武大數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)：多目標(biāo)決策模型：層次分析法(AHP)、代數(shù)模型、離散模型

1、層次分析法建模 層次分析法（AHP - Analytic Hierachy process -多目標(biāo)決策方法70年代由美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家 T L Satty提出的，是一種定性與定量分析相結(jié)合的多目標(biāo)決策 分析方法論。吸收利用行為科學(xué)的特點(diǎn)，是將決策者的經(jīng)驗(yàn)判斷給予量化，對(duì)目標(biāo)（因素）結(jié) 構(gòu)復(fù)雜而且缺乏必要的數(shù)據(jù)情況下，探用此方法較為實(shí)用，是一種系統(tǒng)科學(xué)中，常用的一種系 統(tǒng)分析方法，因而成為系統(tǒng)分析的數(shù)學(xué)工具之一。 傳統(tǒng)的常用的研究自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的方法有：機(jī)理分析方法：利用經(jīng)典的數(shù)學(xué)工具分析觀察的因果關(guān)系；統(tǒng)計(jì)分析方法：利用大量觀測(cè)數(shù)據(jù)尋求統(tǒng)計(jì)規(guī)律，用隨機(jī)數(shù)學(xué)方法描述（自然現(xiàn)象、 社會(huì)現(xiàn)象）現(xiàn)象的

2、規(guī)律。 基本內(nèi)容：（1）多目標(biāo)決策問(wèn)題舉例 AHP建模方法（2） AHP建模方法基本步驟（3） AHP建模方法基本算法（4） AHP建模方法理論算法應(yīng)用的若干問(wèn)題。參考書(shū)：1、姜啟源，數(shù)學(xué)模型（第二版，第 9章；第三版，第8章），高等教育出版社2、程理民等， 運(yùn)籌學(xué)模型與方法教程，（第10章），清華大學(xué)出版社3、運(yùn)籌學(xué)編寫(xiě)組，運(yùn)籌學(xué)（修訂版），第11章，第7節(jié)，清華大學(xué)出版社一、問(wèn)題舉例：A.大學(xué)畢業(yè)生就業(yè)選擇問(wèn)題獲得大學(xué)畢業(yè)學(xué)位的畢業(yè)生，“雙向選擇”時(shí)，用人單位與畢業(yè)生都有各自的選擇標(biāo)準(zhǔn)和要求。就畢業(yè)生來(lái)說(shuō)選擇單位的標(biāo)準(zhǔn)和要求是多方面的，例如： 能發(fā)揮自己的才干為國(guó)家作出較好貢k!工作崗位適

3、合發(fā)揮專(zhuān)長(zhǎng)）；工作收入較好（待遇好）；生活環(huán)境好（大城市、氣候等工作條件等）；單位名聲女?（聲譽(yù)-Reputation）;工作環(huán)境好（人際關(guān)系和諧等） 發(fā)展晉升（promote, promotion ）機(jī)會(huì)多（如新單位或單位發(fā)展有后勁）等。問(wèn)題：現(xiàn)在有多個(gè)用人單位可供他選擇，因此，他面臨多種選擇和決策，問(wèn)題是他將如何作出決策和選擇？一一或者說(shuō)他將用什么方法將可供選擇的工作單位排序？B .假期旅游地點(diǎn)選擇暑假有3個(gè)旅游勝地可供選擇。例如：P1 :蘇州杭州，P2北戴河，P3桂林，到底到哪個(gè)地方去旅游最好？要作出決策和選擇。為此，要把三個(gè)旅游地的特點(diǎn)，例如：景色；費(fèi)用；居??；環(huán)境；旅途條件等作一些比

4、較一一建立一個(gè)決策的準(zhǔn)則，最后綜合評(píng)判確定出一 個(gè)可選擇的最優(yōu)方案。目標(biāo)層準(zhǔn)則層方案層C.資源開(kāi)發(fā)的綜合判斷7種金屬可供開(kāi)發(fā)，開(kāi)發(fā)后對(duì)國(guó)家貢獻(xiàn)可以通過(guò)兩兩比較得到，決定對(duì)哪種資源先開(kāi)發(fā), 效用最用。二、問(wèn)題分析：例如旅游地選擇問(wèn)題：一般說(shuō)來(lái)，此決策問(wèn)題可按如下步驟進(jìn)行:（S1）將決策解分解為三個(gè)層次，即：目標(biāo)層：（選擇旅游地）準(zhǔn)則層：（景色、費(fèi)用、居住、飲食、旅途等5個(gè)準(zhǔn)則）方案層：（有P1，P2, P3三個(gè)選擇地點(diǎn)）并用直線連接各層次。（S2）互相比較各準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)的權(quán)重，各方案對(duì)每一個(gè)準(zhǔn)則的權(quán)重。這些權(quán)限重在人的思維過(guò)程中常是定性的。例如：經(jīng)濟(jì)好，身體好的人：會(huì)將景色好作為第一選擇；中老年人

