直角三角形中的成比例線段(射影定理)

1、原來(lái)學(xué)好數(shù)學(xué)，原來(lái)學(xué)好數(shù)學(xué)，一點(diǎn)都不難！一點(diǎn)都不難！使學(xué)生了解射影的概念，掌握射影使學(xué)生了解射影的概念，掌握射影定理及其應(yīng)用。定理及其應(yīng)用。直角三角形中的比例線段定理在證題直角三角形中的比例線段定理在證題和實(shí)際計(jì)算中有較多的應(yīng)用和實(shí)際計(jì)算中有較多的應(yīng)用。你知道嗎你知道嗎？例例2證法有一定的技巧性。證法有一定的技巧性。1.已學(xué)習(xí)了相似三角形的判定及直角三角形相似的判定方法。今天我已學(xué)習(xí)了相似三角形的判定及直角三角形相似的判定方法。今天我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)直角三角形的特性。們進(jìn)一步學(xué)習(xí)直角三角形的特性。在在Rt 中，中， =90 ,有有_.ABCC222ABBCAC(1)一銳角相等一銳角相等 (2)任意

2、兩邊對(duì)應(yīng)任意兩邊對(duì)應(yīng) 成比例成比例. 大家先回憶一下：大家先回憶一下：CADB已知直角三角形已知直角三角形ABC，CD垂直垂直AB問(wèn)：?jiǎn)枺?圖中有幾個(gè)圖中有幾個(gè)Rt? 2有幾對(duì)相似？有幾對(duì)相似？ 3CD =？ AC =？ BC =？ 222ADDBADABBDBA求證：求證：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。角形相似。ADBC已知：在已知：在RtABC中，中，CD是斜是斜AB上的高。上的高。求證：求證：ABCACDCBD 。 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。三角

3、形和原三角形相似。ADBC已知：在已知：在RtABC中，中，CD是斜邊是斜邊AB上的高。上的高。證明證明: A=A，ADC=ACB=900此結(jié)論可以稱為此結(jié)論可以稱為“”,今后可以直接使用今后可以直接使用. ACDABC（兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似）（兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似）同理同理 CBD ABC ABCCBDACD求證：求證：ABCACD CBD 如圖，如圖， .,90ABCDCABC中，由母子相似定理，得由母子相似定理，得ADCACB推出：推出：CADABCCDABAC所以：所以：DAABAC2CADB同理，得：同理，得：CDBDBABCBABCBCBDBACCDACB2ACDA

4、DBDCDCDADBDCDCBACCBD2CADB是高，則有中，在CDABCRt AC是是AD,AB的比例中項(xiàng)。的比例中項(xiàng)。BC是是BD,AB的比例中項(xiàng)。的比例中項(xiàng)。CD是是BD,AD的比例中項(xiàng)。的比例中項(xiàng)。那么那么AD與與AC，BD與與BC是什么關(guān)系呢？是什么關(guān)系呢？這節(jié)課，我們先來(lái)學(xué)習(xí)射影的概念。這節(jié)課，我們先來(lái)學(xué)習(xí)射影的概念。1.射影射影： （1）太陽(yáng)光垂直照在太陽(yáng)光垂直照在A點(diǎn)，留在直線點(diǎn)，留在直線MN上的影子上的影子應(yīng)是什么？應(yīng)是什么？ （2）線段留在線段留在MN上的影子是什么？上的影子是什么？A定義：定義：過(guò)線段過(guò)線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別作直線的兩個(gè)端點(diǎn)分別作直線l的垂線，的垂線，垂

5、足垂足A，B之間的線段之間的線段AB叫做線段叫做線段AB在在直線直線l上的上的正射影正射影，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱射影射影。ABABlAMN.BB1.射影射影 點(diǎn)在直線上的正射影點(diǎn)在直線上的正射影 從一點(diǎn)向一直線所引垂線的垂從一點(diǎn)向一直線所引垂線的垂足，叫做這個(gè)點(diǎn)在這條直線上的正射影。足，叫做這個(gè)點(diǎn)在這條直線上的正射影。 一條線段在直線上的正射影一條線段在直線上的正射影 線段的兩個(gè)端點(diǎn)在這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)在這條直線上的正射影間的線段。直線上的正射影間的線段。A AANMNMABA B 點(diǎn)和線段的正射影簡(jiǎn)稱點(diǎn)和線段的正射影簡(jiǎn)稱射影射影討論：討論：1線段在直線上的射影結(jié)果線段在直線上的射影結(jié)果點(diǎn)或線段點(diǎn)或線段

