反對稱張量在N維空間中的幾何意義

1、反對稱 X 量在 N 維空間中的幾何意義By wxy目錄 推廣的猜測、通過平面構(gòu)造二階 X 量 面量的根本性質(zhì) 面量的模 單位面量面量的“方向、意義 面量的“點乘 構(gòu)造四維二階 X 量 四維空間中平面間的位置關(guān)系 射影面積定理推廣 四維空間中平面間的夾角位置術(shù)語 高維空間“叉乘推廣 向量間的叉乘：求法平面 標(biāo)量與面量間的叉乘：求平面的法平面 叉乘與點乘的關(guān)系 1 標(biāo)量與標(biāo)量間的叉乘：得置換 X 量 面量與面量間的叉乘：得標(biāo)量 面量與面量間的叉乘的幾何意義 叉乘與點乘的關(guān)系2面量與奇異面量面量之和有意義的條件面量與向量的叉積：得到向量 推廣的猜測、通過平面構(gòu)造二階 X量X量是向量的推廣。在N維空

2、間中向量有N個分量，而X量那么有N的階數(shù)次方個分量。 因為X量、向量在歐氏空間中具有平移不變性，所以我們干脆只討論已經(jīng)平移到坐標(biāo)原點的X量。標(biāo)量0階X量可以表示N維空間中有“大小、“正負(fù)的原點；向量一階X量可以表示N維空間中過原點的一條有方向有“大小'長度的直線；由前面的例子我們希望二階X量能代表有“大小有“方向的過原點的平面，但我們該 怎么來具體表示呢？讓我們先從我們已經(jīng)熟知的表示方法開場。兩個在平面內(nèi)的不共線線性獨立的基底 a (x,乙禹,)、b (x2,y2,z2,t2,.)，我們怎 樣表示這個平面？n維空間中最一般的平面表示方法是p a b。但這個式子實際上是個極其簡陋原始的方

3、 程組，用起來不方便，我們平時熟知的在三維空間中表示平面的方法是表示它的法向量，即 n a b,但這條路在四維空間中走不通。因為四維空間中與平面完全絕對垂直的也是平面！“絕對垂直即在兩平面中各取任意一條直線，它們都垂直，詳見后面“四維空間中平面間的位置關(guān)系。我們希望二階X量能表示“大小，即a和b間圍成的平行四邊形的“面積， 我們假定面積也能正交分解，投影。考察任意一個坐標(biāo)面如 xOy平面，a和b間圍成的平行四 邊形的面積在這個坐標(biāo)面的投影為 x2 X2%，我們可以構(gòu)造一個X量F，使Fi,j aibj biaj， 即F a b a b。為了方便，我們記ab a b a b。正反并矢積之差面量的根

4、本性質(zhì)面量的模X量F即表示向量a和b所決定的平面，我們稱F為“面量，記為“ F 。三維空間中:0exyexz0X”2 丫兀X1z2NX20zyn (x, y,z)，F(xiàn)exy0eyz=%X2X20%Z2 陰2z0X 0我們exzeyz0Z1X2X1Z2%Z2 鋁0yX0這樣定義的所有面量都是反對稱X 量,面量的模為基向量a和b間平行四邊形的面積，即F Jx2 y2 z2。注意F既不等于det(F)，也不是F中每項元素的平方和開方，而是 F中每 項元素的平方和除以2再開方，那是因為二階反對稱 X量有一半的項只相差了正負(fù)號，而本質(zhì) 上是重復(fù)的，在計算時我們其實只需要一半的數(shù)據(jù)，故用2除去。面量的加法

5、就是對應(yīng)項相加單位面量0 1000100 0我們記單位面量Exy100 ,Exz000 ,Eyz001，那么任意一個面量都能寫0 001 0001 0成aExy bExz cEyz的形式三維空間中反對稱 X量都能對應(yīng)平面，但在四維空間中并不是每個反對稱X量都是面量，詳見后面高維空間叉乘推廣。面量的“方向、意義0 10010設(shè)基底 a (1,0,0)、b (0,1,0)，那么 ab=EXy1 00，而 ba1 00ab= EXy Eyx0 00000我們可以這樣理解Exy和Eyx間的關(guān)系：它們都表示xOy平面面積為1的面量，但一個是順時針，一個是逆時針。即一個面量不僅表示了過原點的平面和它的大小

