平行垂直關(guān)系的證明(例、練及答案)

1、平行垂直關(guān)系的證明（例、練及答案）1.平行關(guān)系的證明A1B1C1D1 的棱 BC , CC1 , C1D1 , AA1例1:如圖，E , F , G , H分別是正方體 ABCD的中點.求證:(1) EG/ 平面 BBDD ;(2)平面 BDF/ 平面 B1D1H .H4,2.垂直關(guān)系的證明例2:如圖，在三柱ABCA1B1C1中，側(cè)AA 底面ABC , M為棱AC的中點.AB=BC ,AC=2 , aa = j2.(1)求證：B1c/平面ABM;(2)求證：AC1 平面A1BM ；(3)在棱BB上是否存在點N ,BN 一使得平面AC1N 平面AAC1C ?如果存在，求此時 的 BB1值；如果不

2、存在，請說明理由練習(xí)、單選題1 平面外有兩條直線m 和 n ，如果 m 和 n 在平面內(nèi)的射影分別是m1 和n1 ，給出下 列四個命題：mi n1m n；m nmi n；6與5相交 m與n相交或重合；與n平行 m 與 n 平行或重合；其中不正確的命題個數(shù)是（）A 1B 2C 3D 42 已知 m 、 n 為兩條不同的直線，、 為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）A.若 l m , l n,且 m, n ，則 lB.若平面內(nèi)有不共線的三點到平面的距離相等，則 /C.若 m , m n ,則 n/D.若 m/ n , n ，則 m3給出下列四種說法：若平面 / ，直線a , b ，則a/ b

3、;若直線a/b,直線a/,直線b/ ,則若平面/ ，直線a ，則a /若直線a/, a/，則/.其中正確說法的個數(shù)為（）A 4 個B 3個C 2 個D 1 個4.已知m、n為兩條不同的直線,為兩個不同的平面， 則下列命題中正確的有（）(1) m , n , mII , n”(2) n/1 m , n m(3) /, m , nmil n(4) m , m n nilA. 0個B. 1個C. 2個D. 35.如圖，在正方體ABCD ABGD中，M, N, P分別是GDi, BC, Ad的中點，則下列命題正確的是（）A.C.MN II APB. MN/BD1MN II 平面 BBDDD. MN /

4、 平面 BDP6.已知m, n是兩條不同的直線， 是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若， 垂直于同一平面，則 與 平行B.若m, n平行于同一平面，則 m與n平行C.若， 不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線D.若m, n不平行，則 m與n不可能垂直于同一平面7 .已知m, n是兩條不重合的直線， 是三個兩兩不重合的平面，給出下列四個命題：若m , m ，則/；若 ， ，則/;若m若m, n是異面直線,m” , n , nII ，則.其中真命題是（）A.和B.和C.和D.和8 .如圖，正方體的棱長為 1,線段AiCi上有兩個動點 E, F ,且EF 2 ;則下列結(jié)論錯誤的是（）.A. B

5、D CEB. EF / 平面 ABCDC.三棱錐E FBC的體積為定值D. ABEF的面積與4CEF的面積相等9.如圖所示,AB是圓O的直徑,VA垂直于圓O所在的平面，點C是圓周上不同于 A B的任意一點， M, N分別為VA, VC的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A. MN/ ABB. MN與BC所成的角為45C. OC 平面 VACD,平面 VAC 平面VBC底面ABCi ,底面三角形 ABCi是正三角10.如圖，在三棱柱 ABC ABiCi中，側(cè)棱AA形，E是BC中點，則下列敘述正確的是（）AiA. CCi與Bi E是異面直線B. AC 平面 ABBA若mi/ n , m ，則n ;若m/

6、,則mC. AE, BG為異面直線且 AE BiCiD.ACi / 平面 AB E11.設(shè)E, F分別是正方體 ABCD ABiCiDi的棱DC上兩點，且 AB 2, EF列四個命題:DiBi平面三棱錐Di BiEF的體積為定值；異面直線DiBi與EF所成的角為45 ;區(qū)BEF ;直線DiBi與平面BiEF所成的角為60 .其中正確的命題為（）A.B.C.D.i2.如下圖，梯形 ABCD 中，AD/BC, AD AB i, ADAB,BCD 45沿對角線BD折起.設(shè)折起后點 A的位置為 A ,并且平面ABD平面BCD.,將 AABD給出下面四個命題:平面A BD ;A D BC ;三棱錐 A

