常微分方程習(xí)題測(cè)驗(yàn)集

1、常微分方程測(cè)試題 1、填空題 30%1、形如 的方程，稱為變量分離方程，這里.1/（外期3）分別為乂7的連續(xù)函數(shù)。2、形如-的方程，稱為伯努利方程， 這里F（工）©物的連續(xù)函數(shù).n是常數(shù)，引入變量變換，可化為線性方程.3、如果存在常數(shù)尸”使得下等式-對(duì)于所有（T加,（"0=都成立稱為利普希茲常數(shù)函數(shù)八3）稱為在R上關(guān)于尸滿足利普希茲條件。4、形如-的方程，稱為歐 拉方程，這里金口不是常數(shù)5、設(shè)施）是,"的基解矩陣，必）是工"的某一解,則它的任一解尸”）可表為、計(jì)算題40%1、求方程以的通解2、求方程3、求方程*1+6片+5匯=膻'的隱式解。史二X

2、+V通過(guò)點(diǎn)So）的第三次近似解。4、求方程杰三、證明題30%口 1r o ii 11上二2 工】1 .試驗(yàn)證理）=2 L是方程組X =- J x x x,x=-勺-,在任何不包含原點(diǎn) 的區(qū)間a/£W&上的基解矩陣。2 .設(shè)下Q'）為方程x =Ax （A為nn常數(shù)矩陣）的標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣（即中（0） =E）,證明：地 小-'。0）=1& t °）其中t0為某一值.<%建設(shè)目標(biāo)%>常微分方程測(cè)試題2一、填空題：（30%）1、曲線上任一點(diǎn)的切線的縱截距是切點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的等差中項(xiàng)，則曲線所滿足的 微分方程是.2、方程7y的通解中含有任意

3、常數(shù)的個(gè)數(shù)為 .3、方程肱OJ）也+ N*/）dy = O有積分因子1二廿8）的充要條件為 .4、八（國(guó)力連續(xù)是保證八3）對(duì)尸滿足李普希茲條件的 條件.珈=sin t cosy5、方程上"滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是 .6、若（1' /=四（工）是二階線性齊次微分方程的基本解組，則它們（有或無(wú)）共同零點(diǎn).7、設(shè)Xa）二仁跖+，+匕是方程聲+力y = 1的通解，則lim /（x）=mf HO 8、已知當(dāng)卜）是二階齊次線性微分方程 產(chǎn)十口（工8二0的一個(gè)非零解，則與 必線性無(wú)關(guān)的另一解K（幻二 .9、設(shè)4是心階常系數(shù)齊次線性方程特征方程的K重根，則該方程相應(yīng)于 4的K個(gè)線性

4、無(wú)關(guān)解是% 10、線性微分方程組/工的解乃，乃居是的基本解組的充要條件是二、求下列微分方程的通解：（40%）1、2 1一:.：如：<-23 -”一+34、K1t +Jl = SLn；- cos 715、求解方程二 ' 1V三、求初值問(wèn)題“。）=0距kl三1.夙三1的解的存在區(qū)間，并求第二次近似解，給出在解的存在區(qū)間的誤差估計(jì) .（10分）四、求解微分方程組<五、證明題：(10%設(shè)乃(力，卜式融與三工+ 2y+ /=4r + 3jr,山滿足初始條件飄°)=。的解.(10%是方程y"+p(力N'+式/y= o(3) .若方程M(x, y)dx + N

5、 (x, y)dy= 0是全微分方程，同它的通積分是 .(4) .設(shè)M(xo, yo)是可微曲線y= y(x)上的任意一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)的切線在x軸和y軸上的截距分別是.3、單選題(14%)(1),方程了赤+ 5一心田»=0是().(A)可分離變量方程(B)線性方程(C)全微分方程(D)貝努利方程孚二亞二8)(2) .方程也，過(guò)點(diǎn)(0, 0)有().(A) 一個(gè)解(B)兩個(gè)解(C)無(wú)數(shù)個(gè)解(D)三個(gè)解(3) .方程 x(y21)dx+y(x21)dy=0 的所有常數(shù)解是().(A) y= 土，x= ±1,(B) y= +(C) x=+(D) y=1, x=1(4) .若函數(shù)y(x

