第七章一維波動方程的傅氏解

1、第七章 一維波動方程的傅氏解（20）一、內(nèi)容摘要1.二階線性偏微分方程可以分為如下四類：拋物型、雙曲型、橢圓型 和超雙曲型方程。拋物型：ut a2 uxx Uyy uzz傳導(dǎo)和擴散方程； xx yy zz橢圓型：Uxx uyy uzz 0 Laplace方程，穩(wěn)態(tài)問題；雙曲型：utt a2 uxx uyy uzz波動或弦振動方程。2 . 一般地，要完全描寫一個具有確定解的物理問題，在數(shù)學(xué)上就是要構(gòu)成一個定解問題。除了微分方程之外，構(gòu)成定解問題還必須有 邊界條件和初始條件。（1初始條件：初始條件用于確定體系的歷史狀況，當所考察的物理現(xiàn)象是隨時間變化的時候，需要確定體系的初始條件來唯一確定地描述該

2、現(xiàn)象。（2邊界條件：體系的邊界會影響體系的物理狀態(tài)，體系的邊界情況由邊界條 件確定.邊界條件反應(yīng)體系和外界的界面上的情況。常見的邊界條件可以分為三 r類：弟一類邊界條件：u x, y, z,t lr b f r,t .第二類邊界條件： 上|rB f r,t .nr 弟二類邊界條件：u cun 11rB f r,t .上述三類邊界條件，當函數(shù)f r,t 0時，分別稱為第一、第二、第三類 齊次邊界條件。3 .定解問題問題的分類：數(shù)學(xué)物理方程（泛定方程）加上相應(yīng)的定解條件一起構(gòu)成了定解問題。根據(jù)定解條件的不同，又可以把定解問題分為三類：初值問題：定解條件僅有初值條件；邊值問題：定解條件僅有邊值條件；

3、混合問題：定界條件有初值條件也有邊值條件。4 分離變量法：（1）分離變量法的基本思想：將偏微分方程的問題轉(zhuǎn)化為常微分方程的問題，先從中求出一些滿足邊界條件的特解，然后利用疊加原理，作出這些解的線性組合，令其滿足余下的初始條件，從而得到定解問題的解。（ 2）分離變量法的特點：把偏微分方程化為常微分方程,從而使問題的求解得以簡化。5 3）分離變量法的適用范圍：適用于波動問題，輸運問題和穩(wěn)定場問題。（ 4） 分離變量法處理問題的步驟：對方程和邊界條件分離變量，如果邊界條件是非齊次的，還要對邊界條件進行處理。求解常微分方程的本征值問題。構(gòu)造變量分離形式的特解。疊加特解，利用初始條件確定疊加系數(shù)。5確定

4、弦的運動方程:（ 1）要研究的物理量是什么弦沿垂直方向的位移u（x,t） ； （2）被研究的物理量遵循的物理定律:牛頓第二定律；（3）按物理定律寫出方程。6 弦的自由振動： f 0 , utt a2uxx 0；弦的受迫振動：f 0，2utt a uxx f x,t (1)有界弦的自由振動(泛定方程和邊界條件都是齊次的情形)，一條兩端固定的弦 的自由振動，其定解問題為：2utta uxx,0x l,t 0U(X,t) x0 0,u(x,t)xi 0u(x,t) t o(x),_f t o (x)n atDn sin通過分離變量法可解得:u(x,t)c n atCn cosn 1l2 1 nCnp

5、 0 (x)sin Dnn x (x)sin 1dx .解的物理意義:n n a UnAn cos-tBn sin._nsin l,tan n空AnNn sin nxcosl這樣，該定解問題的解可以看作一系列(頻率、振幅、位相各 異的)駐波波函數(shù)的疊加。所以分離變量法又稱為駐波法。各駐波的振幅、相位由初始條件決定；頻率則和初始條件無關(guān)，稱為弦的 本征頻率。這種解又稱為 付氏解。(2)有界弦的受迫振動： 2Utt a Uxx f x,t , x 0,l ,t 0,u 0,t0,u l,t 0, t 0u x,0 x ,ut x,0 x . x 0, l其付氏解為:u x,tn xTn t sin