5、：會(huì)將居住、飲食好作為第一選擇；經(jīng)濟(jì)不好的人：會(huì)把費(fèi)用低作為第一選擇。而層次分析方法則應(yīng)給出確定權(quán)重的定量分析方法。（S3）將方案后對(duì)準(zhǔn)則層的權(quán)重，及準(zhǔn)則后對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重進(jìn)行綜合。（S4）最終得出方案層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重，從而作出決策。以上步驟和方法即是 AHP的決策分析方法。三、確定各層次互相比較的方法一一成對(duì)比較矩陣和權(quán)向量在確定各層次各因素之間的權(quán)重時(shí)，如果只是定性的結(jié)果，則常常不容易被別人接受，因 而Santy等人提出：一致矩陣法 即：1.不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互比較2.對(duì)此時(shí)探用相對(duì)尺度，以盡可能減少性質(zhì)不同的諸因素相互比較的困難，提高準(zhǔn)確度。因素比較方法三一成對(duì)比較矩陣法

6、：目的是，要比較某一層n個(gè)因素Ci,C2,，Cn對(duì)上一層因素 O的影響（例如：旅游決策解 中，比較景色等5個(gè)準(zhǔn)則在選擇旅游地這個(gè)目標(biāo)中的重要性）。探用的方法是：每次取兩個(gè)因素Ci和Cj比較其對(duì)目標(biāo)因素 O的影響，并用aij表示，全部比較的結(jié)果用成對(duì)比較矩陣表示，即：1A = （aj）nxn, aj a0, aji （或aj 'aj =1）（1）aij由于上述成對(duì)比較矩陣有特點(diǎn):A ，、C1A = （aj）, aj 0, aj = aji1故可稱(chēng)A為正互反矩陣：顯然，由 aj =，即：aj，aji =1,故有：aji =1 aji例如：在旅游決策問(wèn)題中：_1/_&（景色）一景色）

7、對(duì)目標(biāo)。的重要性為1a12 "力飛2（費(fèi)用）表不：0 2（費(fèi)用）對(duì)目標(biāo)。的重要性為2故：a12 = 12（即景色重要性為1,費(fèi)用重要性為2）a =4 =4 = C1（景色）a131 = C式居住條件）表布:g（景色）對(duì)目標(biāo)。的重要性為403（居住條件）對(duì)目標(biāo)。的重要性為1即：景色為4,居住為1。C2（費(fèi)用）C 3（居住條件）表布:62（費(fèi)用）Kt目標(biāo)。的重要性為7C 3（居住條件）對(duì)目標(biāo)。的重要性為1即：費(fèi)用重要性為 7,居住重要性為1。因此有成對(duì)比較矩陣：A =214131211712131 1? ?問(wèn)題：稍加分析就發(fā)現(xiàn)上述成對(duì)比較矩陣的問(wèn)題:即存在有各元素的不一致性，例如:既然：

8、a12CC21 K.-2a21二2； a13Ci所以應(yīng)該有:a23C2C3a21而不應(yīng)為矩陣C31a31 =a13a31C2CiC3 cCi=2=8=8141A中的a23 =成對(duì)比較矩陣比較的次數(shù)要求太,因：n個(gè)元素比較次數(shù)為:小叢3次2!因此，問(wèn)題是：如何改造成對(duì)比較矩陣， 使由其能確定諸因素 C1,，Cn對(duì)上層因素。的權(quán)重?對(duì)此Saoty提出了：在成對(duì)比較出現(xiàn)不一致情況下，計(jì)算各因素C1,，Cn對(duì)因素（上層因素）。的權(quán)重方法，并確定了這種不一致的容許誤差范圍。為此，先看成對(duì)比較矩陣的完全一致性一一成對(duì)比較完全一致性四：一致性矩陣W1an 1W1a12=她W2,a1n -WnA =W2 0-

9、a21皿a22二組W2,W2 a2n 77Wn限一一aij_ Wl "Wj_Wl an1 一 < 皿an2_W1-W2Wnann ='八，=1WnJ除滿足：（i）正互反性：即Def:設(shè)有正互反成對(duì)比較矩陣:(4)aij 0a.ajaji(或 aijaji =1)而且還滿足：（ii） 一致性：即aiaij = = aik- akjaj既 i, j =1, 2, | najk則稱(chēng)滿足上述條件的正互反對(duì)稱(chēng)矩陣A為一致性矩陣，簡(jiǎn)稱(chēng)一致陣。一致性矩陣（一致陣）性質(zhì)：性質(zhì)1: A的秩 Rank（A）=1A有唯一的非0的最大特征根為n性質(zhì)2： A的任一列（行）向量都是對(duì)應(yīng)特征根n的特

