數(shù)列的壓軸小題練習(xí)題和詳細(xì)的分析解答(3)

1、數(shù)列的壓軸小題練習(xí)題和詳細(xì)的分析解答（3）1.數(shù)列滿足©>0, 4+1=。；一凡+1,61<,5“表示數(shù)列51前項和，則下列選 項中錯誤的是（） 22A.若。<©<不則為<1B.若不vq<l,則/遞減111、2C.若4=3,則S>4-2D.若4=2,則與皿力2 I% ；32 .已知數(shù)列而滿足：。k0,4用=ln（/+l） / （0V*）,前項和為S（參考數(shù)據(jù),1112M）.693, 1113HL099）,則下列選項中錯誤的是OA. %,i是單調(diào)遞增數(shù)列，%”是單調(diào)遞減數(shù)列 B. a+an<n3C. S202O < 666

2、D. ”2_】< a2n3 .設(shè)數(shù)列中，q:貝1J ()A.當(dāng) =，,。10>10B.當(dāng) =，,。0>1。2C 當(dāng)人=一2,4。>1。D.當(dāng) =-4必。104 .已知函數(shù)/(x)ha+l)2,令/i(x)三八Cr),啟1G)4；(X),若啟COhSM+Mr+Cn),2a記數(shù)列 -7 的前項和為Sn,則下列選項中與S2019的值最接近的是()3579A.，B. 5C- 4D' 55.已知數(shù)列“中，cil=2,n(an-an) = ali + ,neNt ,若對于任意的ae-Z2jieN不等式也<2/+<-1恒成立，則實數(shù)，的取值范圍為()n + A.

3、(yo,-25Lx0)B. (yo,-232,s)C. (o,-1u2,-ko)D. -2,26 .設(shè) ”,Z?eR,數(shù)列“中， =,+ =。；+匕，"wN* ,則()A.當(dāng) = ；,0>1OB.當(dāng)方=(,。01。C.當(dāng)力=-2,為)>10D.當(dāng) =-4,可0>107 .設(shè)數(shù)列%滿足q=0,冊.產(chǎn)+l-c, wZ,其中C為實數(shù)，數(shù)列；的前項和是3,下列說法不正確的是（）A. c£O,l是?！?#163;0,1的充分必要條件B.當(dāng)c>l時，但“ 一定是遞減數(shù)列C.當(dāng)c<0時，不存在c使4是周期數(shù)列D.當(dāng)。=時，Sn>n-78 .在數(shù)列q中，

4、q=a（aeN'）, %=<非，九4為偶數(shù)（可），則下列結(jié) 匕019 +g,若勺為奇數(shù)？論成立的是（）A.存在正整數(shù)。，使得q為常數(shù)列8 .存在正整數(shù)。，使得q為單調(diào)數(shù)列C.對任意的正整數(shù)。，集合q/£N'為有限集D.存在正整數(shù)。，使得任意的1、“eN*,當(dāng)團(tuán)。時，心。為數(shù)列的壓軸小題練習(xí)題和詳細(xì)的分析解答（3）9 .已知數(shù)列“中，© =2,(+-)=凡+1,£N' ,若對于任意的ae-Z2lneN不等式也<2/+<一 1恒成立，則實數(shù)，的取值范圍為()L 77 + 1A. (yo,-2dL+co)B. (yo,-232,

5、一)C. (co,-1<j2,-i<o)D. -2,2為- 14 >11則下一,0<% <110.若數(shù)列 M 滿足:存在正整數(shù)T,對于任意正整數(shù)都有為+7=成立，則稱數(shù)列% 為周期數(shù)列，周期為丁.已知數(shù)列qj滿足4=加（加>。）， 列結(jié)論中錯誤的是（）A.若%=4,則小可以取3個不同的值;B.若加=0,則數(shù)列“是周期為3的數(shù)列；C.對于任意的TeN*且叱2,存在/>1,使得%是周期為了的數(shù)列D.存在?丘。且m22,使得數(shù)列“是周期數(shù)列1.數(shù)列滿足©>0,=。；-凡+1,61<6表示數(shù)列；5 前項和，則下列選 項中錯誤的是（） 22