6、n 1lTn tn at 1n COS l n aX7.本征信問題:X 0,n at n sin-pX 00, X l 0n a t sinl通過討論我們知道，僅當0,且為某些特定值時該方程有非平庸解。這些值稱為方程在相 應(yīng)邊界條件下的本征值；方程相應(yīng)于不同 入值的非零解稱為本征函 函數(shù)。求解本征值和本征函數(shù)的問題稱為 本征信問題。8.非齊次邊界條件的處理：解Utta2uxx 0,Ux 0 gt,Uxl ht,x ,ut t 0 x .邊界條件的齊次化：為了采用分離變量法，我們需要把邊界條件齊次化。引入 新的未知函數(shù)v x,t和輔助函數(shù)w x,t，令u x,t v x,t w x,t如果可以找

7、到一個函數(shù)w x,t ,具備如下性質(zhì)：w x 0 g t , w xl h t則新的未知函 數(shù)v x,t滿足齊次邊界條件：vx0 0, v xl 0。輔助函數(shù)的選?。何覀兊娜?務(wù)轉(zhuǎn)化為尋找一個輔助函數(shù) w x,t ,使它通過0,g，l,h(t)兩點.滿足要求 的最簡單的函數(shù)即：w xt h t g t x g t 這樣一來，原來的定解問題便,l-2-2vtt a vxxwtt a wxx轉(zhuǎn)化為關(guān)于v x,t的定解問題：v x 0 v x l 0.v t 0 x w x,0 ,vt t 0 xwt x,0 .、習(xí)題1.求定解問題:2utta uxx 0 x ,t 0(1) u(0,t) 0,u(

8、l,t) Asin t .u(x,0)0,ut(x,0)02Utta Uxx，0 x l,t 0 Uxx0 0,Uxi 0, t 0.3U t 0 x ,Ut t 00,0 x l2utt a uxxf (x)sin t 0 x l,t 03 u(0,t) 0,u(l,t) 0u(x,0)0,Ut(x,0) 02Utta Uxx bsinhx 0 x l,t 04 U(0,t) 0,U(l,t) 0.u(x,0)0,Ut(x,0)02Utta Uxx A 0 x l,t 0(5) U(0,t) 0,U(l,t) Bu(x,0) 0,Ut(x,0) 02 .將下列方程分離變量:2(1) a x

9、2 1blx2uy - a2ysincosh cosU,Ucxb2y0 xysin u12ucosh cos sin cosh cos 23 .求解下列各本征值問題。X x X x 0X 00, X l 0X xXx0X a0,Xb0X xXx0X 00, X l X l 0X x X x 0 1X 01X (0) 0, 2X l2X l 04 .求上端固定，下端自由的彈簧，在自重作用下的縱向振動解。5 .求處于一維無限深勢阱中的粒子狀態(tài):ih x,tt2x2x,ta,t a,t 0x,01-sin x a、a a6.長為l的均勻桿，兩端受壓從而長度縮為l(1 2 ),放手后自由振動，求解桿的

10、這一振動7 .把定解問題:2utta uxx 0 x l,t 0轉(zhuǎn)化為帶有齊次邊界條件的定解問u(0,t) bux(0,t) g(t) u(l,t) bux(l,t) h(t)u(x,0) x , ut(x,0)x8.設(shè)有一均勻細弦，其線密度為 .若x 0端為自由端，x l端固定.初始速 度和初始位移分別為零，并受到垂直于弦線的外力作用，其單位長度所受外力 為sin t.求此弦的振動。9.設(shè)兩端固定的輕弦，在初始時刻在弦的 后讓其自振動，試求其解的形式。x c點處，輕輕撥開位移h高度，然10 .已知一條兩端固定的弦長10(m),弦上各點初速度為零，初位移為x(10 x),a2 1 104(此數(shù)

11、由弦的材料決定)求弦做微小振動時的波函數(shù)。100011 .化簡偏微分方程Utt=a2uxx+bux+cut+du ,其中b,c,d為已知常數(shù)，提示：令t+u=e12 .試用分離變量法求解混合問題Utt b2Uxxxx 0,U(0,t)u(l,t) Uxx 0,tUxx l,t 0 t0 ,u x,0 x,ut x,0 x 0x l,其中b為已知函數(shù)， x , x為充分光滑的已知函數(shù)。三、參考答案1 .解: 令U x,t V x,t w x,t ,設(shè)w x,tsintx則原定解問題可變?yōu)?2vtt a2vxx - xsin tv 0,t v l,t 0v x,00,vt x,0- x又令 V x