6、)滿足方程 守”一/出尺=。,且在x=1時(shí)，y=1,則在x = e時(shí) y=().L j.(A)巳(B)之(C)2(D) e(5) .浮階線性齊次方程的所有解構(gòu)成一個(gè)()線性空間.(A)內(nèi)維(B)/+1維(C)與一1維 (D)是+ 2維=亞/ + 2（6）.方程上（）奇解.（A）有三個(gè)（B）無(wú) （C）有一個(gè)（D）有兩個(gè)和國(guó)W.方程h過(guò)點(diǎn)（0，°）（）.（A）有無(wú)數(shù)個(gè)解（B）只有三個(gè)解（C）只有解"一 0（D）只有兩個(gè)解4.計(jì)算題（40%）求下列方程的通解或通積分：業(yè)_ 歲（1）.國(guó)1 +爐.，+獷沖+。、4分加0=（4） .心工（5） . V（工一所加）=1 5.計(jì)算題（10

7、%）求方程Jr"-51yf=血5K的通解.設(shè)了(工在整個(gè)工平面上連續(xù)可微，且 工如)三° .求證：方程的非常數(shù)解獷=雙了)，當(dāng)其為時(shí)，有可汗)一黑，那么飛必為一8或-8 <%建設(shè)目標(biāo)>常微分方程測(cè)試題1 .辨別題指出下列方程的階數(shù)，是否是線性方程:(12%)3、單選題(14%)空"+ /義二±一2鼻+宴=0(6)一(1) 小(2)出(3)小 & 及. . (4)方+際+ /=£而2、填空題(8%)dy=xtan y(1) .方程改的所有常數(shù)解是(2) .若y=y 1(x), y=y2(x)是一階線性非齊次方程的兩個(gè)不同解，則

8、用這兩個(gè)解可把 其通解表示為 .(3) .若方程M(x, y)dx + N (x, y)dy= 0是全微分方程，同它的通積分是(4) .設(shè)M(xo, yo)是可微曲線y= y(x)上的任意一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)的切線在x軸和y軸上的截距分別是(1),方程 >了赤 + 5一h')»=0是().(A)可分離變量方程(B)線性方程(C)全微分方程(D)貝努利方程當(dāng)二一(0W.CO)(2) .方程小，過(guò)點(diǎn)(0, 0)有().(A) 一個(gè)解(B)兩個(gè)解(C)無(wú)數(shù)個(gè)解(D)三個(gè)解(3) .方程 x(y21)dx+y(x21)dy=0 的所有常數(shù)解是().(A) y= 土，x= ±1

9、,(B) y= +(C) x=+(D) y=1, x=1(4) .若函數(shù)y(x)滿足方程94, 一yki "=。，且在x=i時(shí)，y=i,則在x = e時(shí) y=().L j.(A) &(B)之(C)2(D) e(5) .浮階線性齊次方程的所有解構(gòu)成一個(gè)()線性空間.(A)內(nèi)維 (B)/+1維 (C)與一1維 (D)是+ 2維字二.十2(6) .方程”()奇解.(A)有三個(gè) (B)無(wú) (C)有一個(gè) (D)有兩個(gè)爾工.方程出 過(guò)點(diǎn)(0，°)().（A）有無(wú)數(shù)個(gè)解（B）只有三個(gè)解（D）只有兩個(gè)解4.計(jì)算題（40%）求下列方程的通解或通積分:.，+獷）心+ （犬"嫡

10、叱04 4）.一守(5)2 = 15 .計(jì)算題（10%）求方程皿51的通解.6 .證明題（16%）設(shè)八兀7）在整個(gè)工平面上連續(xù)可微，且.求證：方程07的非常數(shù)解V = J（'），當(dāng)X T %時(shí)，有/一九，那么飛必為一g或一00常微分方程測(cè)試題 5一、填空題（30%1 .若y=yi（x） , y=y2（x）是一階線性非齊次方程的兩個(gè)不同解，則用這兩 個(gè)解可把其通解表示為.dy 22=2 .方程上滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是.,日學(xué)=了（工.J）3 .小,又連續(xù)是保證方程也初值唯一的 條件.一條積分曲線.dY A 3 A二）f4 . 線性齊次微分方程組&的一個(gè)基本解組的個(gè)數(shù)不