6、A.若。<©<不則為<1B.若不vq<l,則/遞減111、2C.若=不，則5“>4 -2D.若=2,則與儂>工21%；3【答案】D【解析】【分析】對于選項A,令于（X）= d-X+1, =W（O,1）,利用導(dǎo)數(shù)求出/（力£（0,1）即可；對于選項B,首先得到出|X t4,1）時有v J （"） v /（1） = 1，然后結(jié)合g vq <1和a, </可得出勺遞減：對于選項C,證明-!->4 -即可；對于選項D,證4I”向 aJ/ 明一<1即可. % 61% 力【詳解】對于選項A,令/（1）=犬3一1+ 1

7、, X£（O,1）則/'（力=3/_1,所以“X）在（。，4上單調(diào)遞減，在f ,1）上單調(diào)遞增因為O)= 1J =1->0,/(1) = 1,所以/(力40,1)所以當(dāng) el O,1jc（0,1）時為 < 1,故A正確對于選項 B._4 =； _24 +1 =(% -1 乂* +4 -1)因為二 <卬<1,所以aJ+q-l>0,所以小a1 3因為 f (x) = d X + 1 在/7 )?上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時有曰 </(曰)< /(x)< /(1) = 1% i、i1 2>/3所以 a1> >>

8、1;,>>« > 1 -> ，1-393所以遞減，故B正確對于選項C,令g(x) = x32x + i,x>0則 g'(X)= 3/易得 g(x)mm=g»券>。944所以 un +1 > 0 ,所以 一 a +1 > 二 a，即 a+1 > a所以工>4所以s.=LL.J% 七 4>4 +43 aJ+4=4w+l-L-24*2所以§“=； +21 - 61 i 2 /1 %"16W q故C正確 對于選項D,因為 =2,所以向一4=4-24+1=(4/一2"，+1>

9、0所以q出 >q2(q一1)2q2之4令 /?(%) = x3 -8x+1/ > 4，則力'(工)=3x2-8易得力(%)>(4)>0,所以：一84+1>0,所以%3-/ + 17凡，即4用>7所以力+1 7._ . . . .( 1 1 < -H H；2 aj 6(%故D錯誤故選：D【點睛】本題考查的是數(shù)列的綜合問題，解答的關(guān)犍是結(jié)合導(dǎo)數(shù)的知識，構(gòu)建合適的不等式，屬于難 題.2.已知數(shù)列斯?jié)M足：«i=0, «n+1=ln（ea-+l）-an （WeiV*）,前項和為S”（參考數(shù)據(jù):ln2M）.693, 1113HL099）

10、,則下列選項中錯誤的是。A. %,i是單調(diào)遞增數(shù)列，為“是單調(diào)遞減數(shù)列B. a+an+l<n3C. S2S0 <666D. a2n- < a2n【答案】C【解析】【分析】設(shè)廢=（，則有"+1»“="+1，"+1=與，構(gòu)建且（工）=生，求 bn% +1X+導(dǎo)分析可知導(dǎo)函數(shù)恒大于零，即數(shù)列出，也1都是單調(diào)數(shù)列，分別判定4也 >如即得單調(diào)性，數(shù)列«）與數(shù)列2的單調(diào)性一致，可判定A選項正確：B、C選項利用分析法證明，可知B正確，C錯誤：D選項利用數(shù)學(xué)歸納法證分兩邊證么1<正;<仇“， 2即可證得。22 <a2n

11、-【詳解】由題可知，“1=0,q+ =ln（e"“，a2 =ln（e°+l）-0 = ln2,4 , b +12b“ +1設(shè)* = b”,b“>0 ,則有也=* + 1也.I =,即翹+2 = /工斤令8（力=生?，則g'（x）= 717>°，這里將（%也），（。也+2）視為g（x）上的前 Ail（八十b - b后兩點，因函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，所以產(chǎn)產(chǎn)>°，一 -2所以數(shù)列4”,初2”.1都是單調(diào)數(shù)列又因為=e° = l,同理可知，所以抄2.t單調(diào)遞增，物2單調(diào)遞減因為數(shù)列q與數(shù)列色的單調(diào)性一致，所以%z單調(diào)遞增，也”