7、BCD的體積為32 ;CD平面 ABC 平面ADC .其中正確命題的序號是（）A.彩B.C.D.二、填空題i3.設(shè) m,n是兩條不同的直線,是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（填序號）若m/,n/ ，貝 U m/ n ；若mi/,mi/,則14 . 一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論AB EF ;AB與CM所成的角為60 ;EF與MN是異面直線； MN II CD.以上四個命題中，正確命題的序號是 .15 .若四面體 ABCD的三組對棱分別相等，即 AB CD, AC BD, AD BC ,給出下列結(jié) 論：四面體ABCD每組對棱相互垂直；四面體ABCD每個面的面積相等；

8、從四面體ABCD每個頂點出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大90而小于180 ;連接四面體 ABCD每組對棱中點的線段相互垂直平分.其中正確結(jié)論的序號是.（寫出所有正確結(jié)論的序號）16 .如圖，一張矩形白紙 ABCD, AB 10, AD 10V 2 , E, F分別為 AD, BC的中點,現(xiàn)分別將4ABE , ACDF沿BE, DF折起，且A、C在平面BFDE同側(cè)，下列命題正確的 是 （寫出所有正確命題的序號）.當(dāng)平面 ABE/平面CDF時，AC/平面BFDE當(dāng)平面 ABE/平面CDF時，AE/ CD當(dāng)A、C重合于點P時，PG PD當(dāng)A、C重合于點P時，三棱錐P DEF的外接球的表面積為 150三、解

9、答題17 .如圖，四棱錐 P ABCD 中， AB AD 2BC 2, BC/ AD , AB AD , 4PBD 為 正三角形.且PA 2技(1)證明：平面 PAB 平面PBC;(2)若點P到底面 ABCD的距離為2, E是線段PD上一點，且 PB/平面ACE,求四面體A CDE的體積.18 .如圖，四邊形 ABCD 為正方形，EA 平面 ABCD , EF/AB , AB 4 , AE 2 , EF 1 .(1)求證：BC AF ;1 一(2)若點 M在線段 AC上，且滿足 CM -CA,求證：EM/平面FBC ;4(3)求證：AF 平面EBC .參考答案1 .【答案】（1）見解析；（2）

10、見解析.【解析】證明（1）如圖，取BDi的中點O,連接GO, OB,一 ,1, _ ,因為OG/ B1C1 /BE ,所以BE /OG ,所以四邊形 BEGO為平行四邊形，故=2因為OB 平面BB1D1D, EG 平面BBD1D ,所以EG/平面BBDD .（2）由題意可知BD/ 連接HB, RF ,因為BH幺DF ,所以四邊形 HBFD1是平行四邊形，故 HD/ BF又 BD1I HD產(chǎn)D1，BD I BF=B，所以平面 BDF/ 平面 BDH .12 .【答案】1見解析；2見解析；3存在，-.2【解析】（1）證明：連接 AB,與AB,兩線交于點 O ,連接OM .OB/ EG ,在ABAC

11、中，: M, O分別為AC, AB,的中點，OM/BC,又 OM 平面 ABM , B1C 平面 ABM，.- 8C/平面 ABM .(2)證明：.側(cè)棱 AA 底面 ABC, BM 平面ABC, AA BM ,又 M 為棱 AC 的中點，AB=BC, BM AC .AC1AA I AC=A, AA , AC 平面 ACGA， BM 平面 ACGA， ''' BMAC=2 , AM=1 ,又. AA1=&, .在 RtACG 和 RtAAAM 中，tan AC1C tanA1MA 五,AGC= AMA ,即 AGCC1ACAMA C1AC 90 , AM AG B

12、M I AM M , BM , AM平面 ABM ,二. AG 平面 ABM .BN 1 . 一一(3)解：當(dāng)點N為BB的中點，即 EN 1時，平面ACiN 平面AACiCBB12證明如下:設(shè)ACi的中點為D ,連接DM , DN , D , M分別為ACi , AC的中點，DM II CG ,一 1 八且 DM -CC1 ,又. N 為 BR 的中點，DM II BN ,且 DM四邊形BNDM為平行四邊形， BM II DN , BM 平面 ACCiA , DN 平面 AAGC .又二 DN平面ACiN ,ABCD ABCiDi 中:平面AGN平面AAC1C.練習(xí)答案一、單選題I .【答案】