10、征向量:即有（特征向量、特征值W1WiWi、WiW2WnWi、W2W2W2W2R-WiW2W,則向量W =WnWnWn<WiW2Wn J）：A 二"Wl WL Wl)W1、B,w.W2WnmmaW2nW2*滿足：AW =，一=nWW_ W_ W第W2Wn ,5nJ<nWn)即:(A-nI)W = 0啟發(fā)與思考：既然一致矩陣有以上性質(zhì),T即n個(gè)元素 Wi,W2, W3 , Wn構(gòu)成的向量 W ="WiW2是一致矩陣 A的特征向量，則對(duì)一致矩陣A來(lái)說(shuō)，可以把一致矩陣 A的特征向量 W求出之后,Wl,W2,再把一致矩陣A的特征向量W歸一化后得到的向量件,看成是諸元素

11、W1,W2, W3 ,Wn目標(biāo)O的權(quán)向量。因此，可以用求一致矩陣的特征根和特征向量的辦法，求出元素W3，Wn相對(duì)于目標(biāo) O的權(quán)向量。解釋?zhuān)阂恢戮仃嚰矗簄件物體Mi, M2,，Mn,它們重量分別為 Wi, W2,，Wn,將他們兩比較重量，其比值構(gòu)成一致矩陣，若用重量向量A的特征根為n,以n為特征根的特征向量為：重量向量W= W2 ,則歸一化后的特征向量iWnjWi 'w= :工Wi=1）就表示諸因素C1, C 2，c n對(duì)上層因素O勺權(quán)重，即為 y J:權(quán)向量，此種用特征向 量求權(quán)向量的方法 稱(chēng)特征根法， 分析：WJW2若重量向量 W = 2未知時(shí)，則可由決策者對(duì)物體 M 1, M 2，

12、M n之間兩兩相比關(guān)系, 主觀作出比值的判斷，或用Delphi （調(diào)查法）來(lái)確定這些比值，使 A矩陣（不一定有一致性）為已知的，并記此主觀判斷作出的矩陣為（主觀）判斷矩陣 A,并且此A （不一致）在不一致 的容許范圍內(nèi)，再依據(jù)： A的特征根或和特征向量 W連續(xù)地依賴(lài)于矩陣的元素 a.,即當(dāng)aj離 一致性的要求不太遠(yuǎn)時(shí)， A的特征根i和特征值（向量） W與一致矩陣 A的特征根兒和特征向 量W也相差不大的道理：由特征向量 W求權(quán)向量 W的方法即為特征向量法，并由此引出一致 性檢查的方法。問(wèn)題：Remark以上討論的用求特征根來(lái)求權(quán)向量W的方法和思路，在理論上應(yīng)解決以下問(wèn)題：1. 一致陣的性質(zhì)1是說(shuō)

13、：一致陣的最大特征根為n （即必要條件），但用特征根來(lái)求特征向量時(shí)，應(yīng)回答充分條件：即正互反矩陣是否存在正的最大特征根和正的特征向量？且如果正互 反矩陣A的最大特征根 兒max =n時(shí)，A是否為一致陣？2. 用主觀判斷矩陣 A的特征根 兒和特征向量 W連續(xù)逼近一致陣 A的特征根入和特征向量 W得到：limWk =WJ 二即：lim Ak = AJ 二是否在理論上有依據(jù)。3. 一般情況下，主觀判斷矩陣A在逼近于一致陣 A的過(guò)程中，用與 A接近的A*來(lái)代替A,即有A*也A,這種近似的替代一致性矩陣 A的作法，就導(dǎo)致了產(chǎn)生的偏差估計(jì)問(wèn)題，即一致性檢驗(yàn)問(wèn)題，即要確定一種一致性檢驗(yàn)判斷指標(biāo)，由此指標(biāo)來(lái)確

