數(shù)列的綜合應(yīng)用

1、數(shù)列的綜合應(yīng)用導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.通過構(gòu)造等差、等比數(shù)列模型，運(yùn)用數(shù)列的公式、性質(zhì)解決簡單的實(shí)際問 題.2.對數(shù)列與其他知識綜合性的考查也高于考試說明的要求，另外還要注重?cái)?shù)列在生產(chǎn)、生 活中的應(yīng)用.課前準(zhǔn)備區(qū) 回扣教材夯實(shí)基礎(chǔ)【自主梳理】1.數(shù)列的綜合應(yīng)用數(shù)列的綜合應(yīng)用一是指綜合運(yùn)用數(shù)列的各種知識和方法求解問題，二是數(shù)列與其他數(shù)學(xué) 內(nèi)容相聯(lián)系的綜合問題.解決此類問題應(yīng)注意數(shù)學(xué)思想及方法的運(yùn)用與體會.(1)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，解數(shù)列題要注意運(yùn)用方程與函數(shù)的思想與方法.(2)轉(zhuǎn)化與化歸思想是解數(shù)列有關(guān)問題的基本思想方法，復(fù)雜的數(shù)列問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為等 差、等比數(shù)列或常見的特殊數(shù)列問題.(3)由特殊到一般及

2、由一般到特殊的思想是解決數(shù)列問題的重要思想.已知數(shù)列的前若干項(xiàng)求通項(xiàng)，由有限的特殊事例推測出一般性的結(jié)論，都是利用此法實(shí)現(xiàn)的.(4)分類討論思想在數(shù)列問題中常會遇到，如等比數(shù)列中，經(jīng)常要對公比進(jìn)行討論；由Sn求an時(shí)，要對 進(jìn)行分類討論.2.數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用數(shù)列的應(yīng)用問題是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的一個(gè)重要內(nèi)容，解答應(yīng)用問題的核心是建立數(shù) 學(xué)模型.(1)建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，應(yīng)明確是等差數(shù)列模型、等比數(shù)列模型，還是遞推數(shù)列模型，是求 an還是求Sn.(2)分期付款中的有關(guān)規(guī)定在分期付款中，每月的利息均按復(fù)利計(jì)算；在分期付款中規(guī)定每期所付款額相同；在分期付款時(shí)，商品售價(jià)和每期所付款額在貸款全部付清前會隨時(shí)間的

3、推移而不斷增值；各期付款連同在最后一次付款時(shí)所生的利息之和，等于商品售價(jià)及從購買時(shí)到最后一 次付款的利息之和.【自我檢測】1 .(原創(chuàng)題)若Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且581=10,則&1的值為()A. 12B. 18C. 22D. 442. (2017汕頭模擬)在等比數(shù)列an中，an>an+1,且a7a11 = 6,a4+a4=5,則墨等于()23A.3B.215C- -6D- -63. 若an是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列，把a(bǔ)n的每一項(xiàng)都減去2后，得到一個(gè)新 數(shù)列bn,設(shè)bn的前n項(xiàng)和為Sn,對于任意的n C N *,下列結(jié)論正確的是()A. bn+1=3bn,且 &a

4、mp;=2(3“一 1)一 1cB. bn+1=3bn n D. bn+1=3bn4,且 Sn= 2(3 1) 2n,且 Sn= 2(3 - 1)1 n .C. bn+1=3bn+4,且 Sn= 2(3 1) 2n4. “嫦娥奔月，舉國歡慶”，據(jù)科學(xué)計(jì)算，運(yùn)載“神六”的“長征二號”系列火箭，在點(diǎn)火第一秒鐘通過的路程為 2 km ,以后每秒鐘通過的路程都增加 2 km ,在達(dá)到離地面240 km 的高度時(shí)，火箭與飛船分離，則這一過程需要的時(shí)間大約是( )A. 10秒鐘B. 13秒鐘C. 15秒鐘D. 20秒鐘5. (2017臺州月考)已知數(shù)列an的通項(xiàng)為an = 昌品，則數(shù)列an的最大項(xiàng)為()A