12、,tVI x, t VII x,t ,其中I v ttI v2 Ia vxx0,t0vI l,t 0II v tt2 II a v xxx,00,v；x,0ii v v0,tx,0lII v l,t 0,v x,0xsin t解之得:x,t2 sin n1 . n x at sinlii .v x, t2l2 a nsin t sinntsinntsin t . n xsin l其中n令特解U(x,t)X(x)T滿足齊次方程和齊次邊界條件，則X(x)T (t) a2X(x)T(t)逑 Xa2T(t)X(x)T (t) a2T(t)X (x) X(x)代入邊界條件得X (0) X (l) 0從而

13、得到?jīng)Q定X (x)的如下常微分方程邊值問題X (x) X(x) 0X (0) X(l) 0D 0, r20,r 廠，通解X(x) Ae-x Be”一x帶入邊界條件有:0Be l-1因為系數(shù)行列式X(x)0 ,無非零解。0 ,通解X(x) Ax B帶入邊界條件有A 0A B 0,即X(x) 0,無非零解Al B 00, r20, r il,通解 X(x) Acos x Bsin x所以X (x)I Asin I x BcosI x帶入邊界條件有B 0-1l (k ) ,k 0,1,2L cos .102(k 1/ 2) 2所以 k i , k=0,1 ,2L (k 1/2) x 特征函數(shù)為Xk(

14、x) Ak cos iu(x,t)Tk(t)cos(k 1/2) xk 0lTk (t) (k 1/2) a2Tk(t) 0再代入初始條件得：(k 1/ 2) xu(x,0)(0)c0sAk 0lut(x,0)(k 1/2) xTk (0)cos k 0lTk(0)由正交性知Tk(0)2 l x3 cos也上 dx2 1c (k 1/2) x,八- 0 cos-dx 0所以，得到Tk的常微分方程初值問題Tk (t) / 1/2)干工0解得l用牛不于Tk(0)k,Tk(0) 0Tk Ck cos(k 1/2) at Dksin l(k 1/ 2) at代入初始條件得Ck k,Dk 0lx3cos

15、(k 1/2) xdx所以Tkcos()l因此u(x,t)4l3-4 k當4l3-44l3-4att . nsin 一0 l48 24(2k 1)(2k 1)3 3 k(2k 1)4,48 24(2k 1)(2k 1)3 3(2k 1)4,k2n2n 148 24(4k 3)(4 k 3)3 34(4 k 3)_3348 24(4k 1)(4k 1)3 3(4k 1)4n 1,2,3,.時由知識點sin.n asin1l就得到上述問題的解u x,tsin(4 k 3) acost2lcos(4t2lcos(4x2lcos(4 x2l6,并利用下面的積分等式:n a .sin t_l2_ nn

16、a xsin sin tll.n x sinl當 J （其中m為某一整數(shù)）時，同樣按照知識點 l6,以及利用下面的積分等式：sin0ma,.ma,t sin dl . m sin - 2m a latma, ma,1 cos1就得上述定解問題的解:u x,tn 1 n m.n asin1ln a .sin tl2n alsin n- dl.n x sin l一 m a, sin1lma, ma,t cos1.m .sindl一 n x sinl該定解問題所對應(yīng)的齊次問題Utt a Uxx 0u 0,t u l,t 0ii的本征函數(shù),即ii, i分離變量后所得本征值問題X x的本征函數(shù),x,tx

17、,t其中fn t0,X亦即是sin lTn tn 1n xsinl所以fn t1一 n x sinllbsinh xsin0xdx1l2n 12bn sinh l由上面的式子可得:n t2Tnn 11l22bn sinh l解這個常微分TnTn方程的初值可得其解為:Tn于是得:n 11 2bn sinh l,22l nn a. costlu x,t2bl2sinh ln a,. n xcos1 sin2其中，A, B為常數(shù)utta uxx A 0 x l ,t 0 0(5) u(0,t) 0,u(l,t) B 1u(x,0)0,ut(x,0) 0 2此定解問題的泛定方程和邊界條件是非齊次的，應(yīng)

18、先將邊界條件化成齊次的。方 程的自由項和邊界條件都與變量 t無關(guān)，可通過變換將方程和邊界條件都化成齊 次的.令 u x,t V x,t W x 32V2V將上式代入(0)式得 e a22 a2W/(x) A (4) t22x為將方程和邊界條件都化成齊次的，令W(x)滿足條件a2W/(x) A 0,W X0 0,Wxl B .這是一個二階常系數(shù)線性非齊次常微分方程的邊值問題。其解是W(x) 工弋(7-)x (5)2a 2a l工曰七 2V22V小、于是有一2- a 2- , 0 x l, t 0 ;(6)t xVxo Vxl 0;(7)V t 0W(x),-ylt 00.(8)一 .、一.一 .

