人教版選修4-5第1章1.5.2綜合法和分析法

1、1.5.2 綜合法和分析法1理解綜合法和分析法的概念.2.會(huì)用綜合法、分析法證明較為簡單的不等式.尹自主預(yù)習(xí)全課前預(yù)習(xí)區(qū)_自學(xué)導(dǎo)引1. 綜合法：就是要從命題的已知條件出發(fā)，利用公理、已知的定義及定理，逐 步推導(dǎo)，從而最后導(dǎo)出要證明的命題.2. 分析法：從需要證明的命題出發(fā)，分析使這個(gè)命題成立的充分條件，利用已知的一些定理，逐步探索，最后達(dá)到命題所給出的條件(或者一個(gè)已證明過的定理或一個(gè)明顯的事實(shí)).基礎(chǔ)自測1.設(shè) a, bR+, A= a+ b, B= .a+ b,則 A、B 的大小關(guān)系是()A.a BB.ABD.A a+ b,只須證 a+ b+ 2 aba+ b,即 2 ab0, a, b

2、R+, 2 ab0, AB,選 C.答案 C2 若 1x10,下面不等式中正確的是()A. (lg x)2lg x2lg(lg x)2 2D.lg(lg x)(lg x) lg x解析 1x10, 0lg x1 ,Alg(lg x)x, lg x lg x(lg x),- lg x2(lg x)2lg(lg x)，選 D.B. lg x2(lg x)2lg(lg x)2 2C. (lg x) lg(lg x)b時(shí)，才有討出,答案 b+ m，當(dāng) a.b 時(shí),aa+ mb+ m當(dāng) ab 時(shí)，才有 a血1-1=也2XX x5zz z1又 Ovxv2. x3.1 1同理 z1, 110,v1-1 十-

3、12X1X2X1+X222X1+X21,X1+X23 .:X-1y-1知識(shí)點(diǎn) 2 分析法證明不等式Z-18【例2】已知函數(shù) f(x) = lg - 1 ,x 0,1，若X1,且X1|f(X1)+f(X2)fX1+X22 .證明要證明原不等式,只需證明Xl+X2121事實(shí)上：T0X1, X22,X1工X2,A1-11- 1-AX1X2X+2X1+X211144=- 2+ X1X2X1X2(X1+X2)X1+X22(X1X2) (1X1X2)X1X2(X1+X2)2即有 lg2反思感悟：在分析法中，每次所尋求的應(yīng)是使上一個(gè)結(jié)論成立的充分條件或充要條件，若只找到結(jié)論成立的必要條件則不一定能得到相應(yīng)的

4、結(jié)論從而造成證明上的邏輯錯(cuò)誤.話變畫遷移2.若 a、b R+,且 a+ b= 1,求證:? a+ b+ 1 + 2 a+ 舟 b+ 莽 4 ? ab+a-+b+41 ? ab(b+ 1)(c+ 1).丁 2a=x+y證明由條件，得 b2= cxc2= by盯&c+b，且有 a0, b0, c0.要證(a+ 1)2 (b+ 1)(c+ 1)只需證 a+ 1.(b+ 1)( c+ 1)T (b+1)(c+1)b+ c，而 2a=+ =，c bb22只需證 b+bb+C即 b3+ c3 bc(b+ c)， b2+ c2 bc bc(b c)2 0，上式顯然成立- (a+ 1)(b+ 1)(c

5、+ 1)得證.反思感悟：綜合法和分析法是思路完全相反的兩種方法 思路.綜合法易于表述，在證明較復(fù)雜的不等式時(shí)，有時(shí)把分析法和綜合法結(jié)合 起來使用話變式遷移3.已知 a、b 是不等的正數(shù)，且 a3 b3= a2 b2.4求證：1a+ ba + ab+ b = a+ b，且 a + b0，兩邊同除以 a + b，得 a+ b1.222可證 3(a+ b) 4(a+ b)，而 a+ b= a + ab+ b ,即 3(a2+ 2ab+ b2)0.2(a b) 0,. aMb,則不等式成立，4故 a+ b3 成立.課堂小結(jié)用綜合法和分析法證明時(shí)應(yīng)注意證明的思路和方向上的差別，一個(gè)是“執(zhí)因索果”，而另一

6、個(gè)則是“執(zhí)果求因”.在實(shí)際解題中，常用分析法思維，用綜合法表達(dá) .對(duì)于比較復(fù)雜的問題，常常把分析法和綜合法結(jié)合起來使用 隨堂演練.分析法易于探求解題欲證 a+ b即證 3(a+ b)0,1a+ b43.1.若 a, b, c R，且 ab+ bc+ ac= 1,則下列不等式成立的是()A.a?+ b?+ c?2B.(a+ b+ c)?3C.0-+ b-+12 3 a b c2 2 2 2解析 (a+ b+ c) = a + b + c + 2ab+ 2ac+ 2bc3(ab+ ac+ bc) = 3,故應(yīng)選 B.答案 B2已知 0a1b，下面等式中一定成立的是（）1解析I0a1b,則 loga

