單變量平穩(wěn)時(shí)間序列模型

1、第二章單變量平穩(wěn)時(shí)間序列模型本章介紹的時(shí)間序列模型為單變量的時(shí)間序列模型。在單變量的情形中，一個序列只用其自身的過去值和某個干擾項(xiàng)來建立模型。其一般表達(dá)式為：Xt=f xtj Xt,at試圖只用一個序列的歷史信息來解釋和預(yù)測該序列，而忽略與之相關(guān)序列的潛在信息，似乎是并不是最可取的方法。但有兩個可能的理由促使我們采用單變量時(shí)間序列建模：一是相關(guān)序列這間的可能關(guān)系是什么，還缺乏可靠的先驗(yàn)信息。在此情形下，單變量時(shí)間序列建?？赡苁且粋€有用的簡化手段，并可以進(jìn)行有效的短期預(yù)測；二是如果有關(guān)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)的理論已相當(dāng) 成熟，則可以表明，這個結(jié)構(gòu)的某種表現(xiàn)將是對該結(jié)構(gòu)中的每個內(nèi)生變量都給出一個與單變量模型 方

2、程相同的方程形式。例如，考慮最簡單的宏觀模型6=0二汕一YPh通常消費(fèi)C和收入丫被稱為內(nèi)生(endogenous)變量，而I為外生(exoge nous)變量。兩 方程可以變?yōu)?5- 11Cto -Itt11111 - ：1 M-：Ct?Y -A4 ij ij： o 1 1上述方程中，如果I是一個白噪聲序列，則 C是一個AR ( 1)過程，而丫是一個ARMA ( 1, 1)過程。本章主要介紹三種單變量模型：自回歸( AR )模型、移動平均(MA )模型和自回歸移 動平均(ARMA )模型。第一節(jié) 自回歸模型一、一階自回歸模型AR (1)如果時(shí)間序列獨(dú)立，就是說事物的后一時(shí)刻的行為主要與其前一時(shí)

3、刻的行為毫無關(guān)系。這樣的資料所揭示甲統(tǒng)計(jì)規(guī)律就是事物獨(dú)立地隨機(jī)變動，系統(tǒng)無記憶能力。如果情況不是這樣，資料之間有一定的依存性。后一時(shí)刻的行為主要與前一時(shí)刻的行為有關(guān)，而與其前一時(shí)刻以前的行為無直接關(guān)系，即已知Xt-1 ； Xt主要與Xt-1相關(guān)。用記憶性來說，就是最短的記憶，即一期記憶，也就是 階動態(tài)性。描述這種關(guān)系的數(shù)學(xué)模型就是一階自回歸模型。即XiXt/'Q記作AR ( 1)。其中Xt零均值平穩(wěn)序列，at為隨機(jī)擾動。1、一階自回歸模型的特點(diǎn)Xt對Xt-1有線性相關(guān)關(guān)系at為獨(dú)立正態(tài)同分布序列E(atXtJ=0J=1,2,.2、AR (1)與普通一元線性回歸的關(guān)系一元線性回歸丫 =

4、+ 0 Xj+寄兩個變量，丫為隨機(jī)變量，X為確定性變量;EG) =O ；cov (勺曾)=0 i 式 j ；2 var (§) =b；COV (Xi8j) =0 ；L 42名iLN (0耳)一階自回歸Xt=©i Xt J +at一個變量，Xt為隨機(jī)變量；q為白噪聲序列，E(at) = 0；ba t = SEgas尸；0 AsE (atXtJ )=0,j=1,2,；還可假定砥為正態(tài)分布。主要區(qū)別：(1) 普通線性回歸模型需要一組確定性變量值和相應(yīng)的觀測值；AR( 1)模型只需要一組隨機(jī)變量的觀測值。(2) 普通一無線性回歸表示的是一隨機(jī)變量對另一個確定性變量的依存關(guān)系；而AR

