上課用20150928-01 最優(yōu)控制理論

1、 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation2 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation3第第1 1章章 引言引言第第2 2章章 用變分法求解最優(yōu)控制問題用變分法求解最優(yōu)控制問題第第3 3章章 極小值原理及其應(yīng)用極小值原理及其應(yīng)用第第4 4章章 線性二次型問題的最優(yōu)控制線性二次型問題的最優(yōu)控制第第5 5章章 動態(tài)規(guī)劃法動態(tài)規(guī)劃法 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and

2、 Automation4 最優(yōu)控制是系統(tǒng)設(shè)計的一種方法。它最優(yōu)控制是系統(tǒng)設(shè)計的一種方法。它所研究的中心問題是如何選擇所研究的中心問題是如何選擇控制信號才能保證控制系統(tǒng)的性能在某種意義下最優(yōu)?？刂菩盘柌拍鼙ＷC控制系統(tǒng)的性能在某種意義下最優(yōu)。一、現(xiàn)代控制理論一、現(xiàn)代控制理論 現(xiàn)代控制理論是研究系統(tǒng)狀態(tài)的控制和觀測的理論，主要包括5個方面： 1 1、線性系統(tǒng)理論：研究線性系統(tǒng)的性質(zhì)，能觀性、能控性、穩(wěn)定性等。、線性系統(tǒng)理論：研究線性系統(tǒng)的性質(zhì)，能觀性、能控性、穩(wěn)定性等。 以以狀態(tài)狀態(tài)空間法空間法為主要工具研究多變量線性系統(tǒng)的理論。為主要工具研究多變量線性系統(tǒng)的理論。 2 2、系統(tǒng)辨識：、系統(tǒng)辨識：

3、根據(jù)輸入、輸出觀測確定系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。根據(jù)輸入、輸出觀測確定系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。 3 3、最優(yōu)控制、最優(yōu)控制：尋找最優(yōu)控制向量尋找最優(yōu)控制向量u(t)。根據(jù)給定的目標(biāo)函數(shù)和約束條件根據(jù)給定的目標(biāo)函數(shù)和約束條件, ,尋求最優(yōu)尋求最優(yōu)的控制規(guī)律的問題。的控制規(guī)律的問題。 4 4、最佳濾波（卡爾曼濾波、最優(yōu)估計）：存在噪聲情況下，如何根據(jù)輸入、輸出、最佳濾波（卡爾曼濾波、最優(yōu)估計）：存在噪聲情況下，如何根據(jù)輸入、輸出估計狀態(tài)變量。估計狀態(tài)變量。 5 5、適應(yīng)控制：利用辨識系統(tǒng)動態(tài)特性的方法隨時調(diào)整控制規(guī)律以實現(xiàn)最優(yōu)控制，、適應(yīng)控制：利用辨識系統(tǒng)動態(tài)特性的方法隨時調(diào)整控制規(guī)律以實現(xiàn)最優(yōu)控制，即在參數(shù)擾動情況下

4、，控制器的設(shè)計問題。即在參數(shù)擾動情況下，控制器的設(shè)計問題。 把魯棒控制、預(yù)測控制均納入到現(xiàn)代控制理論的范疇。把魯棒控制、預(yù)測控制均納入到現(xiàn)代控制理論的范疇。 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation5二、最優(yōu)控制的發(fā)展簡史二、最優(yōu)控制的發(fā)展簡史 第二次世界大戰(zhàn)以后發(fā)展起來的自動調(diào)節(jié)原理，對設(shè)計與分析單輸?shù)诙问澜绱髴?zhàn)以后發(fā)展起來的自動調(diào)節(jié)原理，對設(shè)計與分析單輸入單輸出的線性定常系統(tǒng)是有效的；然而近代航空及空間技術(shù)的發(fā)展對控入單輸出的線性定常系統(tǒng)是有效的；然而近代航空及空間技術(shù)的發(fā)展對控制精度提出了很高的耍求，并

5、且被控制的對象是多輸入多輸出的，參數(shù)是制精度提出了很高的耍求，并且被控制的對象是多輸入多輸出的，參數(shù)是時變的。面臨這些新的情況建立在傳遞函數(shù)基礎(chǔ)上的自動調(diào)節(jié)原理就日時變的。面臨這些新的情況建立在傳遞函數(shù)基礎(chǔ)上的自動調(diào)節(jié)原理就日益顯出它的局限性來。這種局限性首先表現(xiàn)在對于時變系統(tǒng)，傳遞函數(shù)根益顯出它的局限性來。這種局限性首先表現(xiàn)在對于時變系統(tǒng)，傳遞函數(shù)根本無法定義，對多輸入多輸出系統(tǒng)從傳遞函數(shù)概念得出的工程結(jié)論往往難本無法定義，對多輸入多輸出系統(tǒng)從傳遞函數(shù)概念得出的工程結(jié)論往往難于應(yīng)用。由于工程技術(shù)的需要，以狀態(tài)空間概念為基礎(chǔ)的最優(yōu)控制理論漸于應(yīng)用。由于工程技術(shù)的需要，以狀態(tài)空間概念為基礎(chǔ)的最優(yōu)

6、控制理論漸漸發(fā)展起來。最優(yōu)控制理論是現(xiàn)代控制理論的核心，漸發(fā)展起來。最優(yōu)控制理論是現(xiàn)代控制理論的核心，2020世紀(jì)世紀(jì)5050年代發(fā)展年代發(fā)展起來的，已形成系統(tǒng)的理論。起來的，已形成系統(tǒng)的理論。 最優(yōu)控制理論所要解決的問題是：按照控制對象的動態(tài)特最優(yōu)控制理論所要解決的問題是：按照控制對象的動態(tài)特性，選擇一個容許控制，使得被控對象按照技術(shù)要求運轉(zhuǎn)，性，選擇一個容許控制，使得被控對象按照技術(shù)要求運轉(zhuǎn)，同時使性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)值。同時使性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)值。 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation6 二、最優(yōu)控制的發(fā)展