6、2直線在直線上的射影結(jié)果直線在直線上的射影結(jié)果點(diǎn)或直線點(diǎn)或直線各種線段在直線上的射影的情況：各種線段在直線上的射影的情況：ABABlAABBllAABB如圖如圖,CD是是 的斜邊的斜邊AB的高線的高線ABCRt 這里這里:AC、BC為直角邊，為直角邊，AB為斜邊，為斜邊，CD是斜邊上的高是斜邊上的高AD是直角邊是直角邊AC在斜邊在斜邊AB上的射影上的射影,BD是直角邊是直角邊BC在斜邊在斜邊AB上的射影。上的射影。CADBABADAC2ABBDBC2DBADCD2由復(fù)習(xí)得：由復(fù)習(xí)得：CADB用文字如何敘述？用文字如何敘述？ 直角三角形中的成比例線段直角三角形中的成比例線段直角三角形中直角三角形

7、中,斜邊上的高線是兩條斜邊上的高線是兩條直角邊在斜邊上的射影的比例中項(xiàng)直角邊在斜邊上的射影的比例中項(xiàng),每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)影和斜邊的比例中項(xiàng).這就是射影定理這就是射影定理 ABADAC2DBADCD2ABBDBC2CADB1直角三角形中直角三角形中,斜邊斜邊 上的高線是兩條直角上的高線是兩條直角 邊在斜邊上的射影的邊在斜邊上的射影的 比例中項(xiàng)比例中項(xiàng);2每一條直角邊是這每一條直角邊是這 條直角邊在斜邊上的條直角邊在斜邊上的 射影和斜邊的比例中射影和斜邊的比例中 項(xiàng)項(xiàng);CADB具體題目運(yùn)用：具體題目運(yùn)用：ACBCCDAB根據(jù)應(yīng)

8、用選取相應(yīng)的乘積式。根據(jù)應(yīng)用選取相應(yīng)的乘積式。ABADAC2ABBDBC2DBADCD2利用射影定理證明勾股定理利用射影定理證明勾股定理:222ABABBDABADBCAC射影定理只能用在射影定理只能用在直角三角形直角三角形中中,且必須且必須有有斜邊上的高斜邊上的高CADB這里犯迷糊，可，可不行！不行！利用射影定理證明勾股定理利用射影定理證明勾股定理:222ABABBDABADBCAC利用勾股定理證明射影定理利用勾股定理證明射影定理:CADBAB =(ADDB) =AD 2AD DB DBAC BC =AB AC AD =CDBC BD =CD2222222222222探究：探究：ABC是直角

9、三角形，是直角三角形，CD為斜邊為斜邊AB上的高。你能從射上的高。你能從射影的角度來(lái)考察影的角度來(lái)考察AC與與AD，BC與與BD等的關(guān)系。你能發(fā)現(xiàn)這些等的關(guān)系。你能發(fā)現(xiàn)這些線段之間的某些關(guān)系嗎？線段之間的某些關(guān)系嗎？ABDC.90,9000BCDBBCDACDBACDCBDACDBDCDCDAD)1 (2BDADCD即CBDRtACDRt和考察BCARtBDCRt和考察,是公共角BBCACDA由同理 ,ABBCBCBD)2(2ABBDBC即)3(2ABADAC有BCABDC射影定理射影定理 直角三角形斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上射影直角三角形斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；兩直

