第四部分直梁的彎曲41平面彎曲概念梁的類(lèi)型ppt課件

1、 第四章 直梁的彎曲4-1 平面彎曲概念 梁的類(lèi)型1、梁彎曲常見(jiàn)彎曲變形構(gòu)件,如房屋支承梁，工廠中起重機(jī)橫梁及化工中的臥式容器等。構(gòu)造如圖：臥式化工容器：彎曲梁受力特點(diǎn)在經(jīng)過(guò)梁某一縱向平面內(nèi)，遭到垂直于軸線的外力或力偶作用。受力如圖：變形特點(diǎn)任兩個(gè)截面繞垂直于梁軸線軸 相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，梁軸線由直線變曲線。平面彎曲一切外力或力偶作用在縱向?qū)ΨQ(chēng) 面內(nèi)，梁軸線在對(duì)稱(chēng)面內(nèi)彎曲成 平面曲線。縱向?qū)ΨQ(chēng)面在縱向可將梁分成對(duì)稱(chēng)兩半。受 力 后截 面 軸 線2、梁簡(jiǎn)化 對(duì)實(shí)踐梁受力分析和強(qiáng)度計(jì)算，對(duì)梁進(jìn)展簡(jiǎn)化，以軸線表示梁。 梁簡(jiǎn)化成三種力學(xué)模型：1簡(jiǎn)支梁 如圖：一端固定簡(jiǎn)支，另一端可動(dòng)鉸支。2外伸梁 如圖：梁一端或

2、兩端伸出支座外。3懸臂梁 如圖：梁一端固定約束，另一端自在。各支座處力與位移邊境條件：固定鉸支 支座處 梁左、右，上、下 均不可挪動(dòng)，但可繞約束點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。 解除約束 受力圖RRxy力的邊境條件位移邊境條件 m = 0Rx 0Ry 0 x = 0y = 0可動(dòng)鉸支支座點(diǎn)左、右 可挪動(dòng)，上、下 不可動(dòng)。解除約束 受力圖 Ry力的邊境條件位移邊境條件 Ry 0 Rx = 0 m = 0 x 0y = 0固定端約束限制 固定端既不能轉(zhuǎn)動(dòng)，也不可挪動(dòng)。解除約束 受力圖RyRxm力的邊境條件位移邊境條件 Rx 0 Ry 0 m 0 x = 0y = 0各支座反力 可根據(jù)平衡條件求出。 假設(shè)未知力數(shù)與所列出的

3、獨(dú)立方程數(shù)一樣，那么可求出未知力稱(chēng)為靜定問(wèn)題，屬于靜定梁； 反之為靜不定，稱(chēng)為不靜定梁或超靜定問(wèn)題。集中力：作用力作用在很小面積上，可近似一點(diǎn)。如圖：集中力偶：力偶兩力分布在很短一段梁上，可簡(jiǎn)化為作用在梁的某一截面上。如圖：分布載荷：載荷分布在較長(zhǎng)范圍內(nèi)，以單位長(zhǎng)度受力 q 表示。 q 單位 N / m 如圖：作用于梁上載荷有三種方式：Pmq4-2 梁彎曲時(shí)的內(nèi)力一、內(nèi)力計(jì)算內(nèi)力計(jì)算方法如下：第一步解除支座約束，計(jì)算約束反力。第二步用截面法將梁分成兩部分。第三步由平衡條件計(jì)算截面處內(nèi)力。如圖：簡(jiǎn)支梁，試計(jì)算 m n 截面內(nèi)力。解: (1) 解除約束， 求約束反力列平衡方程nABabmPRRRx

4、AyAyBRxA = 0RyA + RyB = PRyB(a+b) Pa = 0baPaRyB baPbRyA 0 xAR (2) 用截面法求內(nèi)力MMQQxoPRAyRBy截面處存在的內(nèi)力：阻止 RyA 作用下繞 O 轉(zhuǎn)動(dòng)，截面必存在附加內(nèi)力矩 M，阻止轉(zhuǎn)動(dòng)。平衡 RyA力，截面上必有向下力 Q附加內(nèi)力矩M稱(chēng)為截面彎矩。 截面內(nèi)力Q稱(chēng)為剪力，與外力平行，有使 梁沿 mn 截面剪斷趨勢(shì)。分別體處于平衡，由平衡條件得： y = 0 RAy Q = 0 M = 0 M RAy x = 0baPbQ xbaPbM 結(jié)論：受彎曲梁任一截面內(nèi)力有 彎矩與剪力。剪力等于截面之左或右一切外力代數(shù)和。彎矩等于截