12、單調(diào)遞減，故A選項正確：因為 6, = bn,則 a = In a ,欲證 an+ % = in bn +ln Z?n+1 =ln(/?- /?1+1)<In3,即bn - b八+、<3 =>bH+< 3 => bn < 2由b”+1=，上式化為與口42 =1之1, Dn顯然,2 = 2時，仇=1,當(dāng)之3時，2_|=與山>1,故成立； 5-2所以原不等式成立故B選項正確：欲證 a” + an+l + 勺+2 之 In 3 ,只需證 In bn + In % + In bn2 N In 3,即 In (2 % - Z?r+2)>ln3即*%也+2之

13、3 = " 槳汽33 = 24+123 =仇；1,顯然成立 a a+i1998故 an + 4+ + 4+2 2 In 3 > 1,所以 5202a > SI998 > x 1 = 666故C選項錯誤：欲證的2</.，因單調(diào)性一致則只需證2 <%”，只需證A正土1<"工一1<iri因為=1<史上1,若" V史二！，則'22_(l+l_11 一下+ 12又因為4=2>母，若打”>其二！，則 22%=2 = 2，>2_ J 與- M + lb2n+l墾l + i2 :2由數(shù)學(xué)歸納法有,則叼 &l

14、t;小”成立一 -1故D選項正確.故答案為：C【點睛】本題考查二階線性數(shù)列的綜合問題，涉及單調(diào)數(shù)列的證明，還考查了分析法證明與數(shù)學(xué)歸納 法的證明，屬于難題.3.設(shè)數(shù)列“中，4 =,%+ =。；+匕，,貝1J（）A.當(dāng) =I,%。> 10B.當(dāng)方= L，4o>1。2C.當(dāng)人=-2,/。>10D.當(dāng) =-4"%>10【答案】A【解析】【分析】對于3,令W 一義+ 1=0,得入=1,取a =1,得到當(dāng)時，aioVlO；對于C,令 4224入-2=0,得人=2或人=-1,取ai=2,得到當(dāng)/?=-2時，o<lO：對于。，令-人-4=。，得八/1%小匕/得到當(dāng)加=

15、-4時，awVIO：對于A,2 2="+片+*+1 ' 2+,=匚>1, 42 16 2 16（I一 3"3770當(dāng)，4時，上="“ 2 >十7=彳,由此推導(dǎo)出二,（彳）6,從而”o>7T>10 品+ - -2 24264【詳解】對于3,令/1 + !=0,得人=1, 42取"1 =于=1<10，當(dāng)b= 一時，"ioVIO,故8錯誤； 4對于C,令X2-入-2=0,得入=2或入=-1,取凹=2, ,“2=2,，4=2V10,.當(dāng)、=-2時，切0<10,故C錯誤；對于。，令爐-入-4=0,得力J土后,2

16、.當(dāng)/）=-4 時，“io<1O,故。錯誤;對于A, 2+U/=面+4+1二, 2 222 4%="+/+為+4242 161 17H=一2 16、與24時，一"=421 + = 1品 +-2 2'”>3 a4 2,，一 > （二）6, .必0>1。.故 A 正確. 出 264&.>?.。92故選月.【點睛】遇到此類問題，不少考生會一籌莫展.利用函數(shù)方程思想，通過研究函數(shù)的不動點，進(jìn)一步 討論。的可能取值，利用“排除法”求解.4.已知函數(shù)/Gr）NX（X+l）2,令（X）,若1/。）=（。/2+姐+0）,記數(shù)列 盧L ）的前項和