5、.第7項(xiàng)B.第8項(xiàng)C.第7項(xiàng)或第8項(xiàng)D.不存在6. (2017南京模擬)設(shè)數(shù)列an, bn都是正項(xiàng)等比數(shù)列，Sn, Tn分別為數(shù)列l(wèi)g an與lgbn的前 n 項(xiàng)和，且 Sn= c n y , 則 logb5a5 =.Tn 2n+1課堂活動第突破考點(diǎn)研析熱點(diǎn)探究點(diǎn)一等差、等比數(shù)列的綜合問題【例1】設(shè)an是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和.已知S3=7,且a1 + 3,3a2, a3 + 4構(gòu)成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)；(2)令 bn=ln a3n+1, n= 1,2,求數(shù)列bn的前 n項(xiàng)和 Tn.變式遷移1假設(shè)a1，a2, a3, a4是一個(gè)等差數(shù)列，且滿足0<a1

6、<2, a3=4.若bn=2an (n=1,2,3,4).給出以下命題：數(shù)列bn是等比數(shù)列；b2>4;b4>32；b2b4= 256.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A. 1B. 2C. 3D. 4探究點(diǎn)二數(shù)列與方程、函數(shù)、不等式的綜合問題【例2 (2017溫州月考)已知函數(shù)f(x)=23,數(shù)列an滿足a=1, an+1=f? j nCN*,(1)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；(2)令 Tn= a1a2 a2a3+a3a4a4a5+，a2na2n+1,求 Tn；1一4 一 m2 001 ,(3)令 bn=(n > 2) , b1 = 3, Sn= b1 + b2+，+ bn，右 Sn

7、<«對一'切 n N 成立，an 1an2求最小正整數(shù)m.變式遷移2 已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列an滿足：az+a3+a4=28,且a3+2是a2, a4的等差中項(xiàng).(1)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；1(2)若 bn=anlog2an, Sn=b + b2+, + bn,對任思正整數(shù) n, Sn+(n+ m)an+1<0 恒成立，試求m的取值范圍.探究點(diǎn)三數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用【例3 (2017福州*II擬)有一個(gè)下崗職工，1月份向銀行貸款10 000元，作為啟動資金開店，每月月底獲得的利潤是該月月初投入資金的20%,每月月底需繳納所得稅為該月月利潤的10%,每月的生活費(fèi)

8、為300元，余款作為資金全部投入下個(gè)月的經(jīng)營，如此繼續(xù)，問到這年年底這個(gè)職工有多少資金？若貸款年利息為25%,問這個(gè)職工還清銀行貸款后純收入多少元？變式遷移3假設(shè)某市2017年新建住房400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價(jià)房， 預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%.另外，每年新建住房中，中低價(jià)房的面積均比上一年增加 50萬平方米.那么，到哪一年底，（1）該市歷年所建中低彳房的累計(jì)面積（以2017年為累計(jì)的第一年）將首次不少于4 750萬平方米？（2）當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%?（參考數(shù)據(jù)：1.084= 1.36,1.085=

9、1.47,1.086 1.59）1 .數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題：（1）數(shù)學(xué)應(yīng)用問題已成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的一個(gè)重要內(nèi)容， 解答數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的核心是建立數(shù)學(xué)模型，有關(guān)平均增長率、利率（復(fù)利）以及等值增減等實(shí)際問題，需利用數(shù)列知識建立數(shù)學(xué)模型.（2）在試題中常用的數(shù)學(xué)模型有構(gòu)造等差、等比數(shù)列的模型，然后再去應(yīng)用數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；通過歸納得到結(jié)論，用數(shù)列知識求解.2 .解決數(shù)列綜合問題應(yīng)體會以下思想及方法：（1）數(shù)列與函數(shù)方程相結(jié)合時(shí)主要考查函數(shù)的思想及函數(shù)的性質(zhì)（多為單調(diào)性）.（2）數(shù)列與不等式結(jié)合日需注意放縮.（3）數(shù)列與解析幾何結(jié)合時(shí)要注意遞推思想.精題靖陳規(guī)范答題（滿分：75分）、選擇題（每小題