7、簡史二、最優(yōu)控制的發(fā)展簡史o先期工作：先期工作：n19481948年，年，維納維納(N.Wiener)(N.Wiener)發(fā)表發(fā)表控制論控制論，引進(jìn)了信息、反饋和引進(jìn)了信息、反饋和控制等重要概念，奠定了控制論控制等重要概念，奠定了控制論(Cybernetics)(Cybernetics)的基礎(chǔ)。并提出了的基礎(chǔ)。并提出了相對于某一性能指標(biāo)進(jìn)行最優(yōu)設(shè)計的概念。相對于某一性能指標(biāo)進(jìn)行最優(yōu)設(shè)計的概念。19501950年年, ,米頓納爾米頓納爾(Medona1)(Medona1)首先將這個概念用于研究繼電器系統(tǒng)在單位階躍作用下首先將這個概念用于研究繼電器系統(tǒng)在單位階躍作用下的 過 渡 過 程 的 時 間

8、 最 短 最 優(yōu) 控 制 問 題 。的 過 渡 過 程 的 時 間 最 短 最 優(yōu) 控 制 問 題 。n19541954年，年，錢學(xué)森編著錢學(xué)森編著工程控制論工程控制論（上下冊），（上下冊），作者系統(tǒng)地揭示作者系統(tǒng)地揭示了控制論對自動化、航空、航天、電子通信等科學(xué)技術(shù)的意義和重了控制論對自動化、航空、航天、電子通信等科學(xué)技術(shù)的意義和重大影響。其中大影響。其中“最優(yōu)開關(guān)曲線最優(yōu)開關(guān)曲線”等素材，直接促進(jìn)了最優(yōu)控制理論等素材，直接促進(jìn)了最優(yōu)控制理論的形成和發(fā)展。的形成和發(fā)展。 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automatio

9、n7o理論形成階段：理論形成階段： 自動控制聯(lián)合會自動控制聯(lián)合會(IFAC)(IFAC)第一屆世界大會于第一屆世界大會于19601960年召開年召開, ,卡爾曼卡爾曼（KalmanKalman）、貝爾曼（）、貝爾曼（R.BellmanR.Bellman）和龐特里亞金（）和龐特里亞金（PontryaginPontryagin）分）分別在會上作了別在會上作了“控制系統(tǒng)的一般理論控制系統(tǒng)的一般理論”、“動態(tài)規(guī)劃動態(tài)規(guī)劃”和和“最優(yōu)控最優(yōu)控制理論制理論”的報告的報告, ,宣告了最優(yōu)控制理論的誕生宣告了最優(yōu)控制理論的誕生, ,人們也稱這三個工作人們也稱這三個工作是現(xiàn)代控制理論的三個里程碑。是現(xiàn)代控制理論

10、的三個里程碑。o1953195319571957年，年，貝爾曼貝爾曼(R.E.Bellman)(R.E.Bellman)創(chuàng)立創(chuàng)立“動態(tài)規(guī)劃動態(tài)規(guī)劃”原理原理。為了解決多階段決策過程逐步創(chuàng)立的，依據(jù)最優(yōu)化原理，用一組基為了解決多階段決策過程逐步創(chuàng)立的，依據(jù)最優(yōu)化原理，用一組基本的遞推關(guān)系式使過程連續(xù)地最優(yōu)轉(zhuǎn)移。本的遞推關(guān)系式使過程連續(xù)地最優(yōu)轉(zhuǎn)移?！皠討B(tài)規(guī)劃動態(tài)規(guī)劃”對于研究最對于研究最優(yōu)控制理論的重要性，表現(xiàn)于可得出離散時間系統(tǒng)的理論結(jié)果和迭優(yōu)控制理論的重要性，表現(xiàn)于可得出離散時間系統(tǒng)的理論結(jié)果和迭代算法。代算法。 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engi

11、neering and Automation8o1956195619581958年，年，龐特里亞金創(chuàng)立龐特里亞金創(chuàng)立“極小值原理極小值原理”。它是最優(yōu)控制理論的主要組成部分和該理論發(fā)展史上的一個里程碑。它是最優(yōu)控制理論的主要組成部分和該理論發(fā)展史上的一個里程碑。對于對于“最大值原理最大值原理”，由于放寬了有關(guān)條件的使得許多古典變分法，由于放寬了有關(guān)條件的使得許多古典變分法和動態(tài)規(guī)劃方法無法解決的工程技術(shù)問題得到解決，所以它是和動態(tài)規(guī)劃方法無法解決的工程技術(shù)問題得到解決，所以它是解決解決最優(yōu)控制問題的一種最普遍的有效的方法最優(yōu)控制問題的一種最普遍的有效的方法。同時，龐特里亞金在。同時，龐特里亞金

12、在最優(yōu)過程的數(shù)學(xué)理論最優(yōu)過程的數(shù)學(xué)理論著作中已經(jīng)把最優(yōu)控制理論初步形成了一著作中已經(jīng)把最優(yōu)控制理論初步形成了一個完整的體系。個完整的體系。n此外，構(gòu)成最優(yōu)控制理論及現(xiàn)代最優(yōu)化技術(shù)理論基礎(chǔ)的代表性此外，構(gòu)成最優(yōu)控制理論及現(xiàn)代最優(yōu)化技術(shù)理論基礎(chǔ)的代表性工作，工作， 還有不等式約束條件下的非線性最優(yōu)必要條件還有不等式約束條件下的非線性最優(yōu)必要條件( (庫庫恩恩圖克定理圖克定理) )以及卡爾曼的關(guān)于隨機控制系統(tǒng)最優(yōu)濾波器等。以及卡爾曼的關(guān)于隨機控制系統(tǒng)最優(yōu)濾波器等。 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation9三、研究最

13、優(yōu)控制的方法三、研究最優(yōu)控制的方法 從數(shù)學(xué)方面看，從數(shù)學(xué)方面看，最優(yōu)控制問題最優(yōu)控制問題就是求解一類帶有約束條件的泛函極值就是求解一類帶有約束條件的泛函極值問題，因此這是一個變分學(xué)的問題：然而問題，因此這是一個變分學(xué)的問題：然而變分理論變分理論只是解決只是解決容許控制屬于容許控制屬于開集開集的一類最優(yōu)控制問題，而在工程實踐中還常遇到的一類最優(yōu)控制問題，而在工程實踐中還常遇到容許控制屬于閉集容許控制屬于閉集的的一類最優(yōu)控制問題，這就要求人們研究新方法。一類最優(yōu)控制問題，這就要求人們研究新方法。 在研究最優(yōu)控制的方法中，有兩種方法最富成效：一種是蘇聯(lián)學(xué)者在研究最優(yōu)控制的方法中，有兩種方法最富成效：