19、、一, 2Vc 2V 一 一用分離變量法貓到方程(6)式e a2 e的滿足邊界 t x條件式的解：V(x,t)(Cncos-n-at Dn sin nat)sin -nx .n 1lll由(8)式中第二式-V|t 0 0可得Dn 0.于是有 n a n xV(x,t)Cncostsin .(9)n 1ll,一一A o Al B由(8)式中第一式 Vt0 W(x)和(15)式 W(x)2x(一2 B)x2a 2a l可得烏x2 (2B)x2a2 2a2 ln xCnsin 1其中的Fourier系數(shù)2 l A Cn21 o 2aA l 2 . x sin a2l o2Al22 33 a n2 A

20、lx (2ar)x.,Adx ( 2aAl2n xsindxl2B l一)xsin l20B )cos nn xdxl所以原定解問題的解是A 2u(x,t) -x2a(里 2a27)xCn Cosn 1n a.tsinl2.解:(1)令 u x,y代入方程可得:a1x X xa2yb1x Y yb2 x Y y X x 0因X x Y y 0,所以可以用X x Y y除等式兩邊，即得:,式中是任意常a1 x X x a2 x X xb1 x Y y dxYy數(shù)，這是因為前面兩個等式分別為兩個獨立變量的函數(shù)，二者相等只能是同時 等于同一個常數(shù)，則分離出了兩個常微分方程:ai x X x a2bi

21、x Y yb2x Y yY(y)(2)先作變換u(,)f ( , ) cosh cos則有sinf2sinf2sinvfsinvf. 2 sin 3- v2f3sin sinh3v2f3sin uPsin vfcos vf-c -3sin cos 3sinsin uPsin vfsin cosh 3sin sinh2f34f 55v4f2一v將上述結(jié)果代入原方程中，并乘以f sin.2 sin vv cot v g其中g(shù)2cos cosh2f23 sin2sinh24p令 v(,w(,代入上式可得.2 sincot w 1w4因為w(0,所以可以用w(除等式兩邊，即得II.2sin w ww(

22、,)cot w式中時任意常數(shù)，這是因為前面兩個等式中分別為相互獨立的變量的函數(shù),二者相等只能是同時等于同一個常數(shù)，這就分離出了關(guān)于的常微分方程，關(guān)于的任然是偏微分方程:sin2cot w再令w，則有Acot A 14 A. 2 sinBB式中l(wèi) l 11 一，” 一4是任意常數(shù)，則分離出了兩個常微分萬程:Bsin dsindAd1 A 0sin23.解:若=0,則方程有解為X(x) Ax B,代入邊條件得：A=0,B任意，取B = 1,即=0是本征值，相應(yīng)的本證函數(shù)為 X0 x =1.若 0,則方程有解為：X (x) Asinx B cos x ,代入邊界條件得：A=0,B廠sin11=0 ,

23、當B=0時，為零解。只有 B 0為任意常數(shù)，而 sin11=0時才有非零解，這時有：-l n ,n 1, 2,，解的本征值為：2n= 7 ，n=1,2,3,.,相應(yīng)的本證函數(shù)為： Xn(x) cos,x,n=1,2,3,.,已取任 意常數(shù)B 1 ,且因n=-1,-2,-3,.時，與n=1,2,3,.時的解是線性相關(guān)的，故只取 n 的正整數(shù)部分。(2)若=0,則方程有解為X(x) Ax B,代入邊條件得：Aa B 0, Ab B 0解得A 0, B 0。即=0不是本征值。若 0,則方程有解為：X (x) Asin廠x Bcoslx ,代入邊界條件得：Asin a Bcos . a=0Asin,