5、面之左或右一切外力力偶對(duì)截面形心之矩代數(shù)和。剪力與彎矩對(duì)梁強(qiáng)度影響： 由經(jīng)典力學(xué)分析 彎矩對(duì)梁強(qiáng)度影響遠(yuǎn)大于 剪力對(duì)梁強(qiáng)度。 工程計(jì)算普通只思索彎矩，忽略剪力。二、彎矩符號(hào)規(guī)定規(guī)定如下： 所求彎矩的截面附近能構(gòu)成上凹下凸的彎曲變形，該截面彎矩為正；反之為負(fù)。m n 截面附近彎曲外形，如圖，彎矩M為正。反之 發(fā)生如以下圖彎曲外形，彎矩為負(fù)。MmnMmnMM由此得“左順右逆彎矩為正 規(guī)定：截面左側(cè)一切對(duì)截面形心之矩為順時(shí)針 的外力及順時(shí)針的力偶，它們 在截面處產(chǎn)生彎矩為正，反之 為負(fù)。截面右側(cè)一切對(duì)截面形心之矩為逆時(shí)針 的外力及逆時(shí)針的力偶，它們 在截面處產(chǎn)生彎矩為正，反之 為負(fù)。4-3 彎矩圖由

6、截面法計(jì)算出橫截面彎矩隨軸線 x 變化規(guī)律 M = M(x) 稱(chēng)為梁彎矩方程將彎矩大小與正負(fù)表示在圖上彎矩圖畫(huà)彎矩圖的根本方法：(1) 對(duì)雙支點(diǎn)梁解除約束，求支座反力，懸臂 梁不用求支座反力,從懸臂端開(kāi)場(chǎng)計(jì)算。(2) 在有集中力或集中力偶處分段，求出每一段彎矩方程。(3) 選適當(dāng)比例，以橫截面位置x為橫坐標(biāo)，彎矩M為縱坐標(biāo)作彎矩圖。 例一，如圖： 受集中載荷簡(jiǎn)支梁。 試畫(huà)出彎矩圖。解：解除約束，求約束反力ABCDPmaaaPRRRAxAyBym=PaRAy 3a P 2a + m = 0RAy + RBy P = 03PRAy32PRBy0AxR分段求各段彎矩AC段，在AC段任取一截面xPxR

7、MAyAC30 xaDC段，在DC段任取一截面)(axPxRMAyDCxPPaPaPxxP323ax2aPMxRAyxRAyBD段，在BD段任取一截面MRxByPxxRMByBD320 xa畫(huà)彎矩圖(+)(-)(+)3Pa2Pa3aP3CADB例二、有一懸臂梁 長(zhǎng)l，其上分布載荷q和集中力偶矩m. 試畫(huà)出彎矩圖。解：懸臂梁可不用求約束反力直接分段 AB與BC段AB段 在AB之間任取一截面彎矩B截面右側(cè) m=ABl/22Cql/2ql2x222qxxqxMAB82qlMB右=2l0 xBC段 在BC之間任取一截面2222qlqxMBC22lxlB截面左側(cè)，2lx 283qlMB左xqC點(diǎn) x=l

8、， MC =0AC83ql2Bql28(+)(-)例三、有一梁受力如圖，試畫(huà)出彎矩圖。解: (1) 解除約束， 求約束反力aaaABCDqqaDAqCBRRRByAyBxqaRBx = 0RBy + RAy qa qa = 00252aqaaqaaRAyRAy = 1.75 qaRBy = 0.25 qa(2) 分段求各段彎矩，分DA,AC,CB三段。qx22qxMAD0 xaDA段，在之間任取一截面AC段，在之間任取一截面)2()(axqaaxRMAyAC225. 175. 0qaqaxqADx a x2aBC段，在之間任取一截面xMRBCBy(3) 畫(huà)彎矩圖ABCD(+)(-)0.25qa