14、一種是蘇聯(lián)學(xué)者龐特里雅金提出的龐特里雅金提出的“極大值原理極大值原理”；另一種是美國學(xué)者貝爾曼提出的；另一種是美國學(xué)者貝爾曼提出的“動動態(tài)規(guī)劃態(tài)規(guī)劃”。 極大值原理極大值原理是龐特里雅金等人在是龐特里雅金等人在19561956至至19581958年間逐步創(chuàng)立的，先是年間逐步創(chuàng)立的，先是推測出極大值原理的結(jié)論，隨后又推測出極大值原理的結(jié)論，隨后又提供了一種證明方法。提供了一種證明方法。 動態(tài)規(guī)劃動態(tài)規(guī)劃是貝爾曼在是貝爾曼在19531953年至年至19581958年間逐步創(chuàng)立的，他依據(jù)年間逐步創(chuàng)立的，他依據(jù)最優(yōu)性原理發(fā)展了變分學(xué)中的最優(yōu)性原理發(fā)展了變分學(xué)中的哈密頓哈密頓- -雅可比理論，構(gòu)成了動雅

15、可比理論，構(gòu)成了動態(tài)規(guī)劃。態(tài)規(guī)劃。 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation10 由于電子計算機技術(shù)的發(fā)展，使得設(shè)計計算和實時控制有了實際可由于電子計算機技術(shù)的發(fā)展，使得設(shè)計計算和實時控制有了實際可用的計算工具，為實際應(yīng)用一些更完善的數(shù)學(xué)方法提供了工程實現(xiàn)的物用的計算工具，為實際應(yīng)用一些更完善的數(shù)學(xué)方法提供了工程實現(xiàn)的物質(zhì)條件，高速度、大容量計算機的應(yīng)用，一方面使控制理論的工程實現(xiàn)質(zhì)條件，高速度、大容量計算機的應(yīng)用，一方面使控制理論的工程實現(xiàn)有了可能，另一方面又提出了許多需要解決的理論課題，因此這門學(xué)科有了可能

16、，另一方面又提出了許多需要解決的理論課題，因此這門學(xué)科目前是正在發(fā)展的，極其活躍的科學(xué)領(lǐng)域之一。目前是正在發(fā)展的，極其活躍的科學(xué)領(lǐng)域之一。 四、四、 求解最優(yōu)控制問題求解最優(yōu)控制問題 可以采用可以采用解析法解析法或或數(shù)值計算法數(shù)值計算法變分法無約束 極值原理、動態(tài)規(guī)則有約束區(qū)間消去法爬山法梯度法最優(yōu)控制問題解析法數(shù)值計算法 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation11什么是最優(yōu)控制？以下通過直流他勵電機的控制問題來說明什么是最優(yōu)控制？以下通過直流他勵電機的控制問題來說明問題問題6-1 電動機的電動機的運動方程運

17、動方程為為tJTIKDFDmdd（1）其中，其中， 為轉(zhuǎn)矩系數(shù)；為轉(zhuǎn)矩系數(shù)； 為轉(zhuǎn)動慣量；為轉(zhuǎn)動慣量； 為恒定的負(fù)載轉(zhuǎn)矩；為恒定的負(fù)載轉(zhuǎn)矩；mKDJFT希望：希望：在時間區(qū)間在時間區(qū)間0，tf內(nèi)，電動機從靜止起動，轉(zhuǎn)過一定角度內(nèi)，電動機從靜止起動，轉(zhuǎn)過一定角度后停止，使電樞電阻后停止，使電樞電阻 上的損耗上的損耗 最小，求最小，求DRttIREDtDfd)(20)(tIDDI因為因為 是時間的函數(shù)，是時間的函數(shù)，E 又是又是 的函數(shù)，的函數(shù)，E 是函數(shù)的函數(shù)，稱為是函數(shù)的函數(shù)，稱為泛函泛函。DIconstttftd)(0（2） 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electric

18、al Engineering and Automation12采用采用狀態(tài)方程狀態(tài)方程表示，令表示，令1x12xxDFDDmJTIJKx2于是于是FDDDmTJIJKxxxx10000102121（3）初始狀態(tài)初始狀態(tài)00)0()0(21xx末值狀態(tài)末值狀態(tài)0)()(21fftxtxDI控制控制 不受限制不受限制性能指標(biāo)性能指標(biāo)ttIREDtDfd)(20（4）)(tID本問題的最優(yōu)控制問題是本問題的最優(yōu)控制問題是：在數(shù)學(xué)模型（：在數(shù)學(xué)模型（3）的約束下，尋求一個）的約束下，尋求一個控制控制 ，使電動機從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到末值狀態(tài)，性能指標(biāo)，使電動機從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到末值狀態(tài)，性能指標(biāo)E 為為最小。

19、最小。 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation13問題問題6-2對于問題對于問題6-1中的直流他勵電動機，如果電動機從初始中的直流他勵電動機，如果電動機從初始)(tID時刻時刻 的靜止?fàn)顟B(tài)轉(zhuǎn)過一個角度的靜止?fàn)顟B(tài)轉(zhuǎn)過一個角度 又停下，求控制又停下，求控制 （ 是是受到限制的），使得所需時間最短。受到限制的），使得所需時間最短。00t)(tID這也是一個最優(yōu)控制問題：這也是一個最優(yōu)控制問題：系統(tǒng)方程系統(tǒng)方程為為FDDDmTJIJKxxxx10000102121初始狀態(tài)初始狀態(tài)00)0()0(21xx末值狀態(tài)末值狀

20、態(tài)0)()(21fftxtx)(tIDmaxDI（5）性能指標(biāo)性能指標(biāo)ftttJf0d（6）)0(x最優(yōu)控制問題最優(yōu)控制問題為：在狀態(tài)方程的約束下，尋求最優(yōu)控制為：在狀態(tài)方程的約束下，尋求最優(yōu)控制，將，將 轉(zhuǎn)移到轉(zhuǎn)移到 ，使，使J 為極小。為極小。maxDI)(tID)(ftx 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation14例例1.1 月球上的軟著陸問題月球上的軟著陸問題 飛船靠其發(fā)動機產(chǎn)生一與月球重力方向相反的推飛船靠其發(fā)動機產(chǎn)生一與月球重力方向相反的推力力u(t)u(t)，以使飛船在月球表面實現(xiàn)軟著陸，要尋求