17、為Sn,則下列選項中與S20I9的值最接近的是（）【答案】A【解析】【分析】2a 21經(jīng)過求導(dǎo)可得：“產(chǎn)1,為二2，Cn=H (h+1) +1.所以一丁 = 丁7 =)"7通過放縮，2G勾 2一+2/廠+ 1利用裂項相消法求和，即可得解.【詳解】由 f (x)(x+1) 2=rv (a2+2x+1),得力(x) =f (x)=e。(/+4x+3),fi (x) =6* (x)=(,F+6x+7),fi (x) =fi (x) =T (x2+8x+13), Jn7 (x) =fn (x)="，+2 (n+1) x+(71+1) (n+2) +1. 又力(x) (“N+bjK+

18、Cn)， a”二 19, Cn=，？( +1) +1 .2q, _2_ 12c“ - % 2n2 + 2 - w2 + T2a11111= ;< -r < :-=令”王丁,寸心曠力;"Ah 1 + + 一 = < 一22) 2 3) n -1 n) 2 n 23 工與S刈9的值最接近的是M.故選：A.【點睛】本題考查了求導(dǎo)，數(shù)列放縮法求和，同時考查了裂項相消法，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想, 屬于難題.5.已知數(shù)列4中，4=2,(3m一&) = * + 1,£%.,若對于任意的。目2,2,£N"不等式也<2/+,-1恒成立，則

19、實數(shù)，的取值范圍為()A. (o,-2kjl,-K>o)B. (»,-2卜2,笆)C. (,-1u2,-k>d)D. -2,2【答案】B【解析】【分析】a . a 111先根據(jù)題意，對原式進(jìn)行化簡可得一一=/、=->然后利用累加法求得n + n ( + 1) n n + 3=3-，然后不等式 <2/+一1恒成立轉(zhuǎn)化為2產(chǎn)+( 123恒成立，再利 +1/7 + 17J + 1用函數(shù)性質(zhì)解不等式即可得出答案.【詳解】由題,(«田一凡)=q +1 =>4+| = ( + )a +1,n ""+】“一1 11/由累加法可得：&

20、;= /? + l n + 叩- J1 1)+(1 即十n + 1 n n + lj n-對于任意的a g-2,2,/z g N即2產(chǎn)+ m1之3 = 2產(chǎn)+ af-令 f(a) = 2r +at-4 = at + 2i可得/(2)之0且/(2)2 0?+/-2>0 ”1 或f W即 r-r-2>0卜 N2 或 Qn ) n n-) 21 ) + . + 1- 1 + 2 = 3<3 n)( 2) +1不等式&±L < 2r + m -1恒成立 n + 4>0l -4, (a 2,2)-2可得IN2或，工一277 + 1 n 72 (7? + 1

21、) n n + 故選B【點睛】本題主要考查了數(shù)列的通項的求法以及函數(shù)的性質(zhì)的運用，屬于綜合性較強(qiáng)的題目，解題的 關(guān)鍵是能夠由遞推數(shù)列求出通項公式和后面的轉(zhuǎn)化函數(shù)，屬于難題.6 .設(shè) a,btR,數(shù)列“中，4=；+，mN* ,則()A.當(dāng)=B.當(dāng)Z? =(Mo>lOC.當(dāng)人=-2,%0>10D.當(dāng) =-4,“I。>10【答案】A【解析】【分析】若數(shù)列%為常數(shù)列，3o=%="，則只需使4<10,選項的結(jié)論就會不成立.將每個選項的的取值代入方程rx + = 0,看其是否有小于等于10的解選項B、C、D均有小 于10的解，故選項B、C、D錯誤,而選項A對應(yīng)的方程沒有解

22、，又根據(jù)不等式性質(zhì)，以及 基本不等式，可證得A選項正確.【詳解】若數(shù)列% 為常數(shù)列，則« =4=4,由%* = 4； + b ,可設(shè)方程x? - x + Z? = 0選項 A： =，時，x2 - x + = 0 , 222 = 12 =1 <0»故此時4不為常數(shù)列，.n9>(V2)7rt2>4>/2, KiJo >aj >16>10,故選項A正確;選項 B： b 時，a+i=q；+L，a:2 - x + = 0 , 444則該方程的解為x=L, 2即當(dāng) = _!_時，數(shù)列也,為常數(shù)列，a=-,22則qo=4vlO,故選項B錯誤： 2