9、qa222xRMByBC 0 xa4-4 純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲忽略掉剪應(yīng)力，梁變?yōu)橹恍鑿澗?而無(wú)剪力梁，此時(shí)彎曲為純彎曲。純彎曲梁梁橫截面上只需彎矩而無(wú)剪力。兩端遭到一對(duì)外力偶作用典型純彎曲梁梁上既有彎矩又有剪力作用時(shí)的彎曲稱(chēng)為剪切彎曲 分析純彎曲梁橫截面正應(yīng)力方法分四步：一、實(shí)驗(yàn)察看與假設(shè)推論 如圖一矩形截面梁，在側(cè)面分別畫(huà)上與梁軸線相垂直的線11 ，22，及與梁軸線平行線ab，cd11，22 代表橫向截面ab，cd代表縱向截面11abcd22兩端施加外力偶，使梁產(chǎn)生純彎曲 變形如圖1221abcdomom察看景象如下：1、變形后，11，22仍為直線，但轉(zhuǎn)一定角度，仍與梁軸相垂直

10、。2、縱向線ab，cd及軸線由直線變?yōu)閳A弧，ab縮短，cd伸長(zhǎng)。3、梁橫截面高度不變，寬度變化，凹入頂部略增大，凸出底部略變小。由察看景象作兩點(diǎn)假設(shè)：1、平面假設(shè)梁橫截面彎曲變形后均為 平面，仍垂直于軸線。橫 截面只繞某軸轉(zhuǎn)個(gè)角度。2、互不擠壓假設(shè)假設(shè)梁由很多層纖維 組成，變形時(shí)各層纖 維只受軸向拉伸或壓 縮，各層纖維 互不 擠壓。由假設(shè)作如下推論：由察看得知，橫截面只相對(duì)偏轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，縱向纖維遭到軸向拉伸或緊縮。1、純彎曲梁變形本質(zhì)是拉伸或緊縮變形，不是剪切變形。2、橫截面只需正應(yīng)力，無(wú)剪應(yīng)力。凹側(cè)受壓，有緊縮應(yīng)力，凸側(cè)受拉，存在拉應(yīng)力。3、中間存在一層既不受拉也不受壓的中性層，其上應(yīng)力為

11、0。留意：中性層含義二、應(yīng)變與幾何尺寸之間關(guān)系 從受純彎曲梁取一段dx長(zhǎng)。 dx微段的兩橫截面變形后夾角d ,中性層曲率半徑為 dx12oo1cd1y變形前odo1c12do1dx變形后OO1 = OO2 = O1O2 = dx = d 中性層變形前后長(zhǎng)度不變。變形后 c1d1 =( +y)d c1d1的應(yīng)變dddydxdxdy)()(y三、物理關(guān)系虎克定律由假設(shè)可得 梁彎曲本質(zhì)是拉伸與緊縮 hook定律：yEE上式顯示：梁截面上任一點(diǎn)應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸間隔成正比，y=0的中性面上 應(yīng)力為0，上、下邊緣正應(yīng)力最大。四、靜力學(xué)關(guān)系尋覓正應(yīng)力與彎矩M之間關(guān)系如圖：純彎曲梁橫截面應(yīng)力分布中性軸兩側(cè)

12、一邊受拉 一邊受壓可構(gòu)成力偶中性層如圖 在梁橫截面上取微面dA，距中性軸間隔ydA上內(nèi)力dF dF = dA ydAZdF對(duì)中性軸之矩dM， dM = y dAM= AdM =A ydA, M= A y2 dA令I(lǐng)Z = A y2 dA ，IZ橫截面對(duì)中性軸的軸慣性矩 y為橫截面任一點(diǎn)到中性層的間隔 EyEZEIM1 EIZ抗彎剛度1此式為純彎矩梁橫截面上任一點(diǎn)正應(yīng)力公式。y橫截面上任一點(diǎn)距中性軸間隔。yEZEIMEy1ZIyM 曲率 與M成正比，M越大，梁彎曲越厲害。曲率與EIZ成反比。留意：彎曲正應(yīng)力與M成正比，與間隔y成反比，最大應(yīng)力存在于梁邊緣處 當(dāng)截面對(duì)稱(chēng)于中性面，最大拉、壓應(yīng)力相等