21、發(fā)，以使飛船在月球表面實現(xiàn)軟著陸，要尋求發(fā)動機推力的最優(yōu)控制規(guī)律，以便使燃料的消耗為最少。動機推力的最優(yōu)控制規(guī)律，以便使燃料的消耗為最少。 設(shè)飛船質(zhì)量為m(t)，高度為h(t)，垂直速度為v(t)，發(fā)動機推力為u(t)，月球表面的重力加速度為常數(shù)g。設(shè)不帶燃料的飛船質(zhì)量為M， 初始燃料的總質(zhì)量為F初始高度為h0，初始的垂直速度為v0， k為比例系數(shù)，表示推力與燃料消耗率的關(guān)系，那么飛船的運動方程式可以表示為：)()()()()()()(tkutmtmtugtvtvth初始條件 FMmvvhh)0()0()0(00終端條件 0)(0)(fftvth性能指標(biāo)是使燃料消耗為最小，即 約束條件)(0t

22、u)(ftmJ 達(dá)到最大值 我們的任務(wù)是尋求發(fā)動機推力的最優(yōu)控制規(guī)律u(t),它應(yīng)滿足約束條件，使飛船由初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到終端狀態(tài)，并且使性能指標(biāo)為極值(極大值)。 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation15系統(tǒng)狀態(tài)方程系統(tǒng)狀態(tài)方程為為),(tux,fx 初始狀初始狀態(tài)為態(tài)為)(0tx其中，其中，x 為為n 維狀態(tài)向量；維狀態(tài)向量； u 為為r 維控制向量；維控制向量； f 為為n 維向量函數(shù)，維向量函數(shù)，它是它是 x 、u 和和t 的連續(xù)函數(shù)，并且對的連續(xù)函數(shù)，并且對x 、t 連續(xù)可微。連續(xù)可微。最優(yōu)。其中最優(yōu)

23、。其中 是是 x 、u 和和t 的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)),(tuxL)(ftxrRu 尋求在尋求在 上的最優(yōu)控制上的最優(yōu)控制 或或 ，以將系統(tǒng)狀，以將系統(tǒng)狀態(tài)從態(tài)從 轉(zhuǎn)移到轉(zhuǎn)移到 或或 的一個集合，并使的一個集合，并使性能指標(biāo)性能指標(biāo),0fttrRU u)(0tx)(ftxttttJfttffd),(),(0uxLx最優(yōu)控制問題最優(yōu)控制問題就是求解一類帶有約束條件的條件泛函極值問題。就是求解一類帶有約束條件的條件泛函極值問題。 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation16在敘述最優(yōu)控制問題的提法之前，先討論一些基

24、本概念。在敘述最優(yōu)控制問題的提法之前，先討論一些基本概念。 1) 1) 有一個被控對象（有一個被控對象（受控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型）受控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型） 一個集中參數(shù)的受控系統(tǒng)總可以用一組一階微分方程來描述，即狀態(tài)方程，一個集中參數(shù)的受控系統(tǒng)總可以用一組一階微分方程來描述，即狀態(tài)方程，其一般形式為：其一般形式為：00)(),(),()(xtxttutxftx)(tx是是n維狀態(tài)向量維狀態(tài)向量 )(tu為為p維控制向量維控制向量,在在t0,tf 上分段連續(xù)上分段連續(xù)),(),(ttutxf為為n維連續(xù)向量函數(shù)維連續(xù)向量函數(shù), 對對x和和t連續(xù)可微連續(xù)可微 ),()(),(),()(),(),()(),(

25、),()(),(),()(),(),()(),(),(),(),(),(),(),(),(),()(2121212122121121ttutututxtxtxfttutututxtxtxfttutututxtxtxfttutxfttutxfttutxfttutxftxpnnpnpnn 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation172) 2) 有一目標(biāo)集及邊界條件（有一目標(biāo)集及邊界條件（邊界條件與目標(biāo)集）邊界條件與目標(biāo)集） a）邊界條件：）邊界條件：初始狀態(tài)初始狀態(tài)： 如果把狀態(tài)視為如果把狀態(tài)視為n維歐氏空間中的一

26、個點，在最優(yōu)控制問維歐氏空間中的一個點，在最優(yōu)控制問題中，題中，起始狀態(tài)（初態(tài)）起始狀態(tài)（初態(tài)）通常是已知的，即通常是已知的，即)0()(0 xtx 末端狀態(tài)：末端狀態(tài)： 而所達(dá)到的而所達(dá)到的狀態(tài)（末態(tài)）狀態(tài)（末態(tài)）可以是狀態(tài)空間中的一個點，或可以是狀態(tài)空間中的一個點，或事先規(guī)定的范圍內(nèi)，對末態(tài)的要求可以用事先規(guī)定的范圍內(nèi)，對末態(tài)的要求可以用末態(tài)約束條件末態(tài)約束條件來表示：來表示：nrRttxrff,)(0),(說明：至于末態(tài)時刻，可以事先規(guī)定，也可以是未知的。說明：至于末態(tài)時刻，可以事先規(guī)定，也可以是未知的。有時初態(tài)也沒有完全給定，這時，初態(tài)集合可以類似地用初態(tài)約束來表示。有時初態(tài)也沒有完全

27、給定，這時，初態(tài)集合可以類似地用初態(tài)約束來表示。 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation183) 3) 容許控制容許控制在實際控制問題中，大多數(shù)控制量受客觀條件的限制，只能在一定范在實際控制問題中，大多數(shù)控制量受客觀條件的限制，只能在一定范圍內(nèi)取值，這種限制通?？梢杂萌缦虏坏仁郊s束來表示：圍內(nèi)取值，這種限制通?？梢杂萌缦虏坏仁郊s束來表示：piuutui2 , 1)(0max或上述由控制約束所規(guī)定的點集稱為控制域上述由控制約束所規(guī)定的點集稱為控制域，凡在，凡在t0-tf上有定義，且在上有定義，且在控制域控制域內(nèi)

