10-怎樣計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度

1、§10怎樣計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度?靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度計(jì)算,一般有三種方法：1、從點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式出發(fā)進(jìn)行疊加；2、用高斯定理求解；3、從電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)的微分關(guān)系求解.這三種方法各有優(yōu)點(diǎn)：從點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式出發(fā),通過(guò)疊加原理來(lái)計(jì)算,在原那么上,是沒(méi)有不可應(yīng)用的.但是, 疊加是矢量的疊加,因此計(jì)算往往十分麻煩.用高斯定理求電場(chǎng)強(qiáng)度, 方法簡(jiǎn)單,演算方便,它有較大的局限性,只適宜于某些電荷對(duì)稱分布的場(chǎng)強(qiáng)的計(jì)算,或者場(chǎng)強(qiáng)不是對(duì)稱的,但為幾種能用高斯定理求解折場(chǎng)的合成.用場(chǎng)電勢(shì)的微分關(guān)系求場(chǎng)強(qiáng)也有普遍性,而且疊加是代數(shù)疊加. 這一種方法也簡(jiǎn)便, 不過(guò)還比不上高斯定理.所以求場(chǎng)強(qiáng)時(shí),一般首先考慮是瑣能用高斯定

2、理,其次考慮是否能用場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的微分關(guān)系去求.下面分別加以討論.、從點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式出發(fā)通過(guò)疊加原理進(jìn)行計(jì)算點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式:qi r- riri當(dāng)電荷連續(xù)分布時(shí):r E1rdl r40r1r rE403 rds3r1r rE403 rd4式中一電荷的線密度;電荷的面密度;電荷的體密度.式2、3、4中,積分應(yīng)普遍一切有電荷分布的地方.計(jì)算時(shí),還必須注意這是矢1、善于積分變量的統(tǒng)一問(wèn)題如果積分上包含有幾個(gè)相關(guān)的變量,只有將它們用同一變量來(lái)表示,積分才能積得結(jié)果.r這在應(yīng)用點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式求帶電體的場(chǎng)強(qiáng)時(shí),或者應(yīng)用畢一沙一拉定律求 B時(shí),常常遇到.因此,要積分必須先解決積分變量的統(tǒng)一問(wèn)題.積分上包

3、含有幾個(gè)變量,相互之間存在一定的關(guān)系.因此,任一變量都可選作自變量, 而將其他變量用該變量來(lái)統(tǒng)一表示.必須指出,不但可 以將積分號(hào)中包含的變量選作自變量,而且也可選擇不 包含在積分號(hào)中但與積分號(hào)中的變量都有關(guān)的量作為自 變量,要根據(jù)具體情況而定.現(xiàn)以圖2101所示均勻帶電直線的場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算為例 來(lái)討論積分變量的統(tǒng)一問(wèn)題.由圖可知：dExdEydl 2 cos4 0rdl .2 sinEx dExEydEydl2 cos4 0rdl2 sin4 0r(6)上述三個(gè)變量中,共有三個(gè)相關(guān)變量：.、bro為了把積分計(jì)算出來(lái),必須把三個(gè)變4 0r量統(tǒng)一用某一個(gè)變量,可以八 l、r中的任一個(gè),或者用它的相關(guān)變

4、量來(lái)表示.究竟選哪一個(gè)好呢?如果選擇.為自變量,那么應(yīng)把 l、r都化作0的函數(shù)來(lái)表示.由圖示幾何關(guān)系可得:l a cotdl acse2 d22a cse于是得:2Ex cos sin 2 sin 114 0a4 0a2Ey sin cos 2 cos 114 0a4 0a好可把l或r作為自變量,把其他變量用 l或r統(tǒng)一來(lái)表示.實(shí)用中,一般用.作為自變量是比擬方便的.2、根本例題對(duì)于電荷線分布而求場(chǎng)強(qiáng)的習(xí)題,應(yīng)該掌握其基此題.單位圓弧的弧元dl ,電荷線密度 ,在圓心產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為:dl rddE224 0r 4 0r4 0rr當(dāng) 0.dE指向圓心；當(dāng) 0,背離圓心.如均勻帶電圓弧所張的圓心角為