14、定在什么樣的允許范圍內(nèi)，主觀判斷矩陣是可以接受的，否則，要重新兩兩比較構(gòu)造主觀判斷矩陣。此問(wèn)題即一致性檢驗(yàn)問(wèn)題的內(nèi)容。以上三個(gè)問(wèn)題：前兩個(gè)問(wèn)題由數(shù)學(xué)嚴(yán)格比較可獲得（見(jiàn)教材P325,定理1、定理2）。第3個(gè)問(wèn)題：Satty給出一致性指標(biāo)（Th1,Th2介紹如下：）附：Th1 :（教材P326, perronTh 比隆 1970 ）對(duì)于正矩陣 A （ A的所有元素為正數(shù)）（1） A的最大特征根是正單根 九；（2） K對(duì)應(yīng)正特征向量 W （W的所有分量為正數(shù)）,1、.Ake 1（3） hm=一=W其中：e= 為半徑向量， W是對(duì)應(yīng)九的歸一化特征向量Te A e證明：（3）可以通過(guò)將 A化為標(biāo)準(zhǔn)形證明

15、Th2 : n階正互反陣A的最大特征根 兒之n ;當(dāng)人=n時(shí)，A是一致陣五、一致性檢驗(yàn)一一一致性指標(biāo)：1. 一致性檢驗(yàn)指標(biāo)的定義和確定一一C I的定義：當(dāng)人們對(duì)復(fù)雜事件的各因素，采用兩兩比較時(shí)，所得到的主觀判斷矩陣A, 一般不可直接保證正互反矩陣 A就是一致正互反矩陣 A ,因而存在誤差（及誤差估計(jì)問(wèn)題）。這種誤差，必然導(dǎo)致特征值和特征向量之間的誤差仄-?，一）及（W- w力此時(shí)就導(dǎo)致問(wèn)題 AW二九maxW與問(wèn)題AW=nW之間的差別。（上述問(wèn)題中7ax是主觀判斷矩陣A的特征值，W是帶有偏差的相 對(duì)權(quán)向量）。這是由判斷矩陣不一致性所引起的。因此，為了避免誤差太大，就要給出衡量主觀判斷矩陣版的一致

16、性的判別準(zhǔn)則。因?yàn)椋寒?dāng)主觀判斷矩陣 A為一致陣A時(shí)就有：nnnnZ入k=£ 九k=£akk=£1 = n A為一致陣時(shí)有：aii= 1k 4 n 1k 1k 1此時(shí)存在唯一的非 O特征根 m m Zm a = n(由一致陣性質(zhì)1： Rark(4)=1 , A有唯一非O最大特征根且 九max = n)當(dāng)主觀判斷矩陣 A不是一致矩陣時(shí)，此時(shí)一般有：兒max之n(Th2)此時(shí)，應(yīng)有：,max= " aii = nk -J max即：'max - n 二 一 "1 kk -max所以，可以取其平均值作為檢驗(yàn)主觀判斷矩陣的準(zhǔn)則，一致性的指標(biāo)，1

17、A'k即： C I = ' max - n = k-maxn-1 n -1顯然：(1) 當(dāng)九max =門(mén)時(shí)，有：C J = 0,又為完全一致性(2) C J值越大，主觀判斷矩陣 入的完全一致性越差，即：A偏離A越遠(yuǎn)(用特征向量作為權(quán)向量引起的誤差越大)(3) 一般C 1 M0 1,認(rèn)為主觀判斷矩陣 A的一致性可以接受， 否則應(yīng)重新進(jìn)行兩兩比較，構(gòu)造主觀判斷矩陣。2.隨機(jī)一致性檢驗(yàn)指標(biāo)一一R I問(wèn)題：實(shí)際操作時(shí)發(fā)現(xiàn)：主觀判斷矩陣A的維數(shù)越大，判斷的一致性越差，故應(yīng)放寬對(duì)高維矩陣的一致性要求。于是引入修正值 R I來(lái)校正一致性檢驗(yàn)指標(biāo)：即定義R I的修正值表為：A的維數(shù)123456

18、789R I0.000.000.580.961.121.241.321.411.45 C I并定義新的一致性檢驗(yàn)指標(biāo)為：C R = CR I隨機(jī)一致性檢3指標(biāo)一一R I的解釋?zhuān)簽榇_定A的不一致程度的容許范圍，需要確定衡量A的一致性指示C I的標(biāo)準(zhǔn)。于是 Satty又引入所謂隨機(jī)一致性指標(biāo) R I ,其定義和計(jì)算過(guò)程為： 對(duì)固定的n,隨機(jī)構(gòu)造正互反陣 A',其元素ai；。 j）從19和1%中隨機(jī)取值,且滿足aj與a；的互反性，即：ai； 然后再計(jì)算A'的一致性指標(biāo)C I , 如此構(gòu)造相當(dāng)多的 A',再用它們的 Satty對(duì)于不同的n(n=111),用因此A'是非常