28、取值的每一個控制函數(shù)內(nèi)取值的每一個控制函數(shù)u(t)均稱為均稱為容許控制容許控制。0),(ftxM( ,)0,pftpnxxR目標(biāo)集：目標(biāo)集：在控制在控制u的作用下，把被控對象的初態(tài)的作用下，把被控對象的初態(tài)x0在某個終端時刻在某個終端時刻轉(zhuǎn)移到某個終端狀態(tài)轉(zhuǎn)移到某個終端狀態(tài)x(tf)。 x(tf)通常受幾何約束。例如考慮它是一通常受幾何約束。例如考慮它是一個點集，在約束條件個點集，在約束條件 下下 目標(biāo)集為目標(biāo)集為 b）目標(biāo)集）目標(biāo)集：滿足末態(tài)約束的狀態(tài)集合滿足末態(tài)約束的狀態(tài)集合稱為目標(biāo)集稱為目標(biāo)集，記為，記為M，即：，即：0),(,)();(ffnffttxRtxtxM 2008 HFUT最

29、優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation19 為了能在各種控制律中尋找到效果最好的控制，需要建立為了能在各種控制律中尋找到效果最好的控制，需要建立一種評價控制效果好壞或控制品質(zhì)優(yōu)劣的性能指標(biāo)函數(shù)。一種評價控制效果好壞或控制品質(zhì)優(yōu)劣的性能指標(biāo)函數(shù)。又稱代價（成本，目標(biāo)）函數(shù)或泛函，記做又稱代價（成本，目標(biāo)）函數(shù)或泛函，記做 ，它是一個依賴于控制的有限實數(shù)，一般的表達(dá)式為：它是一個依賴于控制的有限實數(shù)，一般的表達(dá)式為： 該表達(dá)式包括了依賴于終端時刻該表達(dá)式包括了依賴于終端時刻t tf f和終端狀態(tài)和終端狀態(tài)x(tf)的末值的末值型項，

30、以及依賴于這個控制過程的積分型項。因此，可型項，以及依賴于這個控制過程的積分型項。因此，可將最優(yōu)控制問題的將最優(yōu)控制問題的性能指標(biāo)分為性能指標(biāo)分為：混合型混合型、末值型末值型和和積積分型分型。不同的控制問題，應(yīng)取不同的性能指標(biāo)：。不同的控制問題，應(yīng)取不同的性能指標(biāo)： )(uJfttffdtttutxLttxuJ0),(),(),()(4) 4) 性能指標(biāo)性能指標(biāo) 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation20（1 1）積分型性能指標(biāo)）積分型性能指標(biāo)： a.a.最短時間控制：最短時間控制： b.b.最少燃燒控制：最

31、少燃燒控制： c.c.最小能量控制最小能量控制: :（2 2）末值型性能指標(biāo)）末值型性能指標(biāo)（3 3）混合型性能指標(biāo)）混合型性能指標(biāo)fttfttdtuJttutxL00)(, 1),(),(fttdtttutxLuJ0),(),()(mjjtuttutxL1)(),(),( fttmjjdttuJ01)(fttTdttutuJ0)()()()(),(),(tututtutxLT),()(ffttxuJfttffdtttutxLttxuJ0),(),(),()( 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation215)

32、5) 最優(yōu)控制的提法最優(yōu)控制的提法已知受控系統(tǒng)的已知受控系統(tǒng)的狀態(tài)方程及給定的初態(tài)狀態(tài)方程及給定的初態(tài)),(),()(ttutxftx)0()(0 xtx規(guī)定的目標(biāo)集為規(guī)定的目標(biāo)集為M，求一，求一容許控制容許控制u(t),t t0,tf,使系統(tǒng)從給定的初使系統(tǒng)從給定的初態(tài)出發(fā)，在態(tài)出發(fā)，在tf t0時刻轉(zhuǎn)移到目標(biāo)集時刻轉(zhuǎn)移到目標(biāo)集M，并使，并使性能指標(biāo)性能指標(biāo) fttffdtttutxLttxJ0),(),(),(（）（為最小為最小。通常用以下泛函形式表示。通常用以下泛函形式表示 這就是最優(yōu)控制問題。這就是最優(yōu)控制問題。如果問題有解，記為如果問題有解，記為u*(t), t t0,tf,則則u*

33、(t)叫做叫做最優(yōu)控制（極值控制）最優(yōu)控制（極值控制），相應(yīng)的軌線相應(yīng)的軌線X*(t)稱為稱為最優(yōu)軌線（極值軌線最優(yōu)軌線（極值軌線），而性能指標(biāo)），而性能指標(biāo)J*=J（u*()）則）則稱為稱為最優(yōu)性能指標(biāo)最優(yōu)性能指標(biāo)。0),()(,),(),()(.),(),(),(min00)(0ffttfftuttxxtxttutxftxtsdtttutxLttxJf 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation22設(shè)計最優(yōu)控制系統(tǒng)時，很重要的一個問題是選擇性能指標(biāo)，性能指標(biāo)按其設(shè)計最優(yōu)控制系統(tǒng)時，很重要的一個問題是選擇性能指

34、標(biāo)，性能指標(biāo)按其數(shù)學(xué)形式可分為如下三類：數(shù)學(xué)形式可分為如下三類：1）積分型性能指標(biāo)）積分型性能指標(biāo) fttdtttutxLJ0),(),(這樣的最優(yōu)控制問題為這樣的最優(yōu)控制問題為拉格朗日問題拉格朗日問題。2）終值型性能指標(biāo)）終值型性能指標(biāo)),(ffttxJ這種性能指標(biāo)只是對于系統(tǒng)在動態(tài)過程結(jié)束時的終端狀態(tài)提出了要求，這種性能指標(biāo)只是對于系統(tǒng)在動態(tài)過程結(jié)束時的終端狀態(tài)提出了要求，而對于整個動態(tài)過程中系統(tǒng)的狀態(tài)和控制的演變未作要求。這樣的最優(yōu)而對于整個動態(tài)過程中系統(tǒng)的狀態(tài)和控制的演變未作要求。這樣的最優(yōu)控制問題為控制問題為邁耶爾問題邁耶爾問題。3）復(fù)合型性能指標(biāo)）復(fù)合型性能指標(biāo) fttffdttt