5、,那么在圓心處所產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為：/2E 2 cos0dE20r 0/2cos dsin 22 0rrE的方向,沿著一徑向,當(dāng)2心,反之,背離圓心.0時(shí)指向圓段電荷的線密度為,長(zhǎng)為l的直線,求其延長(zhǎng)線上離開直線近端的距離為a的P點(diǎn)之場(chǎng)強(qiáng)(圖 210 2).該點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為:dEl dx4 0X24(8)r負(fù)號(hào)表小E的方向與x的方軸的正方向相反.電荷的線密度為,長(zhǎng)為l的直線,線外有一點(diǎn) P,它與直線的距離為 a.P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)可 由式5、6求得.掌握了上述三個(gè)根本例題后,遇到以它們?yōu)楦椎慕M合題,應(yīng)用疊加原理就可以方便地 算出結(jié)果.3、組合題例例1 一細(xì)玻璃棒被彎成半徑為 R的半圓形,沿著其上半部均勻地分布

6、著電荷有+Q,沿其下半均勻地分布著電荷一 Q圖2103.求半圓中央.處的電場(chǎng)強(qiáng)度.解法一上半部圓弧電荷在.處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)如應(yīng)用式7得：方向如圖.Ei以90°sin V 22Q""Z2 Z-22 0R 4 0R 20R下半部圓弧電荷在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)E2,應(yīng)用式7得:E2.900 sin 一22 0R. 2q4 0R 2旦與E2的合矢量指向x的正方向,其值為: 2QirR0cos45解法二在上半部圓弧上取一弧元dl Rd ,其上電荷為 dl辿,故有:積分后得:對(duì)下半部圓弧而言有:積分以后得:因此有:dEx1dEyiExiEyi2Q 2 cos4 0R22Q .2 sin

7、4 0R2Q2 2 0R2Q2 2 0R2dEx2dEy2Ex2Ey2/2cos/2sindEx2dEy2fcosR22 0R2sin2 2 0R2Ex1Ex2Q2 2 0R2EyEyi Ey2 0例2 一半徑為 R電荷線密度為的細(xì)圓環(huán),在環(huán)上有一個(gè)l的的小缺口.求圓環(huán)中央O處的電場(chǎng)強(qiáng)度.圖2 104七 2-10-4分析有小缺口的、細(xì)的帶電圓環(huán),可以看成為兩個(gè)對(duì)稱的小半圓環(huán)和一個(gè)l長(zhǎng)的弧段合成.兩個(gè)對(duì)稱的小半圓環(huán)在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)等值反向.故而抵消了.于是剩下l長(zhǎng)的弧段電荷,而它在 O點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)用點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式求得：場(chǎng)強(qiáng)的方向從荷電弧元指向圓心.還可將有小缺口的帶電圓環(huán), 看成一個(gè)完整的電荷線密度

8、為的圓環(huán)和一段長(zhǎng)為l荷電l的點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算荷密度為的小弧段疊加而成.這樣一來(lái),又變成了一個(gè)帶負(fù)電 了.當(dāng)然還可將環(huán)上各元段在 O點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)加以疊加計(jì)算而得.顯然這太麻煩了.由此可見,將復(fù)雜形狀的帶電體看成為簡(jiǎn)單形狀的帶電體疊加以及對(duì)稱性的分析,這二 點(diǎn),在場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算中是十分重要的.例3 一形狀如圖1105所示的絕緣細(xì)線,其上均勻分布著正電荷.電荷的線密度為,兩段直線長(zhǎng)均為a,半圓環(huán)的半徑為 R,試求環(huán)心處的電場(chǎng)強(qiáng)度.分析1由于左右兩段荷電直線對(duì) O點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)等值反向, 因此互相抵消了.于是只留下半圓環(huán)了.解荷電半圓在 O點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng),根據(jù)7式得：sin 一E 2 2 °R 2 °R方向