10、角邊分別是它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的比例的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的比例中項(xiàng)。中項(xiàng)。2CDAD BD 2BCBDAB 2ACADAB ABDC用勾股定理能證明嗎用勾股定理能證明嗎?AB=AC+BC(AD+BD)=AC+BC即即2ADBD=AC-AD+BC-BDAC-AD=CD，BC-BD=CD2ADBD=2CD CD= ADBD而而AC=AD+CD=AD+ADBD=AD(AD+BD)=ADAB同理可證得同理可證得BC= BDAB總結(jié)總結(jié)： 已知已知“直角三角形斜邊上的高直角三角形斜邊上的高”這一基本這一基本圖形中的六條線段中的任意兩條線段，就可圖形中的六條線段中的任意兩條線

11、段，就可以求出其余四條線段，有時(shí)需要用到方程的以求出其余四條線段，有時(shí)需要用到方程的思想。思想。ABDC1.ABDC直角直角ABC中已知中已知:CD=60 AD=25 求：求：BD,AB,AC,BC的長(zhǎng)的長(zhǎng)BD=144,AB=169,AC=65,BC=156如圖如圖,若若AD=2cm,DB=6cm,求求CD，AC,BC的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。例例1解解:答答:CD,AC,BC的邊長(zhǎng)分別為的邊長(zhǎng)分別為cmcmcm34,4,32CADB分析：利用射影定理和勾股定理分析：利用射影定理和勾股定理;3212,12622cmCDDBADCD;416,166222cmACABADAC.3448,486262cmBCAB

12、BDBC(1)在在 中中,CD為斜邊為斜邊AB上的高上的高,圖中共有圖中共有6條線段條線段ABCRtAC,BC,CD,AD,DB,AB已知任意兩條已知任意兩條,便可求出其余四條便可求出其余四條.(2)射影定理中每個(gè)乘積式中射影定理中每個(gè)乘積式中,含三條線段含三條線段,若已知兩條若已知兩條 可可 求第三條求第三條.(3)解題過(guò)程中解題過(guò)程中,注意和勾股定理聯(lián)系注意和勾股定理聯(lián)系,選擇簡(jiǎn)便方法選擇簡(jiǎn)便方法.你都弄懂了嗎？你都弄懂了嗎？ABCDEABABC【選擇題選擇題】1、已知直角三角形中，斜邊AB=5cm,BC=2cm，D為AC上的一點(diǎn)，交AB于E，且AD=3.2cm，則DE= （ ）A、1.2

13、4cm B、1.26cm C、1.28cm D、1.3cm2、如圖1-1，在Rt中，CD是斜別AB 上的高，在圖中六條線段中，你認(rèn)為只要知道（ ）線段的長(zhǎng)，就可以求其他線段的長(zhǎng). A、1B、2C、3 D、43.如圖，已知線段如圖，已知線段a,b.求作線段求作線段a和和b的比例中項(xiàng)。的比例中項(xiàng)。ab射影定理的推廣及應(yīng)用射影定理的推廣及應(yīng)用射影定理是平面幾何中一個(gè)很重要的性質(zhì)定理，盡管義務(wù)教材中沒(méi)有列入，但在幾何證明及計(jì)算中應(yīng)用很廣泛，若能很好地掌握并靈活地運(yùn)用它，?？扇〉绞掳牍Ρ兜男Ч?。一般地，若將定理中的直角三角形條件非直角化，亦可得到類(lèi)似的結(jié)論（這里暫且稱之為射影定理的推廣），而此結(jié)論又可作

14、為證明其它命題的預(yù)備定理及聯(lián)想思路，熟練地掌握并巧妙地運(yùn)用，定會(huì)在幾何證明及計(jì)算“山窮水盡疑無(wú)路”時(shí)，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。下面結(jié)合例子從它的變式推廣上談?wù)勂鋺?yīng)用。一、射影定理一、射影定理射影定理射影定理直角三角形斜邊上的高是它分斜邊所得兩條線段的比例中項(xiàng)；且每條直角邊都是它在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。 如圖（）：t中，若為高，則有DAD、或。（證明略）二、變式推廣二、變式推廣逆用逆用如圖（）：若中，為高，且有或或，則有或，均可等到為直角三角形。（證明略）一般化一般化，若不為直角三角形，當(dāng)點(diǎn)滿足一定條件時(shí)，類(lèi)似地仍有部分結(jié)論成立。簡(jiǎn)稱：射影定理變式（2）如圖（）：中，D為上一點(diǎn)，若