13、D【解析】結(jié)合題意逐一分析所給的四個說法，在如圖所示的正方體對于說法：若取平面為ABCD, mi , ni分別為AC, BD , m, n分別為AC, BQ,滿足mi ni ,但是不滿足 m n,該說法錯誤；對于說法：若取平面為ADDiA , mi, ni分別為ADi, ADi , m, n分別為AiG, BDi ,滿足m n，但是不滿足 mi n1,該說法錯誤；對于說法：若取平面為ABCD, mi, ni分別為AC, BD , m, n分別為AG, BDi,滿足mi與ni相交，但是m與n異面，該說法錯誤；對于說法：若取平面為ADDA ,mi、ni分別為ADi, AD , m、n分別為AiCi

14、, BC，滿足m與ni平行，但是 m 與 n 異面，該說法錯誤；綜上可得：不正確的命題個數(shù)是4本題選擇D 選項2 【答案】D【解析】對于選項A ,若l m , l n ,且m, n ，則l不一定垂直平面，: m有可能和 n 平行，該選項錯誤；對于選項B ， 若平面內(nèi)有不共線的三點到平面的距離相等，則 、 可能相交或平行，該選項錯誤；對于選項C,若m , m n,則n有可能在平面內(nèi)，該選項錯誤；對于選項D,由于兩平行線中有一條垂直平面，則另一條也垂直平面，該選項正確，故答案為D 3 【答案】D【解析】若平面H ,直線a , b ，則a, b可異面；若直線a/ b ,直線all ,直線b/ ,則，

15、 可相交，此時a, b平行兩平面的交線；若直線all , a/ ，則，可相交，此時a, b平行兩平面的交線；若平面 /,直線a ，則必?zé)o交點，即a /;故選D.4 【答案】B【解析】由m , n , mi/ , n/ ，若a, b相交，則可得 / ，若a/Zb,則 與可能平行也可能相交，故（i ）錯誤；若m/ n , n根據(jù)線面垂直的第二判定定理可得m ，故（2）正確；若/ , m , n，則m/1 n或m, n異面，故（3）錯誤；若m, m n ,則n/ 或n ，故（4）錯誤；故選B.5 【答案】C【解析】A: MN和AP是異面直線，故選項不正確；B ： MN 和 BDi 是異面直線，故選項

16、不正確；C:記 ACI BD O. 正方體 ABCD AB1GD1 中，M, N 分別 C1D1, BC 是的中點,1ON II D1M II CD , ON DIM -CD ,. MNOD1為平行四邊形， MN II OD1， 2 MN 平面 BD1D, OD1 平面 BD1D ,MN/平面 BD1D .D：由C知MN/平面B0D1D ,而面B0D1D和面BDP相交，故選項不正確；故選 C.6 .【答案】D【解析】 垂直于同一平面的兩平面相交或平行，A不正確；平行于同一平面的兩直線可相交、平行或異面，B不正確；平面不平行即相交，在一個平面內(nèi)平行兩平面交線的直線與另一平面平行，C不正確;D為直

17、線與平面垂直性質(zhì)定理的逆否命題，故D正確.故選D.7 .【答案】D【解析】逐一考查所給的命題：由線面垂直的性質(zhì)定理可得若m , m ，則,命題正確;如圖所示的正方體 ABCD ABiCiDi中，取平面，分別為平面ABBA, ADDA, ABCD ,滿足 ， ，但是不滿足 /,命題錯誤；如圖所示的正方體 ABCD AB1C1D1中，取平面 ， 分別為平面 ABBA, ADDiA , 直線m, n分別為BB|, DD ,滿足m , n , m/ n ,但是不滿足 /,命題錯誤;若m, n是異面直線， m,m/ , n , n/,由面面平行的性質(zhì)定理易知命題正確;綜上可得，真命題是和，本題選擇D選項

18、.8 .【答案】D【解析】 在正方體 ABCD ABGDi中，BD 平面AACG ,而CE 平面AACG，故BD CE ,故A正確.又AG II平面ABCD ,因此EF /平面ABCD ,故B正確.當(dāng)EF變化時，三角形CEF的面積不變，點B到平面CEF的距離就是B到平面ACCG的距離，它是一個定值，故三棱錐E FBC的體積為定值（此時可看成三棱錐 B CEF的體積）， 故C正確.在正方體中，點 B到EF的距離為 號,而C到EF的距離為1, D是錯誤的，故選 D.9 .【答案】D【解析】對于A項，MN與AB異面，故A項錯；對于B項，可證BC 平面VAC,故BC MN ,，所成的角為90 ,因此B