9、如下圖.如果圖2 105a改為圖210 5b,那么O點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)如何計(jì)算請(qǐng)讀者自習(xí).二、高斯定理真空中的高斯定理為：r r q?E ds -S0r電荷連續(xù)分布時(shí),用d或ds或 dl代 q.該式表；電場(chǎng)強(qiáng)度 E穿過(guò)封閉r r曲面俗稱高斯面,S的通量E dS是由高斯面中所包圍白電量代數(shù)和q決定的. -rS r r高斯定理說(shuō)的是q和E dS之間的相互關(guān)系,它不說(shuō)明q與封閉曲面S上E之S直接關(guān)系.然而這不等于說(shuō),在任何情況下都不可以用來(lái)求高斯面上的電場(chǎng)強(qiáng)度.場(chǎng)強(qiáng)的分布是由電荷決定的,因而場(chǎng)強(qiáng)的分布具有對(duì)稱性時(shí),就可用高斯定理來(lái)求高斯面上的場(chǎng)強(qiáng).我們的答復(fù)是：并非一切帶有對(duì)稱性的場(chǎng)強(qiáng)都可用高斯定理來(lái)求,而只

10、能說(shuō)某些具有對(duì)稱性的場(chǎng)強(qiáng)才可以用高斯定理來(lái)求.那么是否非對(duì)稱性場(chǎng)強(qiáng)就一定不可以用高斯定理來(lái)求場(chǎng)強(qiáng)呢我們的答復(fù)是不一定.1、怎樣合理選擇高斯面這是用高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)的一個(gè)重要的問(wèn)題.讓我們從簡(jiǎn)單的情況一求點(diǎn)電荷+q的場(chǎng)強(qiáng)開始談起：現(xiàn)在假設(shè)所要求的是 P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng).過(guò) P點(diǎn)作 的高斯面有圖2 106所示的幾種情況,哪一種合理r rr,圖210 6a： ?E ds 0 點(diǎn)電何未包圍在圖斯面中所以不能求出 E和qN間的關(guān)S2- 10- 6c、b、E dS ,但是0系.不包含點(diǎn)電荷作高斯面是不行的.那么是否包含了點(diǎn)電荷的高斯面圖d就是合理嗎對(duì)圖 2 106b、d兩種情況,高斯定理是成立的：這兩個(gè)高斯面上各點(diǎn)

11、的場(chǎng)強(qiáng)大小不等,積分號(hào)中E不能從中提出,因此這樣作高斯面的作法是不合理的.我們知道,點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)具有球?qū)ΨQ性,因此,如果以點(diǎn)電荷為中央過(guò)點(diǎn)一球面.那么該 高斯布各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方向沿半徑向外,且大小相等,這時(shí)積分號(hào)中的 E即可從側(cè)面r rEds中提出,即:r rr r r ro E dsEds - Eds心上底下底r r=0+0+ 仙向 Eds側(cè)面rEds= Eds= E2 rh側(cè)面?zhèn)让鎿?jù)高斯定理得:E2 rhQi0E 2 0r對(duì)于同一題,有時(shí)高斯面的選取不只有一種.例如,此題選取扇形柱體OOAABB的表面作高斯面,同樣是可以的,由于只有通過(guò)曲面AABB的電通量不為零.設(shè)/ AO展.,高斯面中包圍的

12、電量為h.故由高斯面可得：2r r r rhQ E ds Eds Eds E ds Er h：sAABBAA BBAA BB20于是E 2 0r結(jié)果與上一種高斯面的的取法相同.前面講的例子,都具有對(duì)稱性,一個(gè)是球?qū)ΨQ,一個(gè)是軸對(duì)稱的,那么,是否因此得出結(jié)論但凡具 有對(duì)稱性的 場(chǎng)強(qiáng)都 可 由高斯定理 來(lái)求呢不 行,能否說(shuō),但凡非對(duì)稱 場(chǎng)強(qiáng)都 一定不可以用高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)呢答復(fù)同樣是否認(rèn)的,請(qǐng)看圖 2 107.E從積分左圖中,電荷及場(chǎng)強(qiáng)的分布都具有對(duì)稱性,但是作不出一個(gè)高斯面能使所求的 號(hào)中提出來(lái).右圖中,一帶電導(dǎo)體面密度為的外表附近的場(chǎng)強(qiáng)可以用高斯定理來(lái)求.作一圓柱之E與底面垂直須大小處處相同,而