35、utxLttxJ0),(),(),(這樣的最優(yōu)控制問題為這樣的最優(yōu)控制問題為波爾扎問題波爾扎問題。 通過適當(dāng)變換，拉格朗日問題和邁耶爾問題可以相互轉(zhuǎn)換。通過適當(dāng)變換，拉格朗日問題和邁耶爾問題可以相互轉(zhuǎn)換。 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation23按控制系統(tǒng)的用途不同，所選擇的性能指標(biāo)不同，常見的有：按控制系統(tǒng)的用途不同，所選擇的性能指標(biāo)不同，常見的有：1：最小時間控制：最小時間控制fttfdtttJ0102：最小燃料消耗控制：最小燃料消耗控制 粗略地說，控制量粗略地說，控制量u(t)與燃料消耗量成正比，最小

36、燃料消耗問題的與燃料消耗量成正比，最小燃料消耗問題的性能指標(biāo)為：性能指標(biāo)為： fttdttuJ0| )(|3：最小能量控制：最小能量控制 設(shè)標(biāo)量控制函數(shù)設(shè)標(biāo)量控制函數(shù)u2(t)與所消耗的功率成正比，則最小能量控制問題的與所消耗的功率成正比，則最小能量控制問題的性能指標(biāo)為：性能指標(biāo)為： fttdttuJ0)(2 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation244：狀態(tài)調(diào)節(jié)器：狀態(tài)調(diào)節(jié)器給定一個線性系統(tǒng)，其平衡狀態(tài)給定一個線性系統(tǒng)，其平衡狀態(tài)X(0)=0，設(shè)計的目的是保持系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，設(shè)計的目的是保持系統(tǒng)處于平衡狀

37、態(tài)，即這個系統(tǒng)應(yīng)能從任何初始狀態(tài)返回平衡狀態(tài)。這種系統(tǒng)稱為即這個系統(tǒng)應(yīng)能從任何初始狀態(tài)返回平衡狀態(tài)。這種系統(tǒng)稱為線性調(diào)節(jié)器線性調(diào)節(jié)器。 線性調(diào)節(jié)器的性能指標(biāo)為線性調(diào)節(jié)器的性能指標(biāo)為： fttniidttxJ012)(加權(quán)后的性能指標(biāo)為：加權(quán)后的性能指標(biāo)為： fttniiidttxqJ012)(對對u(t)有約束的性能指標(biāo)為有約束的性能指標(biāo)為： fttTTdttRututQxtxJ0)()()()(21式中式中Q和和R都是正定加權(quán)矩陣。都是正定加權(quán)矩陣。 一般形式，一般形式，有限時間線性調(diào)節(jié)器性能指標(biāo)有限時間線性調(diào)節(jié)器性能指標(biāo)： fttTTffTdttRututQxtxtFxtxJ0)()()(

38、)(21)()(21無限時間線性調(diào)節(jié)器性能指標(biāo)：無限時間線性調(diào)節(jié)器性能指標(biāo)： 0)()()()(21tTTdttRututQxtxJF0，Q0，R0，均為對稱加權(quán)矩陣。均為對稱加權(quán)矩陣。 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation255：線性跟蹤器：線性跟蹤器若要求狀態(tài)若要求狀態(tài)x(t)跟蹤或盡可能接近目標(biāo)軌跡跟蹤或盡可能接近目標(biāo)軌跡Xd(t),則這種系統(tǒng)稱為則這種系統(tǒng)稱為狀態(tài)跟蹤狀態(tài)跟蹤器器，其相應(yīng)的性能指標(biāo)為：，其相應(yīng)的性能指標(biāo)為：fttTdTddttRututxtxQtxtxJ0)()()()()()(21

39、Q0，R0，均為對稱加權(quán)矩陣。均為對稱加權(quán)矩陣。若要求系統(tǒng)輸出若要求系統(tǒng)輸出y(t)跟蹤或盡可能接近目標(biāo)軌跡跟蹤或盡可能接近目標(biāo)軌跡yd(t),則這種系統(tǒng)稱為則這種系統(tǒng)稱為輸出輸出跟蹤器跟蹤器，其相應(yīng)的性能指標(biāo)為：，其相應(yīng)的性能指標(biāo)為：fttTdTddttRututytyQtytyJ0)()()()()()(21Q0，R0，均為對稱加權(quán)矩陣。均為對稱加權(quán)矩陣。 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation26除了上述幾種應(yīng)用類型外，根據(jù)具體工程實際的需要，還可以選取其他除了上述幾種應(yīng)用類型外，根據(jù)具體工程實際的需要

40、，還可以選取其他不同形式的性能指標(biāo)，在選取性能指標(biāo)時需注意：不同形式的性能指標(biāo)，在選取性能指標(biāo)時需注意：1）應(yīng)能反映對系統(tǒng)的主要技術(shù)條件要求）應(yīng)能反映對系統(tǒng)的主要技術(shù)條件要求2）便于對最優(yōu)控制進(jìn)行求解）便于對最優(yōu)控制進(jìn)行求解3）所導(dǎo)出的最優(yōu)控制易于工程實現(xiàn)）所導(dǎo)出的最優(yōu)控制易于工程實現(xiàn) 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation27一、多變量函數(shù)極值問題一、多變量函數(shù)極值問題設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù)f（x1,x2），在點（），在點（x1*,x2*）處有極值）處有極值f（x1*,x2*）的）的必要條件必要條件為：為：0

41、),(),(*2*11211xxxxxfxf0),(),(*2*12212xxxxxfxff（x1*,x2*）取極小值的充分條件取極小值的充分條件為：為：0)(2)(22*21*21*222111xfxxfxfxxxxxx0)(21*2, 122212111xxffffxxxxxxxxxx或或 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation28*22212111xxxxxxxxxxffffF正定正定 ),(),(*2*12121211xxxxxfxxf),(),(*2*12121221xxxxxxfxxf),(),(