19、不一致的，此時(shí)， C，I值相當(dāng)大.C I平均值作為隨機(jī)一致性指標(biāo)。100500個(gè)樣本A'計(jì)算出上表所列出的隨機(jī)一致性3.一致性檢驗(yàn)指標(biāo)的定義致性比率C Ro指標(biāo)R J作為修正值表。標(biāo)R I之比稱(chēng)為一致性比率即有：一致性檢驗(yàn)指標(biāo)的定義-C I定義：C R =C:R I當(dāng)：C R =山R I可用其特征向量作為權(quán)向量。否則，對(duì)主觀判斷矩陣A重新進(jìn)行成對(duì)比較，構(gòu)重新的主觀由隨機(jī)性檢驗(yàn)指標(biāo)C R可知:當(dāng)n=1, 2時(shí)，R，I =0,這是因?yàn)?,2階正互反陣總是一致陣。對(duì)于n33的成對(duì)比較陣 A,將它的一致性指標(biāo) C I與同階（指n相同）的隨機(jī)一致性指一簡(jiǎn)稱(chēng)一致性指標(biāo),一致性比率R C I C R

20、 =R I 01時(shí)，認(rèn)為主觀判斷矩陣 A的不一致程度在容許范圍之內(nèi),G和Cj對(duì)于上層因素O的影響時(shí)，探用什么樣的相對(duì)刻度較好，即aij的元素的值在（19）%）或更多的數(shù)字，Satty提出用19尺度最好，即aij取值為19或其互反數(shù)%，心理學(xué)家也提出：人們區(qū)分信息等級(jí)的極限解能力為7及?？梢?jiàn)對(duì)nn階矩陣,只需作出 n（n-1）個(gè)2判斷矩陣A。注：上式C R=C0 1的選取是帶有一定主觀信度的。R I六、標(biāo)度一一比較尺度解:在構(gòu)造正互反矩陣時(shí)，當(dāng)比較兩個(gè)可能是有不同性質(zhì)的因素判斷值即可標(biāo)度a；定義1因素i與因素j相同重要3因素i比因素j稍重要5因素i比因素j較重要792, 4, 6, 8,向111

21、11111倒數(shù)1，-,-,-,-,-,-,-,-23456789因素i比因素j非常重要因素i比因素j絕對(duì)重要因素i與因素j的重要性的比較值介于上述兩個(gè)相鄰等級(jí)之間因素j與因素i比較得到判斷值為 aij的互反“1數(shù)， aji =aii =1aij注：以上比較的標(biāo)度 Satty曾用過(guò)多種標(biāo)度比較層，得到的結(jié)論認(rèn)為：19尺度不僅在較簡(jiǎn)單的尺度中最好，而且比較的結(jié)果并不劣于較為復(fù)雜的尺度。Satty曾用的比較尺度為：13, 15, 16,，111,以及（d 十0.1）（d 十0.9），其中 d =1, 2, 3, 4 1p 9P，其中 P =2, 3, 4, 5 -等共27種比較尺度，對(duì)放在不同距離處

22、的光源亮度進(jìn)行比較判斷，并構(gòu)造出成對(duì)比較矩陣，計(jì) 算出權(quán)向量。同時(shí)把計(jì)算出來(lái)的這些權(quán)向量與按照物理學(xué)中光強(qiáng)度定律和其他物理知識(shí)得到的 實(shí)際權(quán)向量進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果也發(fā)現(xiàn)19的比較標(biāo)度不僅簡(jiǎn)單，而效果也較好（至少不比其他更復(fù)雜的尺度差）因而用19的標(biāo)度來(lái)構(gòu)造成對(duì)比較矩陣的元素較合適。七、組合權(quán)向量的計(jì)算一一層次總排序的權(quán)向量的計(jì)算層次分析法的基本思想：（1） 計(jì)算出下一層每個(gè)元素對(duì)上一層每個(gè)元素的權(quán)向量Wdef:層次總排序，計(jì)算同一層次所有元素對(duì)最高層相對(duì)重要性的排序權(quán)值。當(dāng)然要先：構(gòu)造下一層每個(gè)元素對(duì)上一次每個(gè)元素的成對(duì)比較矩陣計(jì)算出成對(duì)比較矩陣的特征向量（和法，根法，塞法）由特征向量求出最大特征

23、根，max （由和法，根法，哥法求得）nC R用最大特征根 ，、ax用方式C I = m 及C R = 對(duì)成對(duì)比較矩n -1RI陣進(jìn)行一致性檢，并通過(guò)。（2） 并把下層每個(gè)元素對(duì)上層每個(gè)元素的權(quán)向量按列排成以下表格形式：例，假定：上層A有m個(gè)元素，Ai, A2,，Am,且其層次總排序權(quán)向量為a1, a2,，am,下層B有n個(gè)元素Bi, B2,，Bn,則按Bj對(duì) A個(gè)元素的單排序權(quán)向量的列向量為bj ,即有：層次A1A1A1mB層總是排序權(quán)重（權(quán)向aia2am量、列向量）BiB2Bnbllbl2bimb12b22b2mmmmmbnlbn 2bnmmWi =£ ajbij j mW2 =