11、能多于個(gè)，其中五匕R,工'eR* .5 .二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解,二研（幻,y=中式行成為其基本解組 的充要條件是.dy .=sin x- 8S6 .方程也滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是.dy 2=x tan 尸7 .方程山的所有常數(shù)解是8 .方程未9獷位+A c。二0所有常數(shù)解9 .線性齊次微分方程組的解組f】，y式在，匕為基本解組條件是它們的朗斯基行列式 麻（工）H0.10 .總階線性齊次微分方程線性無(wú)關(guān)解的個(gè)數(shù)最多為個(gè)、計(jì)算題（40%求下列方程的通解或通積分:6yy1.=+ tan dx rkc<js/ cos sin 尸二:siii dx -（2r-cos 打也

12、+- l）dy = 0+y2r 一 -dx±力豆3V y + UX + 2 X | = - dx-d£力一出5 .三、證明題（30%1 .試證明：對(duì)任意及滿足條件° 二砥1 *的外，方程1 + / +y3的滿足條件"=&的解，=雙在（一叱+上存在.dy2 .設(shè)/在電+上連續(xù)，且螞"璋二°，求證：方程五 的任意解7。）均有既“分二° .電=1八）3 .設(shè)方程山一乂 ，中，在（-嗎+上連續(xù)可微，且初50 , （"）,求證：該方程的任一滿足初值條件 嶺口”盟的解派必在區(qū)間 和+8）上存在.常微分方程測(cè)試題6一、填

13、空題（20%）虹/t”1 .方程匕 0的所有常數(shù)解是.2 .方程乩，一1四叱。的常數(shù)解是.3 . 一階微分方程的一個(gè)特解的圖像是 維 空間上的一條曲線.4 .方程/ + j=Q的基本解組是.二、選擇題(25%)1.器階線性齊次微分方程基本解組中解的個(gè)數(shù)恰好是()個(gè).(A)總(B)匐-1(C)總+ 1(D)邦+22 .李普希茲條件是保證一階微分方程初值問(wèn)題解惟 條件.(A)充分(B)必要 (C)充分必要史二百 (->1)3 .方程由"過(guò)點(diǎn)上共有(A) 一(B)無(wú)數(shù)由二忻+工4 .方程出篤(A)有一個(gè)(B)有兩個(gè)空二廠5 .方程五一的奇解是(A)尸二匯(B)尸1的 (：(D)必要非

14、充分)個(gè)解.(C)兩(D)三)奇解.(C)無(wú)(D)有無(wú)數(shù)個(gè)).(Q * = T(D)三、計(jì)算題(25%)1.x ；='f'+y2.tgydx-ctydy=03. 一史二”4. dx + , +ln x)dy= 05. '四、求下列方程的通解或通積分(30%)1.廠產(chǎn)二Ml-/) dx2.砂ch-C-)3X 工3.常微分方程測(cè)試題 7解下列方程（80%）v,"十廠1. x = +y2. tgydx-ctydy=03. y-x（ ' +J ）dx-xdy=0，二、j +/、4. 2xylnydx+ ； +dy=05. -，1 =6 -x 1.（上百6. 二

15、=2:7. 已知f（x） I '出=i,x*0,試求函數(shù)f（x）的一般表達(dá) 式。8. 一質(zhì)量為m質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，從速度為零的時(shí)刻起， 有一個(gè)和時(shí)間成正比（比例系數(shù)為達(dá)）的力作用在它 上面，此外質(zhì)點(diǎn)又受到介質(zhì)的阻力，這阻力和速度成 正比（比例系數(shù)為 月）。試求此質(zhì)點(diǎn)的速度與時(shí)間 的關(guān)系。9. 證明題 （20%）1.證明：如果已知黎卡提方程的一個(gè)特解， 則可用初等方法求得它的通解。2. 試證：在微分方程 Mdx+Ndy=0中，如果 M N試同齊次函數(shù)，且xM+yN 0,則(趣+颯是該方程的一個(gè)積分因子常微分方程測(cè)試題 8計(jì)算題.求下列方程的通解或通積分(70%1 . 0+2,)匕-，的=0

16、cfe + (=02 .工dy2工+ 3y = e4 . 此5 .飛' ah6 . （2歲。蚊"斗（/_1燉=07 .，=砂'+ 3）2證明題 （30%8 .在方程瓦二板飆了）中，已知了，8在（-叫+刈上連續(xù)，且 就±D=Q .求證：對(duì)任意公和瓦1（1 ,滿足初值條件"飆）=”的解”力的存 在區(qū)間必為SD9 .設(shè)闕幻在區(qū)間（一2+時(shí)上連續(xù).試證明方程2二圻（工）51門(mén)尸 dx的所有解的存在區(qū)問(wèn)必為9 +電當(dāng)=（"）10 .假設(shè)方程 也在全平面上滿足解的存在惟一性定理?xiàng)l件，且小，乃是定義在區(qū)間I上的兩個(gè)解.求證：若J式外 心。0）,小&qu