23、選項 C： = 一2時，x2 -x-2 = 0該方程的解為x = l或2,即當(dāng)。=一1或2時，數(shù)列q為常數(shù)列，勺=-1或2，同樣不滿足°>1。，則選項C也錯誤；選項 D： = -4 時，八二x 4 = 0該方程的解為=上也， 2同理可知，此時的常數(shù)列也也不能使Ro > 10 ,則選項D錯誤.故選：A.【點睛】遇到此類問題，不少考生會一籌莫展.利用函數(shù)方程思想，通過研窕函數(shù)的不動點，進(jìn)一步 討論。的可能取值，利用“排除法”求解.7 .設(shè)數(shù)列%滿足q=0,冊”=c*+l-c,其中C為實數(shù)，數(shù)列；的前項和是S”，下列說法不正確的是（）A. C6 0,1是?！?#163;0,1的

24、充分必要條件B.當(dāng)C>1時，“ 一定是遞減數(shù)列C.當(dāng)c<0時，不存在c使%是周期數(shù)列D.當(dāng)。=白時，Sn>n-1 4【答案】C【解析】【分析】利用條件以及數(shù)學(xué)歸納法說明A成立；結(jié)合類推思想說明B成立：利用零點存在定理說明存 在C使%是周期數(shù)列，即C錯誤；利用放縮法說明D成立.【詳解】若則/即必要性成立:若c£OJ,則。2=l-ce°假設(shè)=以人1,攵e")時，/e(M則=k +1 時，a“+i =co： + 1-c e(l -c,lc0.1因此。£0.1時，q, e 0,1,即充分性成立：故A成立；c >1,> = ex3 +

25、 -c 單調(diào)遞增,.,q =0,.2 = I -c <0/. fr3 = f(a2)< f(a1) = l-c = a2同理。4= f (%)</&)=。3,依次類推可得。向<%，即4一定是遞減數(shù)列,故B成立；當(dāng) cvO 時，q =O,:.a2 = 1 - c > 0 /. «3 =c(I-c)3 +1 - c < 1 - c = n2由 % =0=>c(l-c)2 +1 =。，令 g(c) = c(lc)2 +ljg(-l)<0,4(一；)>O，g(c)存在零點，即存在。使“是周期數(shù)列，即C錯誤：當(dāng) c = g 時，4*

26、 = /；： + "“"+1 -1 = ：(“； - 1) =- 1)(% + an +1), 4444414Q由 A 得為 e 0J ,所以t/r+l-l>-(-1)(1 + 1 + 1)> (%_1 1)之N(0-1)«)， 444q田之 1 一3),21 -Q)t(心2).4 > 1 -2(二嚴(yán)(心2) 444o r / o、一廣41 4,=;? -1 - 2 x > n -7,(n > 2)7 3 VS >，-1 2 + 4因為 =1時，=0>-7,所以工>-7,即D成立；故選：C【點睛】本題考查數(shù)列周期、數(shù)

27、列單調(diào)性、等比數(shù)列求和、零點存在定理、數(shù)學(xué)歸納法，考查綜合分析論證與判斷能力，屬難題.8.在數(shù)列口中，1=<為偶數(shù)（亡N）,則下列結(jié)匕019 +,%若勺為奇數(shù)？論成立的是（）A.存在正整數(shù)。，使得q為常數(shù)列B.存在正整數(shù)。，使得q為單調(diào)數(shù)列C.對任意的正整數(shù)。，集合3”IeN'為有限集D.存在正整數(shù)。，使得任意的加、neN*,當(dāng)?。時，吟。為【答案】C【解析】【分析】對。分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論，根據(jù)生="是否有解可判斷A選項的正誤：對。分奇數(shù) 和偶數(shù)，結(jié)合遞推公式，說明兩種情況下數(shù)列凡的單調(diào)性，進(jìn)行推理，進(jìn)而判斷B選項 的正誤：設(shè)。<4,利用數(shù)學(xué)歸納法證明出數(shù)列