24、E ajb2j j， a mWn a a jbnj j*-max計(jì)算出最大特根（方法：和法、根法、塞法）C I一致性檢驗(yàn)C I axn -1C I一致性檢驗(yàn)比率C“ 九。3 /C R - j/mR 1/z ajRIj檢3敘CR<0 i否？注：若下層元素 Bk與上層元素Aj無(wú)關(guān)系時(shí)，取bkj =0m總排序權(quán)向量各分量的計(jì)算公式：Wi =、' ajbij（i =1,，n）j i（3）對(duì)層次總排序進(jìn)行一致性檢驗(yàn)：從高層到低層逐層進(jìn)行，如果如果B層次某些元素對(duì) Aj單的排序的一致性指標(biāo)為CI j ,相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)為majCIjRIj ,則B層總排序隨機(jī)一致性比率為：C '

25、;R = j1“ ajRIj j i否則應(yīng)重新調(diào)整判斷矩陣的元素取值。當(dāng)CR m 0 1時(shí)，認(rèn)為層次總排序里有滿意的一致性,八、層次分析法的基本步驟：（S1）建立層次結(jié)構(gòu)模型將有關(guān)因素按照屬性自上而下地分解成若干層次：同一層各因素從屬于上一層因素，或?qū)ι蠈右蛩赜杏绊懀瑫r(shí)又支配下一層的因素或受到下層因素的影響。最上層為目標(biāo)層（一般只有一個(gè)因素），最下層為方案層或?qū)ο髮?/決策層，中間可以有1個(gè)或幾個(gè)層次，通常為準(zhǔn)則層或指標(biāo)層。當(dāng)準(zhǔn)則層元素過(guò)多（例如多于9個(gè)）時(shí)，應(yīng)進(jìn)一步分解出子準(zhǔn)則層。（S2）構(gòu)造成對(duì)比較矩陣，以層次結(jié)構(gòu)模型的第2層開(kāi)始，對(duì)于從屬于（或影響及）上一層每個(gè)因素的同一層諸因素，用成

26、對(duì)比較法和19比較尺度構(gòu)造成對(duì)比較矩陣，直到最下層。（S3）計(jì)算（每個(gè)成對(duì)比較矩陣的）權(quán)向量并作一致性檢驗(yàn)對(duì)每一個(gè)成對(duì)比較矩陣計(jì)算最大特征根九max及對(duì)應(yīng)的特征向量（和法、根法、哥法等）w =:Wn;一 c c 利用一致性指標(biāo) C，I ,隨機(jī)一致性指標(biāo) C R和一致性比率作一致性檢驗(yàn)CR = I1 R I ）一 w、 若通過(guò)檢驗(yàn)（即C R <0.1,或C I <0.1）則將上層出權(quán)向量 W =：歸一化之后Wnj作為（Bj到Aj）的權(quán)向量（即單排序權(quán)向量）若C R < 0.1不成立，則需重新構(gòu)造成對(duì)比較矩陣（S4 ）計(jì)算組合權(quán)向量并作組合一致性檢驗(yàn)一一即層次總排序 利用單層權(quán)向

27、量的權(quán)值 Wj = ： j =1,，m構(gòu)組合權(quán)向量表：并計(jì)算出特征根，組合特征向量，一致性、上單 層層、重、權(quán)量下層層次A1A1A1m（W計(jì)算組合權(quán)向量W =<Wn；aia2amm其中Wi=£ ajWijjBiB2BnW11W12WimW12W22W2mmWmWn2WnmmW1 =E ajbj j 二 mW2 = a ajb2j j 二 -mWn - a aj bnj jT最大特征根九ms和法、根法、哥法一致性檢驗(yàn)CIm max - nCI j =n -1CI <0.1 ?一致性隨機(jī)檢驗(yàn) RIRI j對(duì)照表一致性比率CR，jCI j / CR=、jRI/工 ajRl2jC