17、ot;, 則在區(qū)間I上必有加式工） 式工）成立常微分方程測(cè)試題 9一、填空題（30%）1、方程MQ，y）dx+=°有只含X的積分因子的充要條件是（）。有只含y的積分因子的充要條件是。2 、稱為黎卡提方程，它有積分因子 o3 稱為伯努利方程，它有積分因子。4、若羽，溝，居為冏階齊線性方程的）個(gè)解,則它們線性無(wú)關(guān)的充要條件是5、形如的方程稱為歐拉方程。6、若河）和必"都是支'=刃的工的基解矩陣，則豌、和必。具有的關(guān)系是7、當(dāng)方程的特征根為兩個(gè)共鈍虛根是，則當(dāng)其實(shí)部為時(shí)，零解是穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱為 o二、計(jì)算題（60%）1、一。2、 + = sitU-cos2?2 1/

18、4=網(wǎng),城0）=萬(wàn)=3、若 LT 4試求方程組八取的解L%并求expAt電=x + y25、求方程出 經(jīng)過(guò)（0, 0）的第三次近似解dx. dy廣=x y +1= x y 56.求威康的奇點(diǎn)，并判斷奇點(diǎn)的類型及穩(wěn)定性.三、證明題（10%）間階齊線性方程一定存在冏個(gè)線性無(wú)關(guān)解。常微分方程測(cè)試題10、選擇題 （30%）也戶+電一= 01微分方程小 心的階數(shù)是2若舷和加工田在矩形區(qū)域R內(nèi)是的連續(xù)函數(shù)，且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則方程力=0有只與1y有關(guān)的積分因子的充要條件是3 稱為齊次方程.“工v）字二八”）4如果J 8, ,則dx存在唯一的解尸二以力，定義于區(qū)間卜 %區(qū)內(nèi)上,連續(xù)且滿足初始條件汽二板/

19、）淇中h -.5對(duì)于任意的E*】）,缶/“已宜（立為某一矩形區(qū)域，若存在常數(shù)陽(yáng)">"使,則稱*3）在田上關(guān)于y滿足利普希茲條件.二/+力6方程 而定義在矩形區(qū)域 R ： 三2二2三丫三2上，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)（。'。）的解的存在區(qū)間是 7若/UK = LI-可）是齊次線性方程的整個(gè)解，卬為其伏朗斯基行列式，則碗） 滿足一 階線性方程8若公（伙=L2.典）為齊次線性方程的一個(gè)基本解組/由為非齊次線性方程的一個(gè)特解，則非齊次線性方程的所有解可表為 9若爭(zhēng)為畢卡逼近序列。（兀）1的極限，則有質(zhì)工）一 _ （刈- 10 稱為黎卡提方程，若它有一個(gè)特解 尸（行 ，則經(jīng)過(guò)變換 ,可

20、化為伯努利方程.二求下列方程的解（35%）1辦工+-V5二匯+力2 求方程煮經(jīng)過(guò)的第三次近似解3 討論方程日工,川二1的解的存在區(qū)間（駕3 +/ - = 04求方程”工的奇解冗十一 - 0尸 y y6 y' + y3 - sin ;r =r cos 7 - sin37一一三證明題（35%1試證:若已知黎卡提方程的一個(gè)特解 ，則可用初等積分法求它的通解丁二尸尸。阮)2試用一階微分方程解的存在唯一性定理證明：一階線性方程,當(dāng)尸，白在阿周上連續(xù)時(shí)淇解存在唯一<%建設(shè)目標(biāo)>常微分方程測(cè)試題11一.填空題 (30% 。1、當(dāng)時(shí)，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0稱為恰當(dāng)方程，