6、面積，還表示了一種旋轉(zhuǎn)的方向。易知：兩個非零面量 A,B，A,B表示的過原點的平面一樣A kB(k R,k 0)。雖然面量的大小代外表積，但它不儲存任何形狀信息，所以我們不能規(guī)定面量代表的具體形狀，它 代表一個面積大小為面量的模的大小的任意一個有旋轉(zhuǎn)方向的圖形 面量的“點乘"規(guī)定兩面量間的點乘：F G FjGj/2，即對應(yīng)項積之和除以二。除以二的原因也一樣：去掉反對稱X量重復(fù)的分量。規(guī)定cos F ,G，不難證明F, G為F , G所表示的兩平面的夾角一面量在另一面量上投影的旋轉(zhuǎn)的方向與另一面量旋轉(zhuǎn)方向一樣為銳角，相反為鈍角。點乘滿足乘法分配率F (G H) F G F H點乘用同樣

7、的定義，但FGF G卻不是簡單的兩面量間夾角余弦值了。要解釋清楚四維面量間的構(gòu)造四維二階X量0exyexzext0eyzeyt由Fxyyz易知，任意一個面量都能寫成aExy bExz cExt d Eyz eEyt f Extexzeyz0eztyyyexteytezt0的形式。但并不是每個四維反對稱X量都是面量，詳見后面高維空間叉乘推廣兩面量間的點乘的幾何意義，我們首先得搞清四維空間中平面間的位置關(guān)系四維空間中平面間的位置關(guān)系共胞共重合無數(shù)交點三維空平行無交點，平移后可重合間相交有一條交線一般的二面角2mBA2m異胞共點只有一個公共點相離不平行無交點，平移后可共點或相交四維空間中平面A、B間

8、的角度關(guān)系需要用兩個參數(shù)描述。我們在一個平面 A（或B）上取遍所有 直線m, m與B（或 A）間所夾的線面角會有一個最大值 i和最小值2。線面角取最大值時的直線 m與線面角取最小值時的直線 m'相互垂直。射影面積定理推廣三維空間中的射影面積定理在四維空間中同樣成立，只是正方形面積元投影時兩邊在夾角 最大值方向和最小值方向上都要乘上角度的余弦值導(dǎo)致面積變?yōu)樵瓉鞢OS 4 COS 2倍。而數(shù)量積本質(zhì)是一個面量乘以另一個面量在它上面的投影，所以我們得到四維空間面量間的點乘的幾何 意義：F G = F G COS F,G max COS F,G min。而當(dāng)兩個平面共胞時最小角為2= 0它們的

9、交線方向為最小角方向，最大角為它們的二面角二面角的平面角的邊方向垂直于它們的交 線，即最大角方向，COS 4COS 2 =COS 4 COS0=COS 4，此時退化為三維空間中的射影面積定理。四維空間中平面間的夾角位置術(shù)語平行絕對平行：1= 2=0；即兩平面通過平移能真正完全重合。二面垂直半平行半垂直：1 = ,2=0；即兩平面通過平移能形成直二面角2絕對垂直:1= 2=；即兩平面中任意直線均相互垂直。2共胞共三維空間、半平行、成二面角：2=0；兩平面中存在直線相互平行 半垂直：i=；兩平面中存在直線垂直于另一平面。2等角：1= 2；兩平面中任意直線與另一平面所成線面角為一定值。高維空間“叉乘

10、推廣三維空間中兩向量叉乘得到的新向量是原來兩向量所決定的平面的法向量。而在四維空間 中兩向量叉乘得到的是新的二階X量一一是原來兩向量所決定的平面的法平面！我們可以類推 到N維空間中m階X量叉乘n階X量：得到的是一個表示原來兩 X量所決定的空間的法空間 的N (m n)階X量，因為原來兩 X量所決定的空間的維數(shù)為 m n,而法空間的維數(shù)為N (m n)。ab.ijkl.rstu. yzN個Bkl.rse tu.yzn個N (m n)個m! n!&為置換符號這個新X量的模為原來兩X量所圍成的平行多胞體的體積，且新X量的方向符合右手螺旋 定那么。這些高階X量仍是反對稱X量交換角標(biāo)置換符號反號

