微積分(上)期末考試試題A卷(附答案)

1、、選擇題(選出每題的正確選項，每題2分，共計10 分)12x1. limx 0(A )(B )+(C) 0(D) 不存在2.當x0時,f(x) x1的極限為x(A ) 03.以下極限存在,(A) lim ©x 0(B )1那么成立的是_x) f(a)x(C ) 2(D)不存在f (a)(B)f (x0 t) f(X° t)(C) limt 02f (xo).f(tx) f(0)limtf (0)x 0 xf(x) f (a)(D) limf x 0 a x4 設f (x)有二階連續(xù)導數(shù)，且f (0)0,lim0x 0f (x)1,那么f 0是f (x)的(A )極小值(B

2、)極大值(C )拐點(D)不是極值點也不是拐點5.假設f (X) g (x),那么以下各式成立。(A) f(x) (x)0(B) f(x) (x)C(C) df(x) d (x)dd(D)f(x)dx(x)dxdxdxx1，那么曲線yf(x)在原點處的二、填空題(每題3分，共18分)1.設f(x)在x 0處可導，f(0)0.且 lim 也 x 0 sinx切線方程是2 .函數(shù)f(X) x 3x在區(qū)間0 ,3上滿足羅爾定理,那么定理中的3.1設f (x)的一個原函數(shù)是,那么f (x)dxln x4.設 f (x) xe x,那么2階導函數(shù)f(X)在x點取得極值。5.設某商品的需求量Q是價格P的函

3、數(shù)5 2、P，那么在P = 4的水平上，假設價格下降1%，需求量將X 1 ,且 f (u) x 16假設 y f (u),Udx三、計算題(每題6分，共42分)：11、求 lim(lnx)帀x e2、Iim【(1 x)ex xx3、 設x時，無窮小量 一廠 ,求常數(shù)a、b、c.ax 2x c 1 bx1 .4、dx(x 2).x 15、In (exx e2)dxxcosx ,6、3dxsin x7、設函數(shù)f(x)具有二階導數(shù)，且f (0) =0,又g(x)f (0)f(x)xx 0，求 g (x) ox 0四、(8分)假設某種商品的需求量Q是單價P (單位元)的函數(shù)：Q=1200-8P商品的總

4、本錢C是 需求量Q的函數(shù)：C=2500+5Q(1) 求邊際收益函數(shù)和邊際本錢函數(shù)；(2) 求使銷售利潤最大的商品單價。2x 1五、(12分)作函數(shù)y 2x :的圖形(x 1)2六、證明題(每題5分，共計10分)1、設函數(shù)f (x)在a,b上連續(xù)，且f (x)在(a, b)內是常數(shù)，證明f(x)在a,b上的表達式為f (x) Ax B,其中A、B為常數(shù)2、設函數(shù)f (x)在0,)上可導，且f (x) k 0, f (0)0.證明f(x)在(0,)內僅有一個零點。?微積分?上期末考試試卷答案A一、選擇題選出每題的正確選項，每題2分，共計10分 1. C;二、填空題1.2. D;(每題3分,1y 2

5、x3.B C; 4.A;共18分)5.B C.X=2,極小值二、計算題每題6分,3.共42分:.上升2%1-T- C x ln -6 .虬dx解：令y1ln(ln x) ln x1(ln x)帀，那么 In y -1lim x 01 ln -ln(ln x)limx1xl n x = 1 0 11-13、lim(1X1x)exx解：原式=limx(1x1)e x1limx3、設x1ex1ex1lim(1x1e;)時，無窮小量rax 2- c亂,求常數(shù)a、b、c.2,ax解：由 -bx 1得a=0, b=-2, c取任意實數(shù)。4 解：dx(-2)dx 11 (x 1)卜 ddx1arctg x

6、1 C5、解 ln®2)dxln(exx2)deX . z Xln(e 2)dx26、解:xcosx ,3 dx sin xxxIn (e2)2exdxxxe ln (e2)1X2-l n(ex 2) C21v/ x1(e )ln(e2)x C2211xd2分2分sin2 x '亍 csc xdx 2 分2 sin x1 -ctgx C 2 sin1 (x 1) xf (0)7、設函數(shù)f(x)具有二階連續(xù)導數(shù)，且f (0) =0,又g(x)f(x)x求 g (x)解：當x0時,g(x) xf(x)2f(x)，這時 g(x)連續(xù)0時,g(0) li叫02xf(x) xf (0)

7、xf所以g (x)(X) f(x)2x1-f (0),2x20,0.limf(x) f(0)1x 02x丁(。)亠分的函數(shù):Q=12OO-8P商品的總本錢C是四、(8分)假設某種商品的需求量Q是單價P (單位元) 需求量Q的函數(shù)：C=2500+5Q(3) 求邊際收益函數(shù)MR和邊際本錢函數(shù)MC；(4) 求使銷售利潤最大的商品單價。解：(1)MR PQ 1200P 8P2,MC 5;3分(2)利潤函數(shù)L(P) PQ C8P2 1240P 8500, 1 分155 令 L(P) 16P 1240 0得 P= ,2唯一駐點，又L (p)160,2分P=155/2時利潤最大。2分2x 1五、(12分)作

8、函數(shù)y 2X '的圖形(X 1)答案：(1)定義域是,11,x 1是間斷點(2)漸近線因limx2x(x11)35(4)選點當x時，y=0;當x時,y=8;當x=2時,y=3;當x=3時，y1分 240,故y=0為水平漸近線因lim2x1故x=1為垂直漸近纟線(x1)2J HA A1 yjJbLWI(3)單調性、極值、凹凸及拐點'2x 人y亍，令y 0,得x=0(x 1)0,得x4x 2(x 1)4再列表x(<2)12(右。)0(0,1)1(1,)Iy011y0y拐占八、J間 斷 占 八、1 9f (0)1是極小值；拐點是( 一，)6分2 8描點作圖略2分六、證明題(每題5分，共計10分)1、設函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，且f (x)在(a,b)內是常數(shù)，證明f (x)在a,b上的表達式為f(x) Ax B,其中A、B為常數(shù)。證明：設f (x) k,在(a，b)內任取一點x，在區(qū)間a，x上由拉格朗日中值定理有：f (x) f (a) f ( )(a x) k(a x) a x2 分那么 f (x) kx ka f (a) Ax B (其中 A k, B ka f (a)2 分當x=a時，上式也成立。1 分2、設函數(shù)f (x)在0,)上可導，且f (x) k 0, f (0)0.證明f(x)