21、或稱全微分方程。2、稱為齊次方程。3、求=f(x,y)滿足雙飛)=丁口的解等價(jià)于求積分方程 的連續(xù)解。4、若函數(shù)f(x,y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于y滿足利普希茲條件，則方程玄二丁飆泊去的解y=火幾”,PG作為%"，州的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是05、若看的，勺(*/©為n階齊線性方程的n個(gè)解，則它們線性無(wú)關(guān)的充要條件6、方程組/ = /工的 稱之為八的一個(gè)基本解組7、若嫄）是常系數(shù)線性方程組 八二月，的基解矩陣，則expAt =8、滿足的點(diǎn)（工二，），稱為方程組的奇點(diǎn)9、當(dāng)方程組的特征根為兩個(gè)共腕虛根時(shí)，則當(dāng)其實(shí)部 時(shí)，零解是穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱為二、計(jì)算題（60%dy “一

22、+ 11、求解方程：區(qū)= k+/+32、解方程：（2x+2y-1）dx+（x+y-2）dy=0期二2 13、討論方程 不3在怎樣的區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件，并求通過(guò)點(diǎn)（0, 0）的一切解4、求解常系數(shù)線性方程：-2/十3工二不必£（ 2、,一,其粒為5、試求方程組”二刃然的一個(gè)基解矩陣，并計(jì)算嚴(yán)打二1兀+紗,=Q76、試討論方程組 比出（1）的奇點(diǎn)類型，其中a,b,c為常數(shù),且 ac 0o三、證明題（10% 。試證：如果中5 丘"滿足初始條件雙環(huán)）"的解，那么常微分方程測(cè)試題13、判斷題（10%）匚 + dx + y* = 0yj是恰當(dāng)方程。2,8度+甚

23、一"/二0是三階微分方程。3.，二Cca2工是方程小十”二0的通解。4.函數(shù)組線性相關(guān)的充要條件是它們的伏朗斯基行列式等于零。sin5.方程W= x是二階線性方程。二、選擇題（101.方程定義在矩形域R”&工尸&&¥&也上,則經(jīng)過(guò)點(diǎn)（8力的解的存在區(qū)間是（1 12,2C.1 1(aD.一222.與初值問(wèn)題C 2八不一息1K1）三工/三-2等價(jià)的一階方程組是-2 -7t<-2)%1)=B.X'=陽(yáng)1）二砥D D.2)3 .方程*'=月&）、 （ 乂是一個(gè)打乂內(nèi)函數(shù)矩陣）的解空間構(gòu)成維線性空間.A. n-1 B. n

24、 C. n+1 D. 14 .微分方程 ' =獷+ 3）一的一個(gè)解是（）5,方程卜+/日Ms卜叱。有積分因子（）A.燈 B. L十工C 1 D ，二,三、填空題（20%）期二1 .方程1工通過(guò)點(diǎn)（01）的第二次近似解是時(shí)，方程M（x,y）dx+N（x,y）dy=0 稱為恰當(dāng)方程，或稱全微分方程。3.如果,（九力在,則方程占存在唯一的解y=*w,定義于區(qū)間上，連續(xù)且滿足初始條件 以仆）= "口,其中h二4 .若為0 = 1,2,是齊線性方程的&個(gè)解，卬儲(chǔ)為其伏朗斯基行列式，則哪）滿 足一階線性方程5,方程火/滋+ *（"2=°有僅與籃有關(guān)的積分因子的

25、充要條件是 。心（3升”），6 .利用變量替換_ 可把方程心化為變量分離方程。7 .若刎和以0者B是£ =A（t）X的基解矩陣，則阿和四）具有關(guān)系：。8 .方程 *'+工=，的一個(gè)特解是 9 .形如 的方程稱為歐拉方程。10 .若超是常系數(shù)線性方程組 / =工1的基解矩陣，則expAt =。四、計(jì)算題（60%）X - y = （x + .）ln1 .求方程由：工的通解。（8分）誓y尸=2%-況跑=42 .求解下列初值問(wèn)題：&工工一。（8分常微分方程測(cè)試題14一、判斷題（10%函了sin -? +目=a1 .方程 、*'是二階非線性方程。（）-+ J/ = 0L 廠2 .方程d/的通解是/二5汕工+冬皿工。（）3 .利普希茨條件是保證初值問(wèn)題解的唯一性的充分條件而不是必要條件。（）4 .向量函數(shù)組的線性相關(guān)概念與它的相應(yīng)的分量線性相關(guān)概念并不等價(jià)。（）5 .若修打。小是越階齊次線性方程的即個(gè)解，其伏朗斯基行列式理g二?！鄙?則再乃，居在I上線性相關(guān)。（二、選擇