19、項錯；對于C項，OC與AC不垂直，OC不可能垂直平面 VAC ,故C項錯；對于D項，由于BC AC, VA 平面ABC, BC 平面ABC , . . VA BC ,AC I VA=A , BC 平面 VAC , BC 平面 VBC,平面 VAC 平面 VBC ,故選 D.10 .【答案】C【解析】對于A項，CCi與BiE在同一個側(cè)面中，故不是異面直線，A錯；對于B項，由題意知，上底面是一個正三角形，故 AC 平面ABBA不可能，B錯；對于C項，= AE, BG為在兩個平行平面中且不平行的兩條直線，故它們是異面直線，.C正確；對于D項，AG所在的平面與平面 ABiE相交，且ACi與交線有公共點

20、，故AC1 II平面AB1E不正確，二. D項不正確；故選 C.11 .【答案】A【解析】由題意得，如圖所示,3S*A Di EF B1ciVBi DiEF中，三棱錐的體積的為Vdi biEF積為定值;中，在正方體中，EF/CiDi ,，異面直線DiB與EF所成的角就是直線DiB與CiDi所成的角,即B1D1C1 45 ,這正確的;中，由可知，直線DiBi與EF不垂直，DiBi面BEF不成立，是錯誤的;中，根據(jù)斜線與平面所成的角，可知DiBi與平面BiEF所成的角，即為BDiCi 45 ,，不正確.12 .【答案】B【解析】: BAD 90, AD AB,， ADB ABD 45 ,. AD/

21、 BC, BCD 45 , BD DC ,.平面 ABD 平面BCD,且平面 ABDI平面BCD BD , CD 平面A BD , AD 平面ABD,，CD AD,故AD BC不成立，故錯誤；,上，八一八一 ，i i 22 2一梭錐A BCD的體積為 -J2 J2 ,故鎬證； 3 226由知CD 平面ABD,故正確；由知CD 平面ABD,又AB 平面ABD,，CD AB,又 AB AD,且 AD、CD 平面 ADC, AD I CD D ,AB 平面A DC,又AB 平面ABC,平面ABC 平面ADC ,故正確.故選 B.、填空題13.【答案】【解析】m/ , n/ ，則m/In, m與n可能

22、相交也可能異面，不正確;m/ , mH ，則/ ,還有 與 可能相交，二不正確；mil n , m，則n,滿足直線與平面垂直的性質(zhì)定理，故正確；mi/, ，則m ,也可能m/,也可能m I A,不正確；故答案為.14【答案】【解析】把正方體的平面展開圖還原成原來的正方體，如圖:則AB EF , EF與MN異面，AB/ CM , MN CD ,只有正確.故答案為.15.【答案】【解析】將四面體ABCD的三組對棱分別看作平行六面體的對角線，由于三組對棱分別相等，平行六面體為長方體.由于長方體的各面不一定為正方形，-1同一面上的面對角線不一定垂直，從而每組對棱不一定相互垂直.錯誤；四面體ABCD的每

23、個面是全等的三角形，面積是相等的.正確；由，四面體 ABCD的每個面是全等的三角形，從四面體ABCD每個頂點出發(fā)的三條棱兩兩夾角能夠等量代換為同一個三角形內(nèi)的三個內(nèi)角，它們之和為180 .錯誤； 連接四面體 ABCD每組對棱中點構(gòu)成菱形，線段互垂直平分正確，故答案為.16【答案】【解析】 在4ABE中，tan ABE,在 AACD 中, 22tan CAD ,2ABE DAC ,由題意，將 AABE, CDF 沿 BE, DF 折起, 且A, C在平面BEDF同側(cè)，此時A C, G, H四點在同一平面內(nèi)，平面 ABE I平面AGHC AG ,平面CDF I平面AGHC CH ,當(dāng)平面ABE/平面CDF時，得到AG/CH ,顯然AG CH，.二四邊形AGHC是平行四邊形，AC/ GH ,進(jìn)而彳#到AC/平面BFDE , 正確的; AE與CD不平行，錯誤的;22210 , PG PD GD ,由于折疊后，直線 AE與直線CD為異面直線，折疊后，可得PG 10叵，PD 10,其中GD3PG和PD不垂直，不正確;當(dāng)A,C重合于點P時，在三棱錐PDEF中，4EFD和4FCD均為直角三角形, DF為外接球的直徑，即DF5.62150 ,是正確,BD 2。2 ,則三棱錐P DEF的外接球的表面積為 4 R2 4綜上正確命題的序號