28、R<0 1 ?i'Wi 7W若通過(guò)一致性檢驗(yàn)，則可按照組合權(quán)向量 W = 的表示結(jié)果進(jìn)行決策（W = i IwdiWn；中Wi中最大者的最優(yōu)），即：W* =maxW : Wi w （W1,，Wn ）T ）若未能通過(guò)檢驗(yàn)，則需重新考慮模型或重新構(gòu)造那些一致性比率，CR較大的成對(duì)比較矩陣九、特征根的近似求法（實(shí)用算法）層次分析法的基本思路是計(jì)算上層每個(gè)元素對(duì)下一層次各元素的權(quán)向量（即最大特征根.max對(duì)應(yīng)的特征向量W =),以及組合權(quán)向量及一致性檢驗(yàn)問(wèn)題。WnJ計(jì)算判斷矩陣最大特征根和對(duì)應(yīng)陣向量，并不需要追求較高的精確度，這是因?yàn)榕袛嗑仃嚤旧碛邢喈?dāng)?shù)恼`差范圍。而且優(yōu)先排序的數(shù)值也是定

29、性概念的表達(dá), 使用較為簡(jiǎn)單的近似算法。常用的有以下求特征根的近似求法： 體如下：1.“和法”求最大特征根和對(duì)應(yīng)特征向量(近似解)故從應(yīng)用性來(lái)考慮也希望“和法”、“根法”、“哥法”，具(51)將矩陣A =(aj )nxm的每一列向量的歸一化得:Wjaaijn.二.aiji 1(52)對(duì)Wj按行求和得：Wi =X Wj j 1(53),將成歸一化，即有：Wi - WinZi 1,則有特征向量：W二 Wi(54)W1計(jì)算與特征向量W =對(duì)應(yīng)的最大特征根Kmax的近似值：XmaxWn J此方法：實(shí)際上是將 A的列向量歸一化后取平均值作為n (AW)iny WiA的特征向量。解釋?zhuān)貉井?dāng)A為一致矩陣時(shí)，

30、它的每一列向量都是特征向量二可以在A的不一致性不嚴(yán)重時(shí)，取 A的列向量(歸一化后)的平均值作為近似特征向量是合理的(有依據(jù)的)2 .“根法”求最大特征根特征向量近似值:步驟與“和法”相同，只是在(S2)時(shí):對(duì)歸一化后的列向量按行“求和”改為按行“求 . . 、 ，一 一 積再取n次方根，即：Wi = n 口 Wjg )即有具體步驟:(S1)將矩陣A =(aj)min的每一列向量歸一化得:Wj(S2)對(duì)歸一化以后的列向量各元素:Wjaaij按行“求和”并開(kāi)n次方根得:Win n 際口 Wj<j-Wi(S3)再將Wi歸一化得：W =_ '、Wii 11n n 際口 Wj<j-

31、/1n n"n口 Wj<j-/口 ，-W2得到特征向量近似值：W =Wn，1(AW)i(S4)計(jì)算最大特征根：九ma* = £ 一- 作為最大特征根的近似值。n 叫注：“根法”是將“和法”中求列向量的算術(shù)平均值改為求幾何平均值。3 .“哥法”求最大特征根:(S1)任取n維歸一化初始向量W(0)(S2)(53)V(k+)歸一化,即令:W(k+) =V(k+)n、W(k 1)i 1(54)對(duì)預(yù)先給定的3 ,當(dāng)Wi(k+)Wi(k)<4=1, 2,，n)時(shí)，W(k+)即為所求的特征向計(jì)算而(k 1)=AW(k), k =0, 1, 2,量；否則返回(S2)(S5)計(jì)算

32、最大特征根,=1 J Wi(k 1)maxW7以上用哥法求最大特征根 九max對(duì)應(yīng)特征向量的迭代方法，其收斂性由TH1 (教材P325)中Ake的3) |而今3 k-'e A e1=W ,其中e =:<1W是對(duì)應(yīng)？、max的歸一化向量。特征。(證明：可以將 A化為標(biāo)準(zhǔn)形證明)保證。W(0)任意選取，也可以取由“根法”、“和法”得到的w =WnJ注：在以上求特征根和特向量的方法中“和法”最簡(jiǎn)單。準(zhǔn)則層:方案層:例：在旅游問(wèn)題中，求目標(biāo)層到準(zhǔn)則層的成對(duì)比較矩陣為A的特征向量和最大特征根:0.531<37 15150.250.3330333利用“和法”求A的特征向量0.1430.