7、b0, logba0,且 logab = jogja，logab+ logba 2, -logab+logba + 2w 2 + 2 = 0,選 D.答案 D3.求證:.3+ 72+ 6. 證明.3+ 72 + 6?( 3+ 7)2(2+ . 6)2?10+ 2 2110 + 4 6 ? 212 6?210， y0，證明：(1 + x+y2)(1 + x2+ y) 9xy.證明因?yàn)?x0, y0.所以 1 + x+ y2 3x0, 1 + x2+ y 3x0,故(1 + x+ y2)(1 + x2+ y)3X 3x2y= 9xy.h 課時(shí)作業(yè)僅課后鞏固區(qū)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.a0, b0,下列不等式中不

8、成立的是（）A.a+討 2 c+ 右 a+ bD.abc(a+ b+A.logab+ logba+20B.logab+ logba 20C.logab+ logba+ 2 0D.logab+ logba+ 2 2abD+h2+土 a b a+b解析由 bg（o,+00）且 a （o,+00），得 b+a2，所以A成立，B顯aba ba b然成立，不等式 C 可變形為 a3+ b3a4 5b+ ab2? （a2 b2）（a b） 0.答案 D答案(2 + x+ y)( 2 + x)( 2 + y)52_ 4xy+ x y+ xy_=(2 + x+ y)( 2 + x)( 2 + y) 0，NM.

9、答案 NM5.設(shè) a、b、c R，且 a、b、c 不全相等，則不等式 a3+ b3+ c33abc 成立的一個(gè)by 的最大值為（AVa+/bA.2)a+ b+ 1B. 2C. a+ b(a+ b)2D.22.設(shè) a、b、x、y 均為正數(shù)，且 a、b 為常數(shù)，x、y 為變量，若 x+ y= 1，則，ax+解析故選 B.也+也=3.已知 xyz，且 x+y+z= 0,F 列不等式中成立的是（A.xyyzC.xyxz解析由已知 3xx+ y+z= 0,B.xzyzD.x|y|z|y|3z0，z0 得:xyxz.答案 C解析 N =盤+晉2 (x+ y+ xy)(2 + x)( 2 + y)N M =

10、2 2 2 2 2 2 2 24x+ 4y + 8xy+ 2x + 2x y+ 2y + 2xy ( 4x+ 4y+ 4xy+ 2x + 2y + x y + xy )充要條件是_.解析 a3+ b3+ c3 3abc= (a+ b+ c)(a2+ b2+ c2 ab ac bc) = g(a+ b+ (a b)2+ (b c)2+ (a c)22 2 2而 a、b、c 不全相等？(a b) + (b c) + (a c) 0 a3+ b3+ c3 3abc? a+ b+ c 0.答案 a+ b+ c0、a+ b6. 已知 |a|1, |b|1,求證：i+曲 1.a+ b證明 要證 i+ab

11、1,只需證|a+ b|1 + ab|,也只需證 a + 2ab+ b 0, 也就是(1 a2)(1 b2)0,I|a|1, |b|1 ,最后一個(gè)不等式顯然成立.因此原不等式成立.綜合提高7. 如果 0mba,那么()b+ mbb mA.coscos：vcosa+ maa m_ b b mb+ mB. coscos 0，y0, Mx+y=2 + x+ y，N二命+2+y，則M、N的大小關(guān)系是a a ma+ mb mbb+ mC. coscos：vcosa maa+ m_ b+ mb+ mbD. coscos coa+ ma ma解析用分析法易證(或用特值法),0bmab+m1.由 y=cos x

12、 在 o,n上是減函數(shù)可得.答案 A8.設(shè) 0ab, a+ b= 1,下列不等式正確的是()A.b2ab a2+ b2a2+ b2B. 2aba6+ b2b . a2+ b2C. 2abba2+ b2 a2+ b2D. 2aba2+ b2 a2+ b2b6 2 2 2 2 2 2 2上式即證 a c + 2abcd+ b d bc，則_ 與一尹的大小關(guān)系為解析Ia_ b0, b_c0,11m10.- 設(shè) a b c.且一 r + 恒成立，貝 U m 的取值范圍是- .a_ b b_ c a_c解析Ia bc, a_ b0. b_c0. a_c0.口11)11、又(a_c)百+嵐丿二(a_b)+

13、(b_c)百+嵐丿2 (a_b)( b_c) 2 寸 a_二 4, m (4.答案(x,411. 已知實(shí)數(shù) a, b, c, d,且 a2+ b2= 1, c2+ d2= 1,求證：|ac+ bd| 1.證明方法一：(分析法)要證 |ac+ bd| 1,只需證明(ac+ bd)2 1.即證 a2c2+ 2abcd+ b2d2 1.2 2 2 2 a2+ b2= 1, c2+ d2= 1. (ad be)20 成立. |ac+ bd| 1.方法二：(綜合法) a, b, c, d 都是實(shí)數(shù)，且 a2+ b2= 1, c2+ d2= 1,2 2 , 2,2a + c b + d- |ac+ bd| |ac|+ |bd|+2a2+ b2+ c2+ d2= =1.答案(a_ b)(b c)(b c)(a_ b)(a b) + ( b_c)a ca_ c2-(b_ c)cd ,貝則，a+ ,b . c+ . d；(2) a+ b .c+ .d 是|a b|v|c d|的充要條件.證明 (1)因?yàn)?.a+ _ b) = a+ b+ 2!ab ,(冷 c + . d) = c+ d+ 2 咕 cd, 由題設(shè) a+ b=c+ d , abcd ,得(,a+ , b)2( , c+ , d)2.因此 a+ b _c+ . d.2 2(2)若|a b|v|c d| ,則(a