10、5分，共25分）1. （2017湖北）已知等比數(shù)列an中，各項(xiàng)都是正數(shù),且a1，2a3,2a2成等差數(shù)列,則毀土史0 a7 + a的值為（）A. 1 + 亞B. 1-啦C. 3 + 22D. 3-222 . （2017漳州模擬）數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，bn是等差數(shù)列，且 a6=b7,則有（）A . a3+agWb4 + b10B. a3+a9>b4+b10C. a3+a9Wb4+b10D, a3+a9與 b4+b10的大小不確定3 .有限數(shù)列A: a1，a2, , , 4, a為其前n項(xiàng)和，定義& +、：,+ S為a的“凱森和”， 若有99項(xiàng)的數(shù)列a1，a2, , ,

11、a99的“凱森和”為1 000,則有100項(xiàng)的數(shù)列1, a1，a2, a99的“凱森和”為()A. 1 001B. 991C. 999D. 9904 .有一種細(xì)菌和一種病毒，每個(gè)細(xì)菌在每秒鐘末能在殺死一個(gè)病毒的同時(shí)將自身分裂為2個(gè)，現(xiàn)在有一個(gè)這樣的細(xì)菌和 100個(gè)這樣的病毒，問細(xì)菌將病毒全部殺死至少需要（）A . 6秒B. 7秒C. 8秒D. 9秒5,已知數(shù)列an, bn滿足a1=1,且an, an+1是函數(shù)f(x) = x2-bnx+ 2n的兩個(gè)零點(diǎn)，則bio等于（）A. 24B. 32C. 48D. 64題號12345答案、填空題（每小題4分，共12分）6. （2017麗水月考）若數(shù)列an

12、的通項(xiàng)公式an = 5| jn 2-4| ,n 1,數(shù)列an的最大項(xiàng)為 第x項(xiàng)，最小項(xiàng)為第y項(xiàng)，則x+y=.7. （2017江蘇）函數(shù)y = x 11. (14分)(2017廣東執(zhí)信中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x) f(y)且f(1)=2. 當(dāng)nC N*時(shí)，求f(n)的表達(dá)式；(2)設(shè) an= n f(n), nCN *，求證：aI + a2+a3+,+ an<2;（x>0）的圖象在點(diǎn)（ak, ak）處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak+i,其中 kCN , a=16,則 a1+a3+a5 =.、 . 、 , 、 一 、 . . . . . . . * .8. 把

13、正整數(shù)按一定的規(guī)則排成了如圖所示的三角形數(shù)表.設(shè)aj （i, jC N ）是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第 i行、從左往右數(shù)第j個(gè)數(shù)，如a42=8.若aj = 2 009,則i與j的和 為.12 43 5 76 8 10 129 11 13 15 1714 16 18 20 22 24,三、解答題（共38分）9. （12分）（2017湘潭*II擬）已知點(diǎn)（1, 3）是函數(shù)f（x）=ax（a>0,且a1）的圖象上一點(diǎn)，等 比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為f（n）- c,數(shù)列bn（ bn>0）的首項(xiàng)為c,且前n項(xiàng)和Sn滿足&-&-1 = 低+VS_1 （n>2）.（1）求

14、數(shù)列 an和 bn的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列1；的前n項(xiàng)和為Tn,問滿足Tn1000的最小正整數(shù)n是多少？bnbn + 12 00910. （12分）沿海地區(qū)甲公司響應(yīng)國家開發(fā)西部的號召，對西部地區(qū)乙企業(yè)進(jìn)行扶持性技術(shù)改造.乙企業(yè)的經(jīng)營現(xiàn)狀是： 每月收入為45萬元，但因設(shè)備老化，從下月開始需付設(shè)備維 修費(fèi)，第一個(gè)月為3萬元，以后每月遞增2萬元.甲公司決定投資400萬元扶持改造乙企業(yè).據(jù)預(yù)測，改造后乙企業(yè)第一個(gè)月收入為16萬元，在以后的4個(gè)月中，每月收入都比上個(gè)月增長50%,而后每個(gè)月收入都穩(wěn)定在第5個(gè)月的水平上.若設(shè)備改造時(shí)間可忽略不計(jì)，那么從下設(shè) bn=(9 n)ffn1)，nCN*, Sn為

