性，根據(jù)該元件的特性，確定其輸出確定其輸出y(t)的表達式；的表達式；2.將將y(t)展成傅立葉級數(shù)；展成傅立葉級數(shù)；0011( )(cossin)sin()nnnnnny tAAn tBn tAYn twww3.取級數(shù)中的基波，求描述函數(shù)。取級數(shù)中的基波，求描述函數(shù)。典型非線性特性的描述函數(shù)典型非線

21、性特性的描述函數(shù)1.理想繼電器特性理想繼電器特性4( )(0)MN AAA2.死區(qū)繼電器特性死區(qū)繼電器特性24( )1()()MhN AAhAA3.滯環(huán)繼電器特性滯環(huán)繼電器特性244( )1 ()()MhMhN AjAhAAA4.飽和特性飽和特性122( )sin1() ()KaaaN AAaAAA5.死區(qū)飽和特性死區(qū)飽和特性11222( )sinsin1()1() ()KaaaN AAAAAAaAA 6.死區(qū)特性死區(qū)特性122( )sin1() ()2KN AAAAA 7.間隙特性間隙特性122( )sin (1)(1)(1)24(1)()KbbbbN AAAAAKb bjAbAA 8.變增

22、益特性變增益特性121222()( )sin1() ()KKsssN AKAsAAA9.有死區(qū)的線性特性有死區(qū)的線性特性10.庫侖摩擦加粘性摩擦特性庫侖摩擦加粘性摩擦特性4( )MN AKA122( )sin421 ()()KN AKAMKAAA 三、非線性系統(tǒng)的簡化三、非線性系統(tǒng)的簡化1.非線性特性的并聯(lián)非線性特性的并聯(lián) 若兩個非線性特性輸入相同，輸出相加、減，則等若兩個非線性特性輸入相同，輸出相加、減，則等效非線性特性為兩個非線性特性的疊加。效非線性特性為兩個非線性特性的疊加。3.線性環(huán)節(jié)的等效變換線性環(huán)節(jié)的等效變換 -結(jié)構(gòu)框圖化簡結(jié)構(gòu)框圖化簡2.非線性特性的串聯(lián)非線性特性的串聯(lián) -圖解法

23、圖解法 兩個非線性環(huán)節(jié)的串聯(lián)，等效特性還取決于其前后兩個非線性環(huán)節(jié)的串聯(lián)，等效特性還取決于其前后次序，調(diào)換次序則等效非線性特性亦不同。次序，調(diào)換次序則等效非線性特性亦不同。四、非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的描述函數(shù)法四、非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的描述函數(shù)法1.變增益線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析變增益線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程：0)(1wjKG01)(jKjGw設(shè)設(shè)G(s)的極點均在的極點均在s左半平面左半平面當(dāng)當(dāng)G(jw w)不包圍不包圍(-1/K，j0)點時，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；點時，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；當(dāng)當(dāng)G(jw w) 包圍包圍(-1/K，j0)點時，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定；點時，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定

24、；當(dāng)當(dāng)G(jw w) 穿過穿過(-1/K，j0)點時，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。點時，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。j01KG(jw w)當(dāng)當(dāng)G(jw w)不包圍不包圍(-1/K，j0)直線，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；直線，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；當(dāng)當(dāng)G(jw w)包圍包圍(-1/K，j0)直線時，則系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。直線時，則系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。 設(shè)設(shè)K1KK2 ，則，則(-1/K，j0)為復(fù)平面實軸上的一段直線。為復(fù)平面實軸上的一段直線。j021K11KG(jw w)2.應(yīng)用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性應(yīng)用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性-x(t)非線性部分非線性部分N(A)y(t)c(t)r(t)線性部分線性部分G(jw w)設(shè)設(shè)G(s)

25、的極點均位于的極點均位于s左半平面左半平面閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程：0)()(1wjGAN)(1)(ANjGw-非線性環(huán)節(jié)的負倒描述函數(shù)非線性環(huán)節(jié)的負倒描述函數(shù))(1ANG(jw w)與與 -1/N(A) 曲線無交點：曲線無交點：G(jw w)包圍包圍-1/N(A)，非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。G(jw w)不包圍不包圍-1/N(A)，非線性系統(tǒng)穩(wěn)定。非線性系統(tǒng)穩(wěn)定。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)：非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)： 若若G(jw w)不包圍不包圍 -1/N(A) 曲線，曲線， 則非線性系統(tǒng)穩(wěn)定；若則非線性系統(tǒng)穩(wěn)定；若G(jw w)包圍包圍 -1/N(A) 曲線，則非線性系

26、統(tǒng)不穩(wěn)定。曲線，則非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。21121TTxw8)(2121TTTKTjGxw例例8-5:已知非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。已知非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：解：對于線性環(huán)節(jié)，解得穿越頻率：對于線性環(huán)節(jié)，解得穿越頻率：非線性環(huán)節(jié)為庫侖摩擦加粘性摩擦特性，非線性環(huán)節(jié)為庫侖摩擦加粘性摩擦特性，查表查表8-1得得114( )MN AKA G(jw w)包圍包圍- -1/N(A)曲線曲線非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定10(0)112( )NNK 3.非線性系統(tǒng)存在周期運動時的穩(wěn)定性分析非線性系統(tǒng)存在周期運動時的穩(wěn)定性分析當(dāng)當(dāng)G(jw w)與與- -1/N(A)