28、q有界，進(jìn)而可判斷C選項的正誤；由 列凡有界可判斷D選項的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對于A,若。為偶數(shù)時，出=,=，4 = 0不符題意， - 2若。為奇數(shù)時，/ =2019 + ”=”無解，故A錯；對于B,若。為偶數(shù)，的=,6，/>/，若q為單調(diào)數(shù)列，即為遞減數(shù)列，2而4H4= ；4，%可以為奇數(shù)，此時4+1=2019 + /, q不滿足遞減數(shù)列.若。為奇數(shù)，%=2019 + %, / >，若%為單調(diào)數(shù)列即為遞增數(shù)列，而3=；0，。2>3，q不滿足遞增數(shù)列，故B錯；:與,若為為偶數(shù)？乙2019 +4,若4為奇數(shù):不妨令（其中2是一個給定的正整數(shù)），id/= max2,20

29、19）,若勾=。為奇數(shù)，當(dāng) =1、2時，成立, /=" + 2019為偶數(shù)，4丸+ 2。1942f成立,假設(shè)當(dāng) =k時，若取是奇數(shù),則%"若勺是偶數(shù),則那么=4+ 1時，若%是奇數(shù)，則4n=%+2019是偶數(shù)，。一«2f；若為是偶數(shù)，則 若此時4川是奇數(shù)，則滿足若知X是偶數(shù),則滿足人即=4+ 1時結(jié)論成立;若="為偶數(shù)，當(dāng) =1、2時，成立，生% « 21成立.假設(shè)當(dāng)=攵時，若見是奇數(shù),則,"若或是偶數(shù),則4T21, 那么 = A + 1時，若%是奇數(shù)，則%川=%+2019是偶數(shù)，若巴是偶數(shù)，則 若此時4川是奇數(shù)，則滿足q7 W/,若

30、怎,是偶數(shù),則滿足見、4f 4 2,即M = %+ 1時結(jié)論成立.綜上，對任意的正整數(shù)。，若/為奇數(shù)，則為，若小為偶數(shù)，則/ W2f,所以，對任意的正整數(shù)。，集合4七N;為有限集，故C對:則當(dāng)一口，集合q對于D選項，當(dāng)7H時，火“。4r，即各項的數(shù)值各不相同,有無窮多個元素，這與q有上界矛盾，故不符合，故D錯.故選：C.【點睛】本題考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，綜合考查了數(shù)列的單調(diào)性等相關(guān)知識，考查推理能力，屬 于難題.9.已知數(shù)列4中，4=2,“（4川一4）=%+1,亡%.,若對于任意的4£2,2,eN*,不等式- <2+4一1恒成立，則實數(shù)f的取值范圍為（）H + 1A.B. （

31、口,-2N2,一）C. （-132,討）D. -2,2【答案】B【解析】【分析】”“+1 冊111先根據(jù)題意，對原式進(jìn)行化簡可得一二一一n=；，然后利用累加法求得H + l n n（n + ） n + 14=3-:，然后不等式也 <2產(chǎn)+<一1恒成立轉(zhuǎn)化為2產(chǎn)+,-1N3恒成立，再利 +1n+1用函數(shù)性質(zhì)解不等式即可得出答案.【詳解】由題,“（0出一可）=q+1=>4+| =（ + 1）q+1ip -=77 + 1 n + n n + 由累加法可得：%+n + < +1 n ) n n- ) 21 )<2/+ 6"-1恒成立對于任意的4£2,2,wN，不等式巴辿 l n + 即 2產(chǎn) + s 1 之 3 = 2/ + r4 N 0令/(.) = 2 /+-4 = + 2/24,«£2,2)可得”2)2 0 且2)2 0r+r-2>0 fr >ls£r<-2r-r-2>0d2 或/<-1可得出