王明慈版概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題五

1、習(xí)題五1.設(shè)抽樣得到樣本觀測(cè)值為:計(jì)算樣本均值、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、樣本方差與樣本二階中心矩?！?一1 一01解：x yxi + ；10 iP101r2 229；10)2X ；102x)2x9S . 10觀測(cè)值x123456頻數(shù)n15212520127100個(gè)樣本觀測(cè)值如下:2.設(shè)抽樣得到解：由計(jì)算樣本均值、樣本方差與樣本二階中心矩。 書(shū)上127頁(yè)（）（）（）式可知：1 區(qū)n100/i1 一61003.略6K xi14.從總體中抽取1(115 221325 42051267);1002x) n一、2x) n容量為92 15-(6 27;99100n的樣本X1,X，a殳c為任意常數(shù),k 為任意正數(shù)，作變

2、換Y k(X iC),i 1,2,.方差；Y及-c; (2) S kY2分別Y,，工2 Syx k2；其中X及S分別是,，Xn的樣本均值及樣本的樣本均值及樣本方差。Xi i ck2 1 S2nS 1(YY)2kX2kc1 n - 才 鈉kXi2. S S2kX1 n口Xi一)2Xn iikSX5.從總體中抽取兩組樣本，其容量分別為n1及n2 ,設(shè)兩組的樣本均值分別為-X1-及X樣本方差分別 2及2 ,把這兩組樣本合并為一組容量n1n2的聯(lián)合樣本。 為為證明：（1）.聯(lián)合樣本的樣本均值Xn1X 1n2rh n2（2）.聯(lián)合樣本的樣本方差s2 n11n2 18n1 n2 1叫 n2X1 X2n1

3、n2 nl n2 1證明：（1）SumSumn2X2Sm1n1X_1n2 JXS2(2)Sum 2n1 n2r n2n? X1 i X)2nE_ (X2i71n1 n2 1X)2nnB1一兄X)2工X2i11i1x2x2 X )2n1 n2 1n又工(Xi-1-1 一)22X1i2 -/XXX2/ X1 XX1 XX21i 1()2-2n1X1 X同理 X 2i ，一2一）2i1 X XXX2n212 Sn2X 2 x而n1 X1 打2 n2X2 X-2n1 2 2 X1X X2n2 X2 X2XX2X12n1X12 2 nX1X n1X2 n2X2 2 eX2XeX2n1X 1rtX2Xni

4、 n221 -11 -2XX n X nnX 1r n2n1 n222 21 2 _J1XX nn X 2 n2Xn X2n2 X-n1 n2n1國(guó)化簡(jiǎn)得 _2n1n2X1 X2n n2q2n1 1s 一S2n212 s2n1 n2 12n1 n2X1 X2n1n2 nl n2 11),求隨機(jī)變6 設(shè)隨機(jī)變量 X,Y,Z相互獨(dú)立，都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)布 N. 0, 量函數(shù)2 22的分布函數(shù)與概率密度；并驗(yàn)證 定理1=3時(shí)成立，即 LKU X Y Z當(dāng)k2 3顯然解：X, Y, Z相互獨(dú)立且都服從N(Q1),則UU3P 23,O22312-2U0不然，直接求U的分布函數(shù)222X 2 Y 2 Z 2 i

5、/ /f ,X, zdxdydzy z 4k1MTy z 啕yf zdxdydz0, P Uuzdxdydz2 .服從自由度為（1, k）利用三重積分的性質(zhì)（略）也可得到結(jié)論。7.設(shè)隨機(jī)變量X服從自由度為k的t分布，證明：隨機(jī)變量YX的F分布。k,則可將X記為X U,睥 U N(0,1),2 U22 1,UVHF,其中 U2k kF分布的定義知= 2 -F（1k).8.設(shè)隨機(jī)變量 X服從自由度為 I,卜2的F分布,證明：隨機(jī)變量Y,服從自由度為Xk1, k2的F分布;從而證明等式（）:ki證明：X Fk1,k2,則 X其中U 可寫(xiě)成kVk2Vk2由 F 分布定知Y Fk2, kiPX F k1

6、k21c11,P1X Fki,k21(1)k1, k2 PY Fk1,k2*2,k1F1即F K,1Fk2,k1(2)1P1X1_29.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N ,52(1)從總體中抽取容量為 64的樣本，求樣本均值X與總體均值之差的絕對(duì)值小于的概率PX1；(2)抽取樣本容量n多大時(shí),才能使概率X-1達(dá)到X解：(1)N0,1P1X164: 64 , 648 828 1510.從正態(tài)總體(1)已知(2)未知10解：(1) PJXiP lnX-、.nn96中抽取容量為10的樣本 Xi, X2，Xio ,10VX 2 N的概率。 fi10求工(Xi1102的概率。P210原式P 210當(dāng)610(2)

7、P( XX)21 i1 10又一2EXi1;)2原式=P 291211.設(shè)總X50,6 ,總體體 N從總體Y中抽取容量為8的樣本,10 1JX4(P133,定理 3)1 10P2 XiX)229(定理4P133)2946,求下列概率:142 ,從總體X中抽取容量為10的樣本，解:(1)P0 XY8S2P ySy2(1) P0 XY- -8P0 50 46CY50 468 50 46 PN0,1有136知，定理662 4210 8原式XY50 464T6242 10(2)2Sx-P 2Sy6S2Sy442622SL又由P139,學(xué) F10 1,s42原式F9,1F9,7112.設(shè)總 體 X N抽

8、取樣本樣本均值為XiXn,樣本方差為X再抽取一個(gè)樣本Xn 1證明:統(tǒng)計(jì)量_n XXn1XXn1相互獨(dú)立。證明：Xn1N,2, X Nn 1Xni X Non113.設(shè)總體(1)n Xn1 Xn1 S-n Xn1 n 10, 11n1 nXXn 1 X XSS2Xn1 XXn1n1P133 Th4ntn 1SnX8, N22 ,抽取樣本X1, X2，X10 ,求下列概率:PmaxX1, X2，,X1010Pmin X1, X2, Xo5解：(1)Pmax X1, X2，,X1010= 1 PmaxX1, X2，,X101010101010 81 PX1 10, X2 10,X101 PX1 10PX2 10 PX10101 1110(2) Pmin X1, X2，,X10 41Pmin X1, X2，,X1051 PXi 5, X2 5, , X10 5101 PiPXi 51 P(Xi105 8101 1 11014.設(shè)總體 X服從泊松分布 P,抽取樣本 X1,X，求:n(1) 樣本均值的期望與方差;(2) 樣本均值 3 的概率分布。解：(1)1 t , 7tXiLn i1n i1_1,、，1DX 2 ypX 2 nYX1X2XnP= Pnn個(gè)一 Y-則、PYy(nen , y0,1,2,XP Xnny!1