幾何證明題的技巧

1、幾何證明題的技巧1）證明線段相等，角相等的題，通常找到線段所在圖形，證明全等2）隱藏條件：比如特殊圖形的性質(zhì)自己要清楚，有些時候幾何題做不出來就是 因為沒有利用好 隱藏條件3）輔助線起到關(guān)鍵作用4）幾何證明步驟：依據(jù)結(jié)論定理切記勿忽略細微條件5）遇到面積問題，輔助線通常做高，遇到圓，多為做半徑，切線6）個別題型做輔助線：1 通過連結(jié)， 延長，作垂直， 作平行線等添加輔助線的方法， 構(gòu)造全等三角形。2 遇到有中點條件時，常常延長中線（即倍長中線），或以中點為旋轉(zhuǎn)中心， 使分散的條件匯集起來。3 遇到求邊之間的和，差，倍數(shù)關(guān)系時，通常采用截長補短的方法，求角度之 間的關(guān)系時，也一樣。要掌握初中數(shù)學

2、幾何證明題技巧，熟練運用和記憶如下原理是關(guān)鍵。 下面歸類一下，多做練習，熟能生巧，遇到幾何證明題能想到采用哪一類型原 理來解決問題。一、證明兩線段相等1. 兩全等三角形中對應邊相等。2. 同一三角形中等角對等邊。3. 等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。4. 平行四邊形的對邊或?qū)蔷€被交點分成的兩段相等。5. 直角三角形斜邊的中點到三頂點距離相等。6. 線段垂直平分線上任意一點到線段兩段距離相等。7. 角平分線上任一點到角的兩邊距離相等。8. 過三角形一邊的中點且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。*9. 同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所 對的弦相

3、等。*10. 圓外一點引圓的兩條切線的切線長相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分成 的兩段相等。11. 兩前項（或兩后項）相等的比例式中的兩后項（或兩前項）相等。*12. 兩圓的內(nèi)（外）公切線的長相等。13.等于同一線段的兩條線段相等。二、證明兩個角相等1. 兩全等三角形的對應角相等。2. 同一三角形中等邊對等角。3. 等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。4. 兩條平行線的同位角、內(nèi)錯角或平行四邊形的對角相等。5. 同角（或等角）的余角（或補角）相等。*6. 同圓（或圓）中，等弦（或弧）所對的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等 于它所夾的弧對的圓周角。*7. 圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這

4、一點的連線平分兩條切線的夾角。8. 相似三角形的對應角相等。*9. 圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角。10.等于同一角的兩個角相等。三、證明兩條直線互相垂直1. 等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。2. 三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對的角是直角。3. 在一個三角形中，若有兩個角互余，則第三個角是直角。4. 鄰補角的平分線互相垂直。5. 一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。6. 兩條直線相交成直角則兩直線垂直。7. 利用到一線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上。8. 利用勾股定理的逆定理。9. 利用菱形的對角線互相垂直。*10. 在圓中平分弦（或?。┑闹?/p>

5、徑垂直于弦。*11. 利用半圓上的圓周角是直角。四、證明兩直線平行1. 垂直于同一直線的各直線平行。2. 同位角相等，內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補的兩直線平行。3. 平行四邊形的對邊平行。4. 三角形的中位線平行于第三邊。5. 梯形的中位線平行于兩底。6. 平行于同一直線的兩直線平行。7. 一條直線截三角形的兩邊（或延長線）所得的線段對應成比例，則這條直線 平行于第三邊。五、證明線段的和差倍分1. 作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。2. 在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。3. 延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等。4. 取長線段的中點，再證其一半等于短線

6、段。5. 利用一些定理（三角形的中位線、含 30度的直角三角形、直角三角形斜邊上 的中線、三角形的重心、相似三角形的性質(zhì)等）。六、證明 角的和差倍分1. 與證明線段的和、差、倍、分思路相同。2. 利用角平分線的定義。3. 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。七、證明線段不等1. 同一三角形中，大角對大邊。2. 垂線段最短。3. 三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。4. 在兩個三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。*5. 同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。6. 全量大于它的任何一部分。八、證明兩角的不等1. 同一三角形中，大邊對大角。2. 三角形的外角大于和它

7、不相鄰的任一內(nèi)角。3. 在兩個三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也 大。*4. 同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。5. 全量大于它的任何一部分。九、證明比例式或等積式1. 利用相似三角形對應線段成比例。2. 利用內(nèi)外角平分線定理。3. 平行線截線段成比例。4. 直角三角形中的比例中項定理即射影定理。*5. 與圓有關(guān)的比例定理 - 相交弦定理、切割線定理及其推論。6. 利用比利式或等積式化得。十、證明四點共圓*1. 對角互補的四邊形的頂點共圓。*2. 外角等于內(nèi)對角的四邊形內(nèi)接于圓。*3. 同底邊等頂角的三角形的頂點共圓（頂角在底邊的同側(cè)）。*4. 同斜邊的直角三角形

8、的頂點共圓。*5. 到頂點距離相等的各點共圓基本圖形的輔助線的畫法1. 三角形問題添加輔助線方法方法 1：有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點的題目，常常利用三 角形的中位線，通過這種方法，把要證的結(jié)論恰當?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了問 題。方法 2：含有平分線的題目，常以角平分線為對稱軸，利用角平分線的性質(zhì)和題 中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識解決問題。方法 3：結(jié)論是兩線段相等的題目常畫輔助線構(gòu)成全等三角形， 或利用關(guān)于平分 線段的一些定理。方法 4：結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目， 常采用截 長法或補短法，所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分，

9、證其中的一部分等 于第一條線段，而另一部分等于第二條線段。2. 平行四邊形中常用輔助線的添法 平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對邊、對角和對角線都具有某 些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、 垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正 方形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：（1）連對角線或平移對角線：（2）過頂點作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形（3）連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構(gòu)造線段 平行或中位線（4）連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三 角形。（ 5）過頂點

10、作對角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等.3. 梯形中常用輔助線的添法梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識的綜合，通過添加適 當?shù)妮o助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的 添加成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：（1）在梯形內(nèi)部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形內(nèi)平移兩腰（4）延長兩腰（5）過梯形上底的兩端點向下底作高（6）平移對角線（7）連接梯形一頂點及一腰的中點。（8）過一腰的中點作另一腰的平行線。（9）作中位線 當然在梯形的有關(guān)證明和計算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一 的。通過輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或

11、三角形問題來 解決，這是解決問題的關(guān)鍵。常見的輔助線做法1、遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模 式是全等變換中的“對折”。2、遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角 形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。3、遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維 模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理 或逆定理。4、過圖形上某一點作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等 變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”。5、截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等， 或是

12、將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加 以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。6、特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂 點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答。所謂“倍長中線”，就是加倍延長中線，使所延長部分與中線相等，然后往往需要連接相應的頂點，則對應角對應邊都對應相等。常用于構(gòu)造全等三角形。中線倍長法多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系（一般都是原題已經(jīng)有 中線時用，不太會有自己畫中線的時候）。說簡單一點，倍長中線就是指：延長中線，使所延長部分與中線相等，然 后往往需要連接相應的頂點，構(gòu)造全等三角形。截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種輔助線的添加方法，也