42、*2*12221222xxxxxfxxf其中其中上述結(jié)論可以推廣到自變量多于兩個的情形上述結(jié)論可以推廣到自變量多于兩個的情形 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation29設(shè)設(shè)n 個變量的多元函數(shù)個變量的多元函數(shù)f（x1，x2，xn），若），若f（x）在）在x*處有極小處有極小值，其必要條件為：值，其必要條件為： 0,*2*1221nxxxxfxfxfxF充分條件為：充分條件為：2222122222212212212212*)()()()()()()()()(nnnnnxxxxfxxxfxxxfxxxfxxfxx

43、xfxxxfxxxfxxfF為正定矩陣。為正定矩陣。 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation30二、有約束條件的函數(shù)極值問二、有約束條件的函數(shù)極值問題題 設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù)f（x1,x2），），x1和和x2必須滿足下列方程：必須滿足下列方程： g（x1,x2）0 為求函數(shù)為求函數(shù)f（x1,x2）的極值，并找出其極值點（）的極值，并找出其極值點（x1*,x2*），作一），作一輔助函數(shù)輔助函數(shù)拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù)： ),(),(),(212121xxgxxfxxL式中式中為輔助變量，稱為為輔助變量，稱為拉格

44、朗日乘子拉格朗日乘子。函數(shù)函數(shù)f（x1,x2）求極值問題，轉(zhuǎn)變?yōu)椋┣髽O值問題，轉(zhuǎn)變?yōu)闊o約束條件函數(shù)無約束條件函數(shù)求極值問題求極值問題（拉格朗日乘子法），其（拉格朗日乘子法），其存在極值的必要條件存在極值的必要條件為為 021LxLxLxL或或0111xgxfxL0222xgxfxL0),(21xxgL 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation31同樣，用拉格朗日乘子法可以求有約束條件的同樣，用拉格朗日乘子法可以求有約束條件的n元函數(shù)的極值。元函數(shù)的極值。設(shè)設(shè)n元函數(shù)為元函數(shù)為f（x1，x2，xn），有），有m個

45、約束方程個約束方程 0),(21nixxxgi1，2，m（nm）),(),(),(211212121nimiinmnxxxgxxxfxxxL作拉格朗日函數(shù)作拉格朗日函數(shù)：函數(shù)函數(shù)L有極值的必要條件有極值的必要條件為：為：01111xgxfxLimii02122xgxfxLimii0),(2111nxxxgL0),(2122nxxxgL0),(21nmmxxxgL01nimiinnxgxfxL 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation32函數(shù)：對于變量t的某一變域中的每一個值，x都有一個值與之相對應(yīng)，那么變量x稱

46、作變量t的函數(shù)。記為： x=f (t)t稱為函數(shù)的自變量自變量的微分：dt=t-t0 （增量足夠小時）泛函：對于某一類函數(shù)x()中的每一個函數(shù)x(t)，變量J都有一個值與之相對應(yīng)，那么變量J稱作依賴于函數(shù)x(t)的泛函。記為： J=J x(t)x(t)稱為泛函的宗量宗量的變分：)()(0txtxx函數(shù)與泛函比較：函數(shù)與泛函比較： 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation33(1) 泛函泛函 設(shè)對于自變量設(shè)對于自變量 ，存在一類函數(shù)，存在一類函數(shù) ，對于每個函數(shù)，對于每個函數(shù) ，有一個有一個 值與之對應(yīng)，則變量值

47、與之對應(yīng)，則變量 稱為依賴于函數(shù)稱為依賴于函數(shù) 的泛函的泛函數(shù)，簡稱泛函，記作數(shù)，簡稱泛函，記作 。 這里自變量仍是一個函數(shù)，故這里自變量仍是一個函數(shù)，故泛函泛函也也稱函數(shù)的函數(shù)稱函數(shù)的函數(shù)。如。如: txJ txt tx txJJ tmvE221 dtttxtxLJftt0, 例如：例如：ttxxJd)(30（其中，（其中， 為在為在 上連續(xù)可積函數(shù)）上連續(xù)可積函數(shù)）)(tx3,0當(dāng)當(dāng) 時，有時，有 ；當(dāng)；當(dāng) 時，有時，有 。ttx)(5 . 4Jtetx)(13 eJ 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automatio

48、n34(2) 宗量的變分宗量的變分 泛函泛函 的變量的變量 的變分的變分xxLJ, txJ txx txtxx0 nRtxtx0,宗量變分宗量變分 表示表示 中點中點 與與 之間的差。之間的差。x tx tx0nR(3) 泛函變分的定義泛函變分的定義定義定義 設(shè)設(shè)Jx是線性賦泛空間是線性賦泛空間 上的連續(xù)泛函其增量可表示為上的連續(xù)泛函其增量可表示為xJxxJxJxxrxxL,其中其中 的的線性連續(xù)泛函線性連續(xù)泛函 關(guān)于關(guān)于 的的高階無窮小高階無窮小xxL,xxxr,x則稱則稱 為為泛函泛函Jx(t)的變分的變分.泛函的變分是唯一的。當(dāng)泛函變分存在時泛函的變分是唯一的。當(dāng)泛函變分存在時,也稱也稱

49、泛函可微泛函可微.)()(0ttxx對于一個任意小正數(shù)對于一個任意小正數(shù) ，總是可以找到，總是可以找到 ，當(dāng)，當(dāng) 時，有時，有 就稱泛函就稱泛函 在在 處是處是連續(xù)連續(xù)的的。)()(0ttxx)()(0tJtJxx)(tJ xnR 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation35定理定理2.1： 設(shè)設(shè) 為線性賦范空間為線性賦范空間 上的連續(xù)泛函，若在上的連續(xù)泛函，若在 處處 可微，其中可微，其中 ，則，則 的變分為：的變分為： xJnR0 xx xJnRxx0, xJ000,JxxJxx 10證明：證明： 處處 可

50、微，則：可微，則： 由于由于 是是 的線性連續(xù)泛函，的線性連續(xù)泛函， 又又 關(guān)于關(guān)于 的高價無窮小的高價無窮小(4) 泛函變分求法泛函變分求法0 xJ00 xJxxJJxxrxxL,00 xxL,0 xxxLxxL,00 xxr,00,lim00 xxrx 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation360000limJxxJxJxx 001lim,Lxxrxx xxJ,000 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation37fttdt

