高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點(diǎn)撥 冪函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

1、冪函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用冪函數(shù)y=x(R)是重要的基本初等函數(shù)模型之一，它具有如下性質(zhì)： （1）冪函數(shù)y=x(R)在(0，+)上有定義，并且圖象過(guò)定點(diǎn) (1，1)； （2）如果>0，則冪函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)(0，0)和(1，1)，并且在區(qū)間0，+)上為增函數(shù)； （3）如果<0，則冪函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn) (1，1)，并且在區(qū)間(0，+)上為減函數(shù)；在第一象限內(nèi)，當(dāng)x趨向于原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右方并無(wú)限地逼近y軸，當(dāng)x趨于+時(shí)，圖象在x軸上方并無(wú)限地逼近x軸； （4）設(shè)=pq，p、q互質(zhì)，pZ ，qN*。 當(dāng)p為奇數(shù)，q為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，函數(shù)在其它象限無(wú)圖象，只在第一象限內(nèi)有圖象； 當(dāng)p為偶

2、數(shù)，q為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)，圖象在第一、二象限，且關(guān)于y軸對(duì)稱； 當(dāng)p、q均為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)，圖象在第一、三象限，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。 利用上述性質(zhì)，可以解決許多有關(guān)冪函數(shù)問(wèn)題。下面舉例說(shuō)明。 一、比較大小例1 比較下列各組中兩個(gè)值的大小：（1）0.71.5，0.61.5；（2）2.2-23，1.8-23。解析：題中兩組值都是冪運(yùn)算的結(jié)果，且指數(shù)相同，因此可以利用冪函數(shù)的性質(zhì)來(lái)判斷它們的大小。（1）因?yàn)閮绾瘮?shù)y=x1.5在0，+)上為增函數(shù)，又0.7>0.6，所以0.71.5>0.61.5；（2）因?yàn)閮绾瘮?shù)y=x-23在(0，+)上為減函數(shù)，又2.2>1.8，所以2.2-

3、23<1.8-23。點(diǎn)評(píng)：當(dāng)冪指數(shù)相同時(shí)，可直接利用冪函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較。例2 比較(-2)23，(-0.7)-23，1.1-43的大小。解析：(-2)23=(22)-23，(-0.7)-23=0.7-23，1.1-43=1.21-23。因?yàn)閮绾瘮?shù)y=x-23在(0，+)上單調(diào)遞減，且0.7<22<1.21，所以0.7-23>(22)-23>1.21-23，所以(-0.7)-23>(-2)23>1.1-43。點(diǎn)評(píng)：當(dāng)冪指數(shù)不同時(shí)可先轉(zhuǎn)化為相同冪指數(shù)，再運(yùn)用單調(diào)性比較大小。二、求函數(shù)解析式例3 已知冪函數(shù)fx=x3m-8(mN*)的圖象與x軸，y軸都無(wú)交

4、點(diǎn)，且關(guān)于y軸對(duì)稱，試確定函數(shù)fx的解析式。解析：因?yàn)閒x=x3m-8(mN*)的圖象與x軸，y軸都無(wú)交點(diǎn)，所以3m-80，即m83 。又mN*，所以m=1，2。當(dāng)m=1時(shí)，3m-8=-5，fx=x3m-8=x-5是奇函數(shù)，不合題意，舍去；當(dāng)m=2時(shí)，3m-8= -2，fx=x3m-8=x-2是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，符合題意。故所求冪函數(shù)為y=x-2。點(diǎn)評(píng)：求冪函數(shù)的解析式，一般用待定系數(shù)法，弄清冪函數(shù)的定義和性質(zhì)是關(guān)鍵。三、討論函數(shù)性質(zhì)例4 討論函數(shù)fx=x1m2+m+1（mN*）的定義域、奇偶性和單調(diào)性。解析：（1）因?yàn)閙N*，所以m2+m=m(m+1)（mN*）是正偶數(shù)，所以m2+m

5、+1是正奇數(shù)，所以函數(shù)fx的定義域?yàn)镽。（2）因?yàn)閙2+m+1是正奇數(shù)，所以f-x=(-x)1m2+m+1=-x1m2+m+1=-fx，所以fx在R上是奇函數(shù)。（3）因?yàn)閙2+m+1>0，所以1m2+m+1>0，又m2+m+1是正奇數(shù)，所以函數(shù)fx在(-，+)上單調(diào)遞增。點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的性質(zhì)是解決函數(shù)問(wèn)題的基礎(chǔ)，應(yīng)掌握五個(gè)常用的冪函數(shù)：y=x，y=x2，y=x3，y=x12，y=x-1的性質(zhì)。四、畫函數(shù)圖象例5 已知冪函數(shù)y=xm-2（mN）的圖象與x、y 軸都無(wú)交點(diǎn)，且關(guān)于y 軸對(duì)稱，求m的值，并畫出函數(shù)圖象。解析：因?yàn)閮绾瘮?shù)y=xm-2（mN）的圖象與x、y 軸都無(wú)交點(diǎn)，所以m-20，即m2。又mN，所以m=0，1，2。因?yàn)閮绾瘮?shù)圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱，所以m=0或m=2。當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)為y=x-2，圖象如圖1；當(dāng)m=2時(shí)，函數(shù)為y=x0=1（x0），圖象如圖2。 y o x 圖1 y （此點(diǎn)為虛點(diǎn)） 1 o x 圖2點(diǎn)評(píng)：函數(shù)y=x0=1在x=0處沒(méi)有意義，這點(diǎn)一定不要忽視。五、求參數(shù)的取值范圍例6 已知a+13<3-2a3，求a的取值范圍。解析：a+13和3-2a3