15、bn的前n項(xiàng)和，當(dāng)S最大時(shí)，求n的值.個(gè)月開始至少經(jīng)過多少個(gè)月，改造后的乙企業(yè)的累計(jì)總收益多于仍按現(xiàn)狀生產(chǎn)所帶來的總收 益？答案自主梳理1. （4）n= 1 或 n>2自我檢測1. C 2.B 3.C 4.C 5.B96.歷課堂活動區(qū)特別是等例1解題導(dǎo)引1.等差數(shù)列與等比數(shù)列相結(jié)合的綜合問題是高考考查的重點(diǎn),差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前 n項(xiàng)和公式以及等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)問題是歷年命題的熱點(diǎn).2.利用等比數(shù)列前 n項(xiàng)和公式時(shí)注意公比 q的取值.同時(shí)對兩種數(shù)列的性質(zhì)，要熟悉它們的推導(dǎo)過程，利用好性質(zhì)，可降低題目的思維難度，解題時(shí)有時(shí)還需利用條件聯(lián)立方程求解.解(1)由已知得a1+ a2+ a3

16、= 7彳(a1 + 3) + (a3+4),解得 a2 = 2.I2=3(a2 + a4 + , + a2n) = 3a2kJ設(shè)數(shù)列an的公比為q,由a2 = 2,2一可付 a1 = > a3 = 2q.q又 S3=7,可知 2+ 2+2q= 7, q即 2q25q + 2= 0.解得 q = 2, q2 = 2.由題意得 q>1,，q = 2,a1 = 1.故數(shù)列an的通項(xiàng)為an=2nT.(2)由得 a3n+1 = 23n,bn= ln a3n+1 = ln 23n = 3nln 2.又 bn+1 bn=3ln 2, bn是等差數(shù)列,T Tn= “ + b2+， + bnln 2

17、.n(bi + bn) 3n(n+ 1)2故Tn =3n(n+1) o2 ln 2.變式遷移1 D 設(shè)a1 易知數(shù)列bn是等比數(shù)列，故 a3+d>5 ,所以 b4 = 2a4>32 故(4)正確.例2解題導(dǎo)引 這是一 觀察Tn特點(diǎn)，求出Tn.由ana2, a3, a4 的公差為 d ,貝U a1 + 2d = 4 ,又 0<a1<2 ,所以 1< d<2. (1)正確；a2 = a3 d C (2,3),所以 b2 = 2a2>4,故(2)正確；a4 = 故(3)正確；又 a2 + a4 = 2a3=8,所以 b2b4 = 2a2+a4= 28= 25

18、6 ,一道數(shù)列、函數(shù)、不等式的綜合題，利用函數(shù)關(guān)系式求通項(xiàng) 再求bn從而求Sn,最后利用不等式知識求出 m.2+3解(1)an+ 1= fan2 + 3anan2，an是以2為公差的等差數(shù)列.3又 a1 = 1, 1 an= 7n + 7. 33(2) Tn= a1a2a2a3+ a3a4一 a4a5+，a2n32n+1團(tuán)+口3+32=a2( a1 a3) + a4(a3 a5) + , + a2n(a2n 1 a2n+ 1)12n2n+1匕n 3/gn + 3,=-4(2n2+3n).當(dāng)n>2時(shí)，bn=an ian=9O2 2n 1 2n+ 1 /又 bi = 3=9x i 1 -2、

19、3 . Sn= bi + b2+ , + bn=9x L_1+1_1+,2< 3 3 5 2n12n+iJ21J-工衛(wèi)2 . 2n+ 12n+1Sn<m-| 001 對一切 nCN*成立.即m<m-2時(shí) 2n+12v - 9n 2n+11-六1遞增，9n 9 m 2 001 92n+1<2.2>2,即m>2 010.，最小正整數(shù) m=2 010.變式遷移2解（1）設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q. 依題意，有2但3+2） = a2+a4,代入 a2+a3+a4=28,得 a3= 8.aq+ aq3= 20,''' a2+ a4=2