13、。當(dāng)中性面與上下邊緣間隔不等時(shí)，要分別計(jì)算拉應(yīng)力與壓應(yīng)力。令maxyIWZZZIMymaxmaxWZ 橫截面對(duì)中性軸Z的 抗彎截面模量。五：彎曲正應(yīng)力公式適用范圍彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式是在純彎曲下導(dǎo)出梁截面只需彎距沒(méi)有剪力。實(shí)踐梁遭到橫向力作用梁截面既有彎矩又有剪力。橫截面存在剪力 互不擠壓假設(shè)不成立， 梁發(fā)生翹曲。根據(jù)準(zhǔn)確實(shí)際和實(shí)驗(yàn)分析：當(dāng)梁跨度L與橫截面高度h之比 L / h5時(shí)，存在剪應(yīng)力梁的正應(yīng)力分布與純彎曲很接近。公式適用范圍：梁跨度l與橫截面高度h之比 l / h5，可運(yùn)用梁正應(yīng)力計(jì)算公式。梁正應(yīng)力計(jì)算公式由矩形截面梁導(dǎo)出，但未運(yùn)用矩形的幾何特性。所以公式適用于有縱向?qū)ΨQ(chēng)面的其它截面梁

14、。如 工字鋼、槽鋼及梯形截面梁等。梁資料必需服從虎克定律，在彈性范圍內(nèi)，且資料的拉伸與緊縮彈性模量一樣，公式才適用。工字鋼縱向?qū)ΨQ(chēng)面縱向?qū)ΨQ(chēng)面槽鋼縱向?qū)ΨQ(chēng)面縱向?qū)ΨQ(chēng)面不存在不可用縱向?qū)?稱(chēng)面不存在縱向 對(duì)稱(chēng) 面不可用4-5 截面的軸慣性矩和抗彎截面模量1、矩形截面中性軸與截面形心重合梁上受載荷如圖(hb立放)軸慣性矩 IZ123bh抗彎截面模量WZ62/2bhhIWZZIZ = y2bdy =h/2 -h/2IZ =Ay2dA dA=bdyyhzbhbyzydyIy = y2hdy =123hb-b/2b/262hbWybh將上圖矩形截面梁，如圖放置時(shí)平放Iy =Ay2dA dA=hdy對(duì)一樣

15、的矩形截面梁不同放置方法,會(huì)有不同的軸慣性矩和不同的抗彎模量。工程上接受彎曲作用時(shí), 要選擇I與W大的放法,要立放hybyd yz對(duì)中性軸與截面形心不重合如圖梯形截面 IZ = y2dA = y2dA y1-y211yIWZZ22yIWZZWZ1與WZ2不相等，正應(yīng)力計(jì)算時(shí)采用較小抗彎模量進(jìn)展計(jì)算。對(duì)中性軸與截面形心不重合的梁，IZ只需一個(gè)值，但抗彎模量有兩個(gè)，在設(shè)計(jì)與計(jì)算時(shí)必需留意。yy12中 性 軸zA2、圓形及圓環(huán)形截面對(duì)實(shí)心圓截面 對(duì)圓截面，經(jīng)過(guò)形心任一軸的慣性矩相等。即 Iz = Iy= y2dA = (Rsina)2 dAdA=2Rcosa dy , y=Rsinady=Rcosa

16、 daAIz = Iy= 22R4 sin2 a cos2 a da=644d截面抗彎模量Wz=Wy=322/6434dddRyyz0對(duì)圓環(huán)截面 令 d/D= Iy= Iz =Wz = Wy=對(duì)于口徑較大，壁厚較薄管 D-d=2S Iz = IySd38)1 (322/43DDI)(6464644444dDdD)1 (6444DDd作業(yè):4-1(c、g、h，2，34-6 彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件保證梁任務(wù)時(shí)最大應(yīng)力在許用應(yīng)力范圍內(nèi)，即滿足強(qiáng)度條件：maxZWM能夠存在最大應(yīng)力的位置：彎矩最大截面慣性矩 IZ 最小截面注：彎矩有正負(fù)。計(jì)算時(shí)以絕對(duì)值代入， 計(jì)算應(yīng)力max總為正，是拉應(yīng)力。 許用應(yīng)力