33、20.2和特征根max0.50.333(S1)將A =(Wj nxn的元素按列歸一化得:0.2650.2450.2350.2860.29、0.5100.4890.4110.4760.4840.0640.0700.0590.0480.0320.0850.0980.1180.0950.097。0850.0980.1760.0950.097AVVjlj nxn二2 二1 2 0.25 0.333 0.333 = 3.917: 2 =0.5 1 0.143 0.2 0.2 =2.043二3 二 4 7 1 2 3 =17二 4 二3 5 0.5 1 1 =10.5二 5 二3 5 0.333 1 1

34、=10.333n(S2)將AWj nxn中兀素 叫 按行求和得各行兀素之和：Wi =£ Wjj41.312、2.370.273 =W0.493©511，(S3)再將上述矩陣向量歸一化得到特征向量近似值,1.312、0.262'2.370.4740.2730.0554.9990.4930.099Q.511 ,Q102,W n“Wii 1特征向量5一 其中 '、, Wi =(1.312 2.37 0.273 0.493 0.511) = 4.9991(S4)計(jì)算與特征向量相對(duì)應(yīng)最大特征根(的近似值)1 %n AW i =/ maxn im Wi/ nnnnnZa

35、1jWiga2jWiZ a3jWiZ a4jWiZa5jWi1i 才二j/WT-uiTT日二 iWX=-I r r r 5W1W2W3W4W50.262、七.262、0.262)0.4740.4740.474(1 0.5 4 33)0.055(21 7 5 5；0.055(0.25 0.1431 0.5 0.333 )0.0550.0990.0990.0991©102,10.102,©102,50.2620.4740.055'0.262、0.474'0.262、0.4741(0.337 0.2 2 11 )0.055(0.333 0.2 3 11 )0.05

36、50.0990.099102,<0.102；0.0990.1021 0.263 0.237 0.22 0.297 0.306 0.524 0.474 0.385 0.495 0.55 IL0.2620.4740.066 0.068 0.055 0.0495 0.034 0.087 0.095 0.11 0.099 0.1020.0550.0990.087 0.095 0.165 0.099 0.1020.10211.323 上 2.388 0.273 0.493 0.548、=- + + +-5 <0.262 0.474 0.055 0.099 0.102 11=-5.05 5.0

37、38 4.960 4.98 5.3731八 25.4015= 5.08020.262、0.474故有最大特征根77ax =5.0802, W = 0.0550.099©.1021對(duì)A-致性檢驗(yàn)指標(biāo)：。=1+50802=手=0.02RI =1.12CR =002 = 0.018 :二 0.11.12故通過(guò)檢驗(yàn)。十、應(yīng)用實(shí)例對(duì)前面旅游問(wèn)題進(jìn)行決策目標(biāo)層:準(zhǔn)則層:決策層:0.50.20.260.10240.00.099選擇旅游地點(diǎn)色B1已知：目標(biāo)A對(duì)準(zhǔn)則Bi i =1, 2, 3, 4, 5的權(quán)重向量為:W = 0.2620.474 0.055 0.099 0.102（由前面已算出），并已

38、通過(guò)一致性檢準(zhǔn)則B1, B2,B3, B4, B5 相對(duì)于 P1, P2,P3的成對(duì)比較矩陣為B1對(duì)丸P2,B=bnb12b13f、12 5b21b22b23二丫212<b31b32b33 )i% Y2 bP3作用的成對(duì)比較矩陣為:同樣B2對(duì)R, P2, P3作用的成對(duì)比較矩陣為:B1-B311丫333113r、13 4B4 = %11力111/4 J解：對(duì)以上每個(gè)比較矩陣都可計(jì)算出最大特征根Kmax及對(duì)象的特征向量 W (即權(quán)重向量)，并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)：CI RI CR以B1為例用“和法”求出B1的特征根Kmax及對(duì)立的特征向量 W1125、=B1=0.51220.51 /0.588

39、0.571 0.625、(S1)對(duì) B1按列歸一化得：BjVj )= 0.294 0.2860.250118 0.143 0.125,1.784 'n、一， 一 一，一 一.、，._1 一(S2)對(duì)按列歸一化反向量再按行求和：W = £ Wj = 0.83，©386,W：(S3)對(duì)W按行歸一化得到特征向量 W W = 丁二_ Wi 1'0.595' 0.2770129,1.784/(1.784+0.83 + 0.386)0.83/7(1.784+0.83 + 0.386)0.386?7(1.784 + 0.83 + 0.386(S4)計(jì)算特征根%Ba

40、X1 %. BW i一乙 n - Wi125”B1= 0.512、0.2 0.5 1(Bi)'max(1。595、0595 )10.5952 5【0.277I02力十0.595(0.5 1 2)0.277(0.2 0.5 110.277129，+0.27701290.129_ 10.5950.5540.6450.298 0.277 0.2580.119 0.139 0.129 3IL0.5950.2770.1291/1.7940.8330.387、_ + I- 3<0.5950.2770.129J1 1=-3.015 3.007 3 = - 9.022 = 3.00733致性檢驗(yàn)：CImax -m 3.007-3 0.007=0.0035 :二 0.1n -1 RI -0.583 -1CI 0.0035CR =0.006 :二 0.