20、0. 21 1L 1解之，得W2'或產(chǎn)2'場=2a1=32.q= 2,又an單調(diào)遞增，.-an=2n.a1 = 2.n ,1nn(2) bn= 2 log/ = - n 2 ,-Sn= 1X2+2 X 22+3X23+, +nx 2n. 2Sn= 1 X22 + 2X 23+ 3X24 + , + (n 1)X 2n+nX 2"1. ，一，得&= 2+22 + 23+, + 2n-n 2n+1=2(12n)- n 2n+1 = 2n+1-n2n+1-2.1-2由 Sn+ (n+ m)an+1<0,即2n+1-n2n+1-2+n2n+1+m2n+1<

21、0對任意正整數(shù) n恒成立, m 2n+<2 2"1對任意正整數(shù)n, m<Jn1恒成立.1 2n 1>一 1).mW 1)即m的取值范圍是(一00, 1.例3解依題意，第1個(gè)月月余款為a = 10 000(1 +20%) 10 000 X 20% X 10%-300=11 500,第 2 個(gè)月月底余款為 a2= ai(i + 20%) - ai x 20% x 10% 300,依此類推下去，設(shè)第 n個(gè)月月底的余款為an元，第 n+1 個(gè)月月底的余款為 an+i 元，則 an+i = an(1+ 20%)an* 20%x 10%300=1.18an -300.下面構(gòu)造一

22、等比數(shù)列.an+ 1 + x設(shè)-=1.18,則 an+1 + x= 1.18an+1.18x,an+x.an+1= 1.18an+0.18x.0.18x= 300.-x_ 5000 即一甯118, x 3，即 5000 T18. an3數(shù)列an 5000是一個(gè)等比數(shù)列，公比為329 5001.18,首項(xiàng)a1 普=11a13500 5 0003誓 x 1.18-, 3鴻= 290X1.18123"11a12 = 5-000+29 /500x 1.181162 396.6(元)， 33即到年底該職工共有資金62 396.6元.純收入有 a12 10 000(1 + 25%)=62 396

23、.6- 12 500= 49 896.6(元).變式遷移3解(1)設(shè)中低價(jià)房的面積形成的數(shù)列為an,由題意可知%是等差數(shù)列，其中 &= 250, d=50,貝U an=250+(n 1) 50=50n+200,Sn = 250n+n(n 1)X 50=25n2+225n,令 25n2+225n>4 750,即 n2+9n190A0,而 n 是正整數(shù)，二. nA 10.4 750萬平方米.到2020年底，該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于(2)設(shè)新建住房面積形成數(shù)列 bn,由題意可知bn是等比數(shù)列,其中b1=400, q=1.08,則 bn =400 (1.08)n1.由題

24、意可知 an>0.85bn,即 50n+ 200>400 (1.08)n 1 0.85.當(dāng) n=5 時(shí)，a5<0.85b5,當(dāng) n=6 時(shí)，a6>0.85b6,滿足上述不等式的最小正整數(shù)n為6.到2017年底，當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.課后練習(xí)區(qū)1. C 2.B 3.B 4.B 5.D6. 3 7.21 8.1071 11 x.9 .解 (1) . f(1)=a=3, 、僅)=6卜 (1分).1a1 = f(1)- c= 3-c,a2=f(2)-c-f(1)-c = -9, 92a3=f(3)-c-f(2)-c = -27;4a28

25、12 1又?jǐn)?shù)列an成等比數(shù)列，a1 = = -7= - 7=7- c,a323 327c= 1;公比 q=OHan=-!x(3?1=-2><(2分)(3分)Sn-Sn 1 =(腌-依ni)(展+ VS3)=VSn+/Sn 1(n>2),又笛>0, ysn>。，Vsn-sn"1 = 1.數(shù)列通構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列,y/Sn =1 + (n-1)x1 = 5 & =代當(dāng) n>2, bn = Sn Sn-1 = d(n 1=2n1;又當(dāng)n= 1時(shí)，也適合上式，* . bn= 2n 1 nC N (4分)(6分)(2)Tn =b1 b2 + b2b3 + b3b'+j +1 x 3 3x5 5X71bnbn+ 11(2n-1)X(2n+ 1)1 J1_1