17、由實(shí)驗(yàn)確定。 截面不對(duì)稱(chēng)于中性軸時(shí)，存在兩個(gè)抗 彎截面模量WZ1，WZ2，計(jì)算取較小截 面模量代入。 資料抗拉、抗壓強(qiáng)度不同時(shí)，分別求 出梁的最大拉、壓應(yīng)力，保證：1maxZWM2maxZWMmax拉=max壓=拉壓例一、有一階梯圓柱截面梁，許用應(yīng)力 =200MPa ,構(gòu)造尺寸如圖d1 = 50mm， d2 = 80mm， d3 = 60mmP1 = 10kN，P2 = 5kNP =10kNP =5kN2502 505005001500dd1212d3解：解除約束，求約束反力BCDFEA(+)(+)2.294.37kNm12PPABCDEFNN12N1 1500P1 750 P2 250=0N

18、1 =5.83(kN)N2 =9.17(kN)畫(huà)彎矩圖分段求各段彎矩方程MAB =5.83x，0 x0.75mMCD =9.17x，0 x0.25m能夠的危險(xiǎn)截面 E，F(xiàn)，B截面能夠成為危險(xiǎn)截面。E 截面彎矩 ME = 5.830.5 = 2.92kN mB 截面彎矩 MB = 5.830.75 = 4.37kN mF 截面彎矩 MF = F在B、C中點(diǎn)mkNMMCB33. 3229. 237. 42對(duì)B，E，F(xiàn)截面強(qiáng)度校核對(duì)B截面36max80321037. 4ZBWM87 MPa = 200 MPa 平安對(duì)F截面36max60321033. 3ZFWM= 157 MPa 危險(xiǎn)例二、有一梯形

19、截面支承架，構(gòu)造尺寸如圖截面慣性矩 IZ =100cm4 ，y1 =100mm，y2 =50mm資料許用拉應(yīng)力 拉 = 200 Mpa資料許用壓應(yīng)力 壓 = 250 Mpa試校核該梁強(qiáng)度。q=1kN/m5m2zyy1y解：解除約束，求約束反力q=1kN/mN2N1N1 5152.5 = 0N1 = 2.5 kNN2 = 2.5 kN求彎矩25 . 225 . 22xxxxxM0 x 5畫(huà)彎矩圖(+)3.125kNmM強(qiáng)度校核 max拉 =2ZWM344221025010100mmyIWZZ4610210125. 3 max拉 = 156 MPa 壓梁不平安4-7 梁截面合理外形選擇工程常用的矩

20、形截面梁 如圖：h b, 立放平放621bhWZ622hbWZ立放 WZ1 平放WZ2 上、下外表應(yīng)力小，平安或可以接受更大載荷。hbPhbyzPbyzh4-8 梁彎曲變形一、梁的彈性曲線，撓度和轉(zhuǎn)角如圖 梁受力，中心軸線變形AB的曲線為撓曲線撓度：梁任一截面形心位移量為該截面撓度，用y表示。用f表示最大撓度。y與坐標(biāo)軸y正方向一樣為正，反之為負(fù)。xABPcByc將梁彎曲外形用曲線方程表示，該方程稱(chēng)為撓曲線方程。位移量y隨截面位置變化，y=f(x)為撓曲線方程。截面轉(zhuǎn)角：梁截面繞本身中性軸轉(zhuǎn)角 表示。 逆時(shí)針為正，反之為負(fù)。由微分學(xué)得：)(xfdxdytg很小時(shí)，tg ,即 f (x)二、撓曲線的近似微分方程梁軸上任一點(diǎn)曲率方程 ：EIM1EIMxx)()(1由微分學(xué)方程 可得：梁變形曲率方程：由于梁是微變形，截面轉(zhuǎn)角很小，dy/dx項(xiàng)極小可以忽略，由此簡(jiǎn)化得到下式2/3222)()(1 1dxdydxydxEIMdxydx )(22稱(chēng)為梁彈性曲線近似方程由于變形量y與彎矩符號(hào)一直一樣變形微分方程為：EIMdxydx )(22積分一次可得：積分二次：EIdxdy