24、b Bcos. b=0要求非零解，A, B不能同時為零，只有系數(shù)行列式為零：sin/-acoslb cosla sin Tb 0 即：sin b a 0,J- b a n , n 1, 2,.解的本征值為:2n 一 ,n 1,2,3,.由方程還可解為： b a%qa,解得本征函數(shù)為 sin、. aXn(x) cos, nasin . nx sin. nacos nx sin意常數(shù) A cos/：a ,且因 n -1,-2,-3,.時，與-x a ,n 1,2,3,.,已取任 a1,2,3,時的解是線性相關(guān)的，故只取n的正整數(shù)部分。(3)若。，則方程有解為:代入邊界條件得：B 0, Al A 0

25、;解得:A 0,B 0 .即 0不是本征X x Ax B值。若 0,則方程有解為：X(x) Asinx Bcoslx,代入邊界條件, 13X(0) 0所以B 0,于是得到:Asin，, x Bcos . xX(0) 0.要求非零解A 0,則有：tan廠l，此方程的所有正跟n,n 1,2,3,L即為本征值，本征函數(shù)為： Xn x sin -x.(4)若0,則方程有解為：X x Ax B代入邊界條件得：iB1A 0, 2 Al B 2A 0,解得：A 0,B 0.即0不是本征值。若 0 ,則方程有解為：X(x) Asin廠x Bcosx ,代入邊界條件得到:iB i7-a 0,給出：B 1 - A

26、 ,2 Asin l B cos l 2Acos、，l Bsin、一 l 01要求非零解A 0,則有：2 sin、, l 1 cos l11 21 2 sin、， l 、21cosll TsinTl0,121 2 cosll 0 ,得方程:tanl二,1 212它的所有正根n,n 1,2,3,L n,n 1,2,3,L即為本征值，本征函數(shù)為:Xn xA sin .二x1 二 cos、二x .4 .解：該定解問題為:UttUx x 0Uxx0,U3x ,Utg，0,0,0 x l,t0期中，g為重力加速度。這是有界弦的純振動當f x,tg的情況，故套用相應(yīng)公式立即可得該定解問題的解為:u x,t

27、t0 fnn a tsind.一 nsin 一 lx.期中fn為:fn21f l 0nsin l2gllsin02g nn a t sinl2gl2 11n1 cos l烏1 nn atlsin0代入解的表達式中，于是得:n atcos一 l,2gl2 nu x,t-11a n 15.解：這是量子力學(xué)中的一個問題。在量子力學(xué)中，微觀粒子的狀態(tài)是用波函 數(shù) 來描述，決定粒子狀態(tài)變化的不再是 Newton運動方程，而是薛定川方叫h22rr程：ih- x,t2 x,t Ur x,t ,期中U r是勢場。本題的止t2x解問題可以直接用分離變量法來求解:令 x,t x f t則式變?yōu)閕h xh2x2t即

28、:于是得:f x ihf xh22Ef.df , ih - I dt .2,2 h d_22 dx2將式代入邊界條件，則由式可得:若令昔，則式變?yōu)槠?(2)解本征信問題 、可得其本征值為:.22 2.2Ennh n h-2, n 1,2,.2 8a這是能量本征值，相應(yīng)的本征函數(shù)為:nn x =Cnsin - 2a這是第n個定態(tài)(即不含時的)波函數(shù)。(3)將求得的本征值En代入f t的方程并求解得:df 且 f tdt ih0, fn ti曳bneh由以上可得:x,tn x,tn 1anen 1史 n h sin 2ax+a ,anbnCn代入初始條件可得:sin xa_ _一 nan sin

29、一i 2ax+a所以:1a2-J= ,an原定解問題的解為:x,tsin xa6.解：本題的定解問題為:2Utt a Uxx，0 x l,t 0Uxx0 0,u x i 0,cl cu t 02 x , ut t 00,2我們可以得出其解為:u x,tnn x nA0t B0An cosatBn sin at cos xn 1lll其中:Aoncos一 dncos dll n2 cos d0 l4 l n cosdl 0 l2所以而Bn7.l . nsin 一 n解:An0,x,tx,t0,tl,t0,n于是:4l2n -sinln ncosll2k 12 ,n2k1,k0,12,.2kx,t