11、所致。所有叉乘都滿足乘法 分配率向量間的叉乘：求法平面易證：abba。0ztytyzzt0xtxzytxt0xyyzxzxy0ai bj ijkl 命其展開式為:這里為了簡便，我們把 x°2 yiX2簡單記作xy，其余同理 標(biāo)量與面量間的叉乘：求平面的法平面NN (N 1)Nj jklekl/(2!)由于標(biāo)量不占置換符號角標(biāo)上的位置，所以標(biāo)量位置變動不變號。叉乘與點乘的關(guān)系1將式子展開可證：a b ab 1 o這個式子的意義是兩向量的叉乘等于兩向量所決定的平面的法 平面面量。這個式子在N維空間中均成立如三維空間兩向量的叉乘等于兩向量所決定的平面的法向量標(biāo)量與標(biāo)量間的叉乘:得置換X量在

12、我們的印象當(dāng)中，11=1 1=1，這是雷打不動的 真理。但在我 們規(guī)定的叉乘運算中,=(1 1)=ijkl ejkl。面量與面量間的叉乘：得標(biāo)量 兩面量間的叉乘為兩面量所圍成四維圖形的“四維體積，且“四維體積的正負(fù)服從右手定那么即置換符號。兩面量所圍成四維圖形即兩面量代表圖形的的直積圖形。這個圖形體積與 兩面量代表圖形選取的形狀無關(guān)，只與兩面量代表圖形的面積有關(guān)。易證：A B BA。即滿足正交換律！因為面量占兩個置換符號的位置，這種交換被抵消，不變號。面量與面量間的叉乘的幾何意義 通過求兩面量間的叉乘為兩面量所圍成四維圖形假設(shè)為平行八胞體的“四維體積我們可 計算出兩面量對應(yīng)平面間的夾角關(guān)系。為

13、了方便，我們選兩面量代表圖形為兩條邊平行于兩平 面間最大角和最小角方向的單位正方形。 平行八胞體四維體積V4 v3h。V3指平行八胞體中任意一個平行六面體胞的三維體積,H為這個胞在平行八胞體中所對應(yīng)的高。 而V3 Sh。由幾何關(guān)系：假設(shè)H msin 1，Bsin A, B max sinA BcosA,B max cos那么 h m'sin 2A,BA,Bminmin聯(lián)立式子1 2可計算任意兩平面間夾角1和2HBA叉乘與點乘的關(guān)系2將式子展開可證：A B (AB) 1=(B 1) A (1 A) B (A 1) B。這有點像向量混合積的類比,但由于標(biāo)量不占置換符號，二階 X量占偶數(shù)個，

14、所以隨便交換不變號。根據(jù)面量叉乘的幾何意義，一個面量自身的叉乘應(yīng)為0xyxzxt0ztxy0yzytzt0F F F (1 F)xzyz0ztytxtxtytzt0yzxzdet(F) (xy zt xz yt0xyxzxt0。設(shè)一面量Fxy0yzytJxzyz0ztxtytzt0ytyzxtxz=xy ztxz ytyzxt=0。而0xyxy0X量行列式值都為0。我們稱yz xt)2=(F F)2，顯然不是所有反對稱行列式不為零的反對稱X量為奇異面量。任意一個奇異面量都能寫成兩個面量的和面量之和有意義的條件 設(shè)F,G為兩個非奇異面量，即F F=0,G G=0。而F G的奇異性那么通過下式表達(dá)

15、:G非奇異的充要條件為(F G)(F G) = F F F G G F G G 2F G。故可得 FF G=0。即兩面量共胞。所以四維空間中只有共胞面量相加才有意義面量與向量的叉積：得到向量面量與向量的叉積得面量與向量決定的三維空間胞的法向量，模為圍成的平行六面體F a F sin體積。幾何意義：丨1 這里的 是平面與向量的線面角，只有一個?；旌戏e與點積的推廣面量與向量的叉積代原始公式計算麻煩，下面給出化簡式：F a (F a) 1=(1 F) a但新問題又來了： 1 F是二階X量，a是一階X量向量我們得規(guī)定兩不同階向量間的點乘運算。為了使化簡式成立，我們先看化簡式左邊，先硬性展開。設(shè)0xyxzxtxy0yzytxzyz0ztxtytzt0a (x,y,z,t)，那么 Fyztyt zzt yxz txt zzt xxy txt yyt xxy zxz yyz x豎著寫是為了書寫方便a再整理一下得0 xzt yyt zyztzt x0 yxt zxz tyt xxt y0 zxy tyz x