51、txJ0)(2dttxtxdttxtxtxdttxtxtxtxJJffftttttt)()(2|)()()(2|)()(|)()(0000020 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation381）2121)(LLLL2）122121)(LLLLLL3）ttLttLbabad,d,xxxx4）xxddddtt(5) 泛函變分規(guī)則泛函變分規(guī)則 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation39000000 , , 2.1J, )|()()|

52、()ffffttttttttJL x x t dtL xx xx t dtLxxLxxdtxxLLxx dtxx解：由定理 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation40(6) 泛函極值泛函極值00000(,) |,(,)J 0J 0nU xxxxxRxU xDxJ xJ xxJ xJ x在，均有定義定義2.2 設(shè)設(shè)Jx是線性賦范空間是線性賦范空間Rn上某個開子集上某個開子集D中定義的可微泛函中定義的可微泛函, 點點x0D 若存在某一正數(shù)若存在某一正數(shù) 以及集合以及集合則稱則稱泛函泛函Jx在在x=x0處處達(dá)到極小

53、達(dá)到極小(大大)值值. 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation41(7) 泛函極值的必要條件泛函極值的必要條件: 泛函極值定理泛函極值定理定理定理2.2 若可微泛函若可微泛函Jx在在x0上達(dá)到極值，則在上達(dá)到極值，則在x0上的變分為零上的變分為零, 即即0,000 xxJxxJ證明：證明：根據(jù)函數(shù)極值的條件，函數(shù)根據(jù)函數(shù)極值的條件，函數(shù)()在在=0 時達(dá)到極值的必要條件為：時達(dá)到極值的必要條件為：可見：可見：0000)(,ddxxJxxJ00)(xxJ0)(0dd0,0 xxJ 2008 HFUT最優(yōu)控制理論

54、School of Electrical Engineering and Automation42 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation43 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation44 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation45 變分預(yù)備定理：變分預(yù)備定理：定理定理2.3 設(shè)設(shè) 是是 上連續(xù)的上連續(xù)的 維向量函數(shù)，維向量函數(shù)， 是任意的是

55、任意的 維連續(xù)向量函數(shù)，且維連續(xù)向量函數(shù)，且若若則：則：00fttfttt,00,fttnnfttTdttt00)()()(t)(t0)(t 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation46設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)x（t）在）在 t0,tf 區(qū)間上連續(xù)可導(dǎo)區(qū)間上連續(xù)可導(dǎo) 定義下列形式的積分定義下列形式的積分dtttxtxFJftt),(),(0J的值取決于函數(shù)的值取決于函數(shù)x（t），稱為），稱為泛函泛函 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation

56、47(一一) 無約束泛函極值無約束泛函極值的必要條件的必要條件定理定理2.4 設(shè)有如下泛函極值問題設(shè)有如下泛函極值問題: 在在 上連續(xù)可微，已知上連續(xù)可微，已知 則極值軌線則極值軌線 滿足如下滿足如下歐拉方程歐拉方程dttxxLJftttx0),(min)(ftt,0)(,txtxxL00 xtxffxtxnRx tx*0 xLdtdxL及及橫截條件橫截條件: 0)()(00txxLtxxLtTftTf2.3.1 歐拉方程歐拉方程 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation48證明證明: 設(shè)設(shè)x*(t)是滿足是滿

57、足x(t0)=x0, x(tf)=xf的極值軌線的極值軌線, x(t)是是x*(t)鄰域中一允許軌線鄰域中一允許軌線 則則,x(t)及其導(dǎo)數(shù)，在及其導(dǎo)數(shù)，在x*(t)及其導(dǎo)數(shù)附近發(fā)生微小變分，即：及其導(dǎo)數(shù)附近發(fā)生微小變分，即：)()()()()()()()()(0*0*fftxtxtxtxxtxtxtxtxtx*xJxxJxJfttdttxxLtxxxxL0,*0()()fTttTH OLdLxtxTxx 泰勒展開式中的高階項泰勒展開式中的高階項H O TL由一階變分定義，取由一階變分定義，取Jx 的的線性主部線性主部泛函泛函J的增量如下：的增量如下： 2008 HFUT最優(yōu)控制理論Schoo

58、l of Electrical Engineering and Automation490()ftTtTJxLLxxdtx000fffttTtTttTtLxLxxddtLdtdxxtx對上式中對上式中第二項作分部積分第二項作分部積分,有有從而從而,00)|()ffttTttTLdLxxLJdtxxdtx由定理由定理2.2,2.3,可得可得:極值曲線滿足極值曲線滿足:0LdLxdtx 00()()0fTTfttLLx tx txx歐拉方程歐拉方程:橫截條件橫截條件:00()()|0fftttTtTJxdLxxLdLxxtdt 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical

59、 Engineering and Automation50不同函數(shù)不同函數(shù)L的歐拉方程為：的歐拉方程為：),(ttxL0 xL),(ttxL022xxL ),(ttxL 0222txLxxL )(),(txtxL0222xLtxLxxL xtxtxttxtxL),(),(),(),(0tx 2008 HFUT最優(yōu)控制理論School of Electrical Engineering and Automation51當(dāng)當(dāng)t0和和tf給定時，根據(jù)給定時，根據(jù)x(t0),x(tf)是固定的或自由的各種組合，可導(dǎo)出邊是固定的或自由的各種組合，可導(dǎo)出邊界條件界條件 （1）固定固定始端和始端和固定固定終

60、端終端x(t0)=x0, x(tf)=xf x(t0)=x0, x(tf)=xf X(t)X1(t)X2(t)X3(t)t0tft由橫截條件由橫截條件00()( )0(*)fTTfttLLx tx txx00,x t0ftx即即, . 給定始、終端時刻（給定始、終端時刻（始端始端時刻時刻t0和終端和終端時刻時刻tf都給定都給定時的時的橫截條件橫截條件 ）有余下幾種情況：有余下幾種情況：2.3.2 橫截條件橫截條件求解歐拉方程，需要由橫截條件提供兩點邊界值。求解歐拉方程，需要由橫截條件提供兩點邊界值。則橫截條件（則橫截條件（*）始終滿足為）始終滿足為0，故邊，故邊界條件為：界條件為