13、導(dǎo)體中的E為零,因此據(jù)高斯定理可得:體外表為高斯面,由于1圓柱體的底面積ds很小,且圓柱體的高度甚小,因此,穿過(guò)底面dsEdsE o這一例子充分而有力地證實(shí)了帶電導(dǎo)體外表內(nèi)外的場(chǎng)強(qiáng)雖然不對(duì)稱,但仍可用高斯定理求出場(chǎng)強(qiáng).關(guān)鍵并不在于場(chǎng)強(qiáng)是否對(duì)稱性,而在于所求之E能否從積分號(hào)中提出來(lái).高斯面的選取必須保證 E能從積分號(hào)中提出來(lái).還必須指出：不能應(yīng)用高斯定理求場(chǎng)強(qiáng),不等于高斯定理不成立.高斯定理是描述靜電場(chǎng)性質(zhì)的一條重要定理.它是具有普遍性的.3、基此題例應(yīng)用高斯定理來(lái)求場(chǎng)強(qiáng),常常是由幾個(gè)基此題組合而得.因此,掌握基此題的結(jié)果是十分重要的.這幾個(gè)基此題及其結(jié)果如下：一均勻帶電體線密度為入的無(wú)PM長(zhǎng)直

14、導(dǎo)線,與導(dǎo)線相距為a的點(diǎn)上之場(chǎng)強(qiáng)為 c一均勻帶電體線密度為入的無(wú)限長(zhǎng)薄圓筒,筒的半徑為R,離軸線距離為r的點(diǎn)之場(chǎng)強(qiáng).在圓外與無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電導(dǎo)線一樣,為 .一均勻帶電球面電荷面密度為半徑為R,離圓心距離為r的點(diǎn),在圓內(nèi)為零；在圓外,與點(diǎn)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度計(jì)算一樣,為 .一均勻帶電球,電荷體密度為,半徑為R,那么圓外距球心為 r之點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng),與點(diǎn)電荷-r. o場(chǎng)強(qiáng)一樣為 -q q-為球上的總電荷；在圓內(nèi)為一4 o r23無(wú)限大的均勻帶電面密度為的平面,離平面距離為 a的點(diǎn)之場(chǎng)強(qiáng)為 一.0上述結(jié)果,應(yīng)該記住.如果忘記了可用高斯定理方便地推導(dǎo)而得出.2、組合題例4無(wú)限長(zhǎng)的直線和無(wú)限長(zhǎng)的半徑為R的圓筒,同軸旋放

15、置,其上電荷線密度,分別為入、入,求場(chǎng)強(qiáng).在圓筒外,帶電圓筒場(chǎng)強(qiáng)的計(jì)算與電荷集中到軸線一樣.又由于直線和圓筒的線密度等值反向,故在圓筒外的合場(chǎng)強(qiáng)為零.E 2 0r例5如圖210 8.求P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng).場(chǎng)強(qiáng)rr r l-ri r203 0rE1相同,所以的球單獨(dú)存在時(shí),在圓筒內(nèi),帶電圓筒產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為零,故無(wú)限長(zhǎng)帶電直線對(duì)場(chǎng)強(qiáng)有作用,場(chǎng)強(qiáng)為解先設(shè)體密度為P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)E13 o總的r rE Ei E2上3 o 3 or rr由于r2、r1的方向與E2rrir 一 * . 一 、一x軸的正方向相反的.r的合矢量應(yīng)該是l , l的方向是與上述解法,起都是利用基此題的結(jié)果并應(yīng)用疊加原理來(lái)解的.這種作法,即謂疊加根底上的疊加.仿效此法,請(qǐng)讀者自作.R電荷體密度為 ,半徑為R其中挖去了半徑為-的一2個(gè)小球圖2109.求小球球心 02的場(chǎng)強(qiáng).三、從場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)的微分關(guān)系求場(chǎng)強(qiáng)r場(chǎng)強(qiáng)E r和電勢(shì)V r是從不同側(cè)面描述同一電場(chǎng)性質(zhì)的兩個(gè)物理量.場(chǎng)強(qiáng)或電勢(shì)一確定,就意味著確定了一個(gè)電場(chǎng).故兩者間必然存在一定的聯(lián)系.此聯(lián)系即為電勢(shì)梯度的負(fù)值rV等于E ,即：V rVrVr1jkxyz在直角坐標(biāo)系中：rE在柱坐標(biāo)系中:在球坐標(biāo)中:式中ir、例6電量關(guān)系求空間任一點(diǎn)Q均勻地分布在長(zhǎng)為V r V r V re eezzV r 1 V r erer rrsinez、er等分別是各坐標(biāo)方向的單位向量.21的細(xì)線上