15、，或，則有，可得AB；反之，若中，為上一點(diǎn)，且有，則有，可得到，或。（證明略）361圖圖ACBD.:.,36122是直角三角形求證且邊上的射影為在頂點(diǎn)中如圖ABCBDADCDDABCABC.,090BDCCDAABCDDABCBDCCDA因而所以上的射影為在點(diǎn)因?yàn)橹泻驮谧C明即又因?yàn)?DBADCD2.BDCCDA所以.BCDCAD故.:DBCDCDAD所以因?yàn)橹性?,090ACDCADACD090ACDBCD,090ACBACDBCD則.是直角三角形因此ABCDEAM2224abDEab如圖3-2，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，M是BC的中點(diǎn)，E是垂足，求證： RtAMBRtADEAMBD

16、AE 90ABMAED RtAMBRtADEABAMDEAD證明：在和中，所以所以，因?yàn)锳B=a，BC=b，所以 2222244AB ADa babDEAMbaba4 如圖，在如圖，在ABC中，中，CDAB于于D， DFAC于于F，DGBE于于G。 求證：求證：CF AC = CG BC證明：證明：CDAB，DF AC CDFCAD CFCD=CDAC CD 2 =CFAC 同理可證同理可證 CD2 =CGBC CFAC=CGBC CEFFBCDF:, 求證于例例1. 如圖如圖,在在 中中,ABC,EACDEDABCD于于.CBA分析分析:欲證欲證 CEF.CBA公共角ECFACB已具備條件已

17、具備條件要么找角要么找角, 要么找邊要么找邊.CACFCBCECEADFB CEFBCFEA或證法一證法一：例例2. 如圖如圖,在在 中中,ABC,EACDEDABCD于于.CBACEFFBCDF:, 求證于ACDEABCDCACECD2BCDFABCDCBCFCD2CBCFCACECACFCBCEBCAECF.CBACEFCEADFB如圖中共有如圖中共有6 6條線段，已知任意條線段，已知任意2 2條，求其條，求其余線段。余線段。運(yùn)用射影定理時(shí)，注意前提條件運(yùn)用射影定理時(shí)，注意前提條件CADB求邊注意聯(lián)系方程與勾股定理求邊注意聯(lián)系方程與勾股定理直角三角形兩銳角互余直角三角形兩銳角互余勾股定理勾

18、股定理直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半直角三角形中，直角三角形中，30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半及其逆定理。及其逆定理。 射影定理射影定理（由面積得）（由面積得）兩直角邊積等于斜邊上的高與斜邊的積兩直角邊積等于斜邊上的高與斜邊的積直角三角形斜邊上的高線分成的兩直角三角形與原三角直角三角形斜邊上的高線分成的兩直角三角形與原三角形相似（母子相似定理）形相似（母子相似定理）這節(jié)課的知識(shí)，這節(jié)課的知識(shí)，你都聽(tīng)懂了嗎？你都聽(tīng)懂了嗎？總結(jié)總結(jié)： 1、知識(shí)知識(shí)：學(xué)習(xí)了直角：學(xué)習(xí)了直角 三角形中重要的比例式和比三角形中重要的比例式和比例中項(xiàng)的表達(dá)式例中項(xiàng)的表達(dá)式射影定理。射影定理。 2、方法方法：利用射影定理的基本圖形求線段和證明：利用射影定理的基本圖形求線段和證明線段等積式。線段等積式。 3、能力能力：會(huì)從較復(fù)雜的圖形中分解出射影定理的：會(huì)從較復(fù)雜的圖形中分解出射影定理的基本圖形的能力?；緢D形的能力。 4、數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)思想：方程思想和轉(zhuǎn)化思想。：方程思想和轉(zhuǎn)化思想。1.從特殊到一般的思考方法從特殊到一般的思考方法.數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)方法: 在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),通過(guò)通過(guò)考察特殊性問(wèn)題獲得考察特殊性問(wèn)題獲得一般規(guī)律的猜想一般規(guī)律的猜想,并從中并從中得到證明一般