27、 有交點時有交點時1()( )/()/( )G jN AG jN Aww Re()( )1Im()( )0G jN AG jN Aww 可解得交點處的頻率可解得交點處的頻率w w 和幅值和幅值A(chǔ)或或 系統(tǒng)處于周期運動時，非線性環(huán)節(jié)的輸入近似為等幅系統(tǒng)處于周期運動時，非線性環(huán)節(jié)的輸入近似為等幅振蕩，即每一個交點對應(yīng)著一個周期運動。振蕩，即每一個交點對應(yīng)著一個周期運動。 如果該周期運動能夠維持，即考慮外界小擾動作用使系如果該周期運動能夠維持，即考慮外界小擾動作用使系統(tǒng)偏離該周期運動，當(dāng)該擾動消失后，系統(tǒng)的運動仍能恢復(fù)統(tǒng)偏離該周期運動，當(dāng)該擾動消失后，系統(tǒng)的運動仍能恢復(fù)原周期運動，則稱為穩(wěn)定的周期運

28、動。原周期運動，則稱為穩(wěn)定的周期運動。j01( )N A()G jw1N2N0Nj01( )N A()G jw2N1N0Nwj0()G jwww1N3N2N20N10Nj0()G jww20N10N1( )N A1( )N A非線性系統(tǒng)存在周期運動的四種形式非線性系統(tǒng)存在周期運動的四種形式j(luò)01()NA()Gjw1N2N0Nw設(shè)系統(tǒng)周期運動的幅值為設(shè)系統(tǒng)周期運動的幅值為A0。當(dāng)外界擾動使非線性環(huán)節(jié)輸。當(dāng)外界擾動使非線性環(huán)節(jié)輸入振幅減小到入振幅減小到A1時，時， G(jw w)包圍包圍(-1/N(A1),j0)點，系統(tǒng)不穩(wěn)定，點，系統(tǒng)不穩(wěn)定，振幅增大，最終回到振幅增大，最終回到N0點。點。外界擾

29、動使輸入振幅增大到外界擾動使輸入振幅增大到A2時，時， G(jw w)不包圍不包圍(-1/N(A2),j0)點，系統(tǒng)穩(wěn)定，振幅減小，最終回到點，系統(tǒng)穩(wěn)定，振幅減小，最終回到N0點。點。 因此因此N0點對應(yīng)的周期運動是穩(wěn)定的。點對應(yīng)的周期運動是穩(wěn)定的。j01()NA()Gjw2N1N0Nw外界擾動使非線性環(huán)節(jié)輸入振幅減小到外界擾動使非線性環(huán)節(jié)輸入振幅減小到A2時，時，G(jw w) 包圍包圍(-1/N(A2),j0)點，系統(tǒng)不穩(wěn)定，振幅繼續(xù)增大而發(fā)散；點，系統(tǒng)不穩(wěn)定，振幅繼續(xù)增大而發(fā)散；外界擾動使輸入振幅減小到外界擾動使輸入振幅減小到A1時，時，G(jw w) 不包圍不包圍 (-1/N(A1),

30、j0)點，系統(tǒng)穩(wěn)定，振幅減小，最終衰減到零；點，系統(tǒng)穩(wěn)定，振幅減小，最終衰減到零； 因此因此N0點對應(yīng)的周期運動是不穩(wěn)定的。點對應(yīng)的周期運動是不穩(wěn)定的。j0G(jw)w1N3N2N20N10N1N(A)N20點對應(yīng)的周期運動是穩(wěn)定的。點對應(yīng)的周期運動是穩(wěn)定的。N10點對應(yīng)的周期運動是不穩(wěn)定的。點對應(yīng)的周期運動是不穩(wěn)定的。j0G(jw)w20N10N1N(A)N10點對應(yīng)的周期運動是穩(wěn)定的。點對應(yīng)的周期運動是穩(wěn)定的。N20點對應(yīng)的周期運動是不穩(wěn)定的。點對應(yīng)的周期運動是不穩(wěn)定的。周期運動穩(wěn)定性判據(jù)：周期運動穩(wěn)定性判據(jù)： 在在G(jw w)和和- -1/N(A)的交點處，若的交點處，若- -1/N(A)曲線沿著曲線沿著振幅振幅A增加的方向由不穩(wěn)定區(qū)域進入穩(wěn)定區(qū)域時，該交增加的方向由不穩(wěn)定區(qū)域進入穩(wěn)定區(qū)域時，該交點對應(yīng)的周期運動是穩(wěn)定的。反之，若點對應(yīng)的周期運動是穩(wěn)定的。反之，若- -1/N(A)曲線沿曲線沿著振幅著振幅A增加的方向在交點處由穩(wěn)定區(qū)域進入不穩(wěn)定區(qū)增加的方向在交點處由穩(wěn)定區(qū)域進入不穩(wěn)定區(qū)域時，該交點對應(yīng)的周期運動是不穩(wěn)定的。域時，該交點對應(yīng)的周期運動是不穩(wěn)定的。 例例8-6:設(shè)具有飽和非線性特性的控制系統(tǒng)如圖，試分析設(shè)具有飽和非線性特性的控制系統(tǒng)如圖，試分析(1)K=15時非線性系統(tǒng)的運動；時