5、(1)表示的是一個隨機(jī)變量對其自身過去值的依存關(guān)系。(3) 普通線性回歸是在靜態(tài)的條件下研究的；AR (1)是在動態(tài)的條件下研究的。(4) 二者的假定不同。(5) 普通回歸模型實(shí)質(zhì)是一種條件回歸，而AR(1)是無條件回歸。主要聯(lián)系：固定時(shí)刻t-1,且觀察值Xt-1已知時(shí)，AR (1)就是一個普通的一元線性回歸。 二、AR (1 )模型的特例一隨機(jī)游動 1、 隨機(jī)游動模型2、模型的特性(1) 系統(tǒng)具有極強(qiáng)的一期記憶性，系統(tǒng)在t-1和t時(shí)刻的響應(yīng)，除隨機(jī)擾動外，完全一致，差異完全是由擾動引起的。(2) 在時(shí)刻時(shí)，系統(tǒng)的一步超前預(yù)測就是系統(tǒng)在t-1時(shí)的響應(yīng)Xt-i,即斤二Xt。(3) 系統(tǒng)行為是一系

6、列獨(dú)立隨機(jī)變量的和，即0 Xt八at j=o三、 一般自回歸模型AR(n)Xt 八 iX= f2Xt r. -Xtj at其中：越為白噪聲，E (QXtj) =0, j =1,2,。第二節(jié)移動平均模型一、一階移動平均模型MA (1)如果系統(tǒng)的響應(yīng)Xt僅與其前一時(shí)刻進(jìn)入系統(tǒng)的擾動at存在一定的相關(guān)關(guān)系，則有 MA(1)模型：Xt二q-4耳4其中：at為白噪聲。MA (1)模型的基本假設(shè)為：(1)系統(tǒng)的響應(yīng)Xt僅與其前一時(shí)刻進(jìn)入系統(tǒng)的擾動at有一定的依存關(guān)系；(2) at為白噪聲。 二、 一般移動模型MA ( m)模型的形式：響4_晌二-一訂其中：() Xt僅與t_m有關(guān),而與t_j (j=m+1

7、 ,m+2,)無關(guān)；:t為白噪聲。第三節(jié) 自回歸移動平均(ARMA)模型ARMA ( 2, 1)模型1、ARMA (2, 1)模型的形式：Xt -iXt”2 人，其中:Xt與XtJL、Xt2和:tJ有相關(guān)關(guān)系,:t白噪聲。2、ARMA ( 2, L)模型的結(jié)構(gòu)：ARMA ( 2, L)模型是由一個AR ( 2)和一個MA ( L)兩部分構(gòu)成。3、ARMA ( 2, L )與 AR ( L)的區(qū)別從模型形式看，ARMA (2, L)比AR ( L)的項(xiàng)數(shù)多；從模型的動態(tài)性看，ARMA (2, L)比AR ( L)具有更長的記憶；從計(jì)算:t所需的資料看，ARMA ( 2, L)需要用t期以前的匚l

8、,、；t_2,這需要從初期開始遞歸地計(jì)算出來.。通常取零；從參數(shù)估計(jì)來看，ARMA ( 2,L)比AR (L)困難。ARMA (n, n-L)模型ARMA (n, n-L)模型的基本假設(shè)為：獨(dú)立于口 ( j=n, n+L,)從而：獨(dú)立于X口 (j=n+L,n+2,).三、ARMA (n, n L)模型的合理性為什么我們以ARMA (n,n- L)模型為一般形式來建立時(shí)序模型呢 ？難道一個ARMA (n, n- L)模型總可以描述一個時(shí)間序列嗎 ？對于平穩(wěn)系統(tǒng)來說，這是毫無疑問的。之所以以 ARMA (n, n- L)為基本模型是因?yàn)橄率隼碛桑旱谝唬珹R、MA、ARMA (n, m)模型都是ARMA (n, n L)模型的特殊情形。第二，理論依據(jù)：用Hilbert空間線性算子的基本理論可以證明，對于任何平穩(wěn)隨機(jī)系統(tǒng)，我們都 可以用一個ARMA (n, n-L)模型近似到我們想要達(dá)到的程度；用差分方程的理論也可以證明，對于 n階自回歸，MA模型的階數(shù)應(yīng)該是n-L第三，從連續(xù)系統(tǒng)的離散化過程來看，