30、2k 1 at2k 12utta Uxxu(0,t) u(l,t)u(x,0)=v x,tl,t2 cos2k 1l0KKKKKKKcoslbux(0,t) bux(l,t)+w=A t x+BbwxbwxbA t由此可解得0,tl,tg t bAg(t)K K K K K K K K h(t)K K K K K K K Kx ,Ut(x,0)x,tg t,Bl 2bl 2b故有h t g t h t b g t l b w x,t =x+l 2bl 2bb xrht gt gt(5)于是定解問題(1)-(4)便化為如下帶有齊次邊界條件的關(guān)于未知函數(shù)v x,t的定解問題:2a Vxxwtt2a

31、 wxx0 x l,t 0v(0,t) v(l,t) v(x,0)bvx(0,t) bvx(l,t)x w x,0 ,vt(x,0)wtx,08.解：所求定解問題為2Utt a uUx(0,t) u(x,0)xx0,0,1 sin u(l,t) ut(x,0)t, 00, t0, 0l, t 0l.利用特征函數(shù)法求解該問題.情形1非共振問題，即n, n0.該定解問題的特征值問題為(x)(0)X(x)0, X(l)0, 00.其解為(2nn 2l1)2(2nXn(x) cos-一1)2l(1)(2)將1sin t按特征函數(shù)Xn(x)0展開成Fourier級數(shù)得fn(t)Xn(x),(3)2i 1

32、fn(t)- 0 sintsinnd2l(2n 1)4sin tfn sinU(x,t)Tn(t)Xn(x)n 0(4)對于任意n0, Tn (t)滿足下面問題Tn(t)Tn(0)a2 nTn(t)0, Tn(0)fn sin0.t, t 0(5)初值問題(5)中齊次方程的通解為Tn(t)Tn(0)a2 nTn(t)(0, Tn(0)fn sin t, 0.而非齊次方程的一個特解為Tnfn2sin t .因此，(5)的通解為Tn(t)c1 cosa、ntc2sin a、 ntfn2 sin t .(6)由初始條件可確定出0, C2fna, n( 2 a2 n)最后將所得到的Tn(t)代入到(4

33、)中便得(1)的解.情形2共振問題，即存在某個n 0,使得2 a2不妨假設(shè)2 a2 n.此時，在情形1中求解所得到的 Tn(t) n 1 不變.當n 0時，要求解以下問題To(t)To(0)2_一T0(t)fsin t, t 00, T0(0)0.(7)中齊次方程通解為T0(t)c1 cos t c2sin t .為求得非齊次方程的一個特解，要將(7)中方程的自由換為fei ,而求以下問題的一個特解T；(t)2T0(t)foeit.令T(t) Atei t并代入到上面非齊次方程中可得A fi,故有2f0tf0tT (t) sin t icos t ,22取其虛部使得(7)中方程的一個特解為f0

34、t T0(t)Im(T(t) cos t.2結(jié)合以上所得結(jié)果便可得到(7)中方程的通解為f0t,To(t) Ci cos t C2 sin t cos t,2由初始條件確定出C10, C2-f05 ,由此可得2T0(t)fsin t ft cos t.2 22將Tn(t)代入到(4)中使得在共振條件下(1)的解為u(x,t)Tn(t)Xn(x)n 0T(t)X(x)Tn(t)Xn(x)n 1ft cos t)cos xTnXn(x)22l n 1Ui(x,t) U2(X,t).可以證明：u2(x,t)是有界的.而在u1(x,t)的表達式中取u1(x,t),則u1(x,t)中 的基本波函數(shù)cos x的振幅To(tk)當To(tk)逐漸變大時將趨于無窮大，最終要導(dǎo)21致弦線在某一時刻斷裂，這種現(xiàn)象在物理上稱為共振.注意到在上面求解過程中我們?nèi)≈芷谕饬Φ念l率等于系統(tǒng)的第一周有頻率a/7,從而在第一波函數(shù)分 量上發(fā)生共振.一般地講，當周期外力的頻率 很接近或等于系統(tǒng)的某個固有頻 率a.；時，系統(tǒng)都會有共振現(xiàn)象發(fā)生，即弦線上一些點的振幅將隨著時間的增 大而不斷變大，導(dǎo)致弦線在某一時刻斷裂。9.解：上述問題等價于下下述定解問題2Utt a Uxx,0 x l, tu(0,t)0,u(l,t) 0,u(x,0)hx ch lut