傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式和傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式

1、周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析：以沖激函數(shù)為基本信號(hào)系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)為輸入信號(hào)與系統(tǒng)沖激響應(yīng)之卷積傅立葉分析以正弦函數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)作為基本信號(hào)系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)可表示為一組不同頻率的正弦函數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)信號(hào)響應(yīng)的加權(quán)和或積分；周期信號(hào)：定義在區(qū)間(，)，每隔一定時(shí)間T ,按相同規(guī)律重復(fù)變化的信號(hào)，如圖所示 。它可表示為f (t)=f ( t+mT )其中m為正整數(shù)，T稱為信號(hào)的周期，周期的倒數(shù)稱為頻率。f t周期信號(hào)的特點(diǎn):(1)它是一個(gè)無窮無盡變化的信號(hào)，從理論上也是無始無終的，時(shí) 間范圍為(，)(2)如果將周期信號(hào)第一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)寫成 欣' ,則周期信 號(hào)f (t

2、)可以寫成f(t)f0(t nT)(3)周期信號(hào)在任意一個(gè)周期內(nèi)的積分保持不變，即有a Tb TTf(t)dt f (t)dt f (t)dtab01 .三角形式的傅立葉級(jí)數(shù)T12f i周期信號(hào)f (t),周期為T1 ,角頻率 該信號(hào)可以展開為下式三角形式的傅立葉級(jí)數(shù)。f (t)a0a1 cos(1t)b1sin(it)a2cos(2 t)b2sin( 2 t)an cos(n t)bn sin( n 1t).a0an cos(n t ) bn sin( n t)n 1 a. b式中各正、余弦函數(shù)的系數(shù) n, n稱為傅立葉系數(shù)，函數(shù)通過它可以完全表示。傅立葉系數(shù)公式如下8 / 6aoanbn1

3、 t0Tf (t )dt0Tf (t) cos n t dt0Tf (t )sin n t dt0n 1,2,n 1,2,式中積分可以取任意一個(gè)周期，一般情況下，取(II) (0, T)或 2,2三角形式的傅立葉級(jí)數(shù)還可以寫成下面形式f(t)Cocn cos( n tn 1n)或f (t ) d0 dn sin( n 1tn 1n)兩種形式之間系數(shù)有如下關(guān)系：coaocndnd。i a2b2Xbnarctg - anarctganbnancn cosdnSin nn 1, 2,bncn sindn cOS n2 .指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)利用歐拉公式cos(nt)ejn * e jn *2e

4、jn *ejn 1sin(n it) j 2 一jn I ecos(nt) sin(n t)jn 1cos(n it) j sin( n t)f(t)aoan cos( niit)bn sin( n 1t)aoann iejn ite jn it2e jn i jbn 一ejn彳22(anjbn)ejn2(anjbn)e jnF(n 令：iTi)由歐拉公式i an2 nj bnf (t ) cosn 1t dtf (t) sin n 1t dtF( n令：F(°)f(t )ejn 1t dti2 anbnaof (t) cos nf (t )ej前面的級(jí)數(shù)可展成指數(shù)形式系數(shù)itdti

5、tdtf(t).ijTF(nT° f (t) sin n t dti) ejnitFnF(n i)(：f(t 建 1tdt注意：這里n的區(qū)間為(，),與三角形式不同周期信號(hào)可分解成數(shù)信號(hào)ejn 1t的線性組合。如給出F(n 1),則f t惟一確定。注意：F(n 1)是一個(gè)復(fù)數(shù)，有模和輻角由于F( n i)輻角等于1，一1(an jbn)，其模等于arctg bn an a2 b22在傅立葉三角表示式中：cn；a2b：; n arctg bnan C 可知系數(shù)Fn的模F n 1cn;輻角等于三角表不的初 相角F(n，是一個(gè)隨著頻率(n J變化而變化的復(fù)數(shù)，他唯一地表示了 f (t)在傅立葉級(jí)數(shù)中，無論三角函數(shù)表示還是指數(shù)函數(shù)表示，都是 通過三個(gè)量完整地表示一個(gè)函