七寶中學(xué)新信息背景下的數(shù)列問(wèn)題

1、、 . * 一、, . .1,定義：假設(shè)對(duì)任意n N ,數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn都為完全平方數(shù),那么稱數(shù)列an為 完全平方數(shù)列；特別的,存在n N,使得數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn為完全平方數(shù),那么稱數(shù)列an為“局部平方數(shù)列；2,n 1 一(1)假設(shè)數(shù)列an為“局部平方數(shù)列,且an- nN,求使數(shù)列an的前n項(xiàng)和S為完全2n1,n 2平方數(shù)時(shí)n的值；2(2)假設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn n t t N ,那么數(shù)列 bn是否為“完全平方數(shù)列 假設(shè)是,求出t 的值；假設(shè)不是,請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)試求所有為“完全平方數(shù)列的等差數(shù)列新信息背景下的數(shù)列問(wèn)題 例1nn*2,數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a a a

2、3,an 1 Sn 3 ,設(shè)bn Sn 3 , n N(1)求證：數(shù)列 bn是等比數(shù)列；(2)右an 1 an, n N ,求實(shí)數(shù)a的最小值； 3,n 1 一 一 .(3)當(dāng)a 4時(shí),給出一個(gè)新數(shù)列en,其中en,設(shè)這個(gè)新數(shù)列的前n項(xiàng)和為Cn,假設(shè)Cn可bn,n 2以寫成tpt,p N*且t 1, p 1的形式,那么稱Cn為“指數(shù)型和,問(wèn)：Cn中是的項(xiàng)是否存在 “指數(shù)型 和,假設(shè)存在,求出所有“指數(shù)型和；假設(shè)不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.新信息背景下的數(shù)列問(wèn)題例23 .如果存在常數(shù)a使得數(shù)列 an滿足：假設(shè)x是數(shù)列an中的一項(xiàng),那么a x也是數(shù)列 an中的一項(xiàng),那 么就稱數(shù)列an為“兌換數(shù)列,常數(shù)a是它

3、的“兌換系數(shù)(1)假設(shè)數(shù)列1,2,3, n m 4是“兌換系數(shù)為a的“兌換數(shù)列,求m和a的值；(2)假設(shè)又窮遞增數(shù)列bn是“兌換系數(shù)為a的“兌換數(shù)列,求證：數(shù)列 bn的前n項(xiàng)和Sn - a ;2(3)又窮等差數(shù)列Cn的項(xiàng)數(shù)是nono3,所有項(xiàng)之和是B,試判斷數(shù)列Cn是否為“兌換數(shù)列如果是,給欲證實(shí),并用no和B表示它的“兌換系數(shù)；如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.新信息背景下的數(shù)列問(wèn)題例3. 一. 一 一 一一* 一 .4 .設(shè)數(shù)列an滿足：ai1 ；所有項(xiàng)anN ；1aa?anan1 設(shè)集合. . * . . . _ . _ Amn|an m,m N ,將集合 Am中的兀素的最大值記為bm,即bm是數(shù)列

4、an中滿足不等式an m的所有項(xiàng)項(xiàng)數(shù)的最大值,我們稱數(shù)列bm為數(shù)列an的伴隨數(shù)列.入數(shù)列 1, 3, 5的伴隨數(shù)列為 1, 1, 2, 2, 3(1)假設(shè)數(shù)列 an的伴隨數(shù)列為1, 1, 1, 2, 2, 2, 3,請(qǐng)寫出數(shù)列 an ;設(shè)an 3n 1,求數(shù)列an的伴隨數(shù)列 bn的前30項(xiàng)和；(3)假設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn n2 c (其中c為常數(shù)),求數(shù)列an的伴隨數(shù)列bm的前m項(xiàng)和Tm新信息背景下的數(shù)列問(wèn)題例45 .對(duì)于數(shù)列A:a1,a2, 冏,假設(shè)滿足：a,0,1 i 1,2,3, ,n那么稱數(shù)列A為“0-1數(shù)列",定義變換T :將“0-1數(shù)列 A中原有的每個(gè)1變成0,1,原

5、有的每個(gè)0變成1.例如：A:1,0,1那么T A :0,1,1,0,0,1 ;設(shè) Ao 是“ 0-1 數(shù)列,令 Ak T Ak 1 , k 1,2,3(1)假設(shè)數(shù)列 A2 :1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,求數(shù)列 Ai,Ao；(2)假設(shè)數(shù)列A0共有10項(xiàng),那么數(shù)列 A中連續(xù)兩項(xiàng)相等的數(shù)對(duì)至少有多少對(duì)請(qǐng)說(shuō)明理由；假設(shè) 與：0,1,記數(shù)列Ak中連續(xù)兩項(xiàng)都是0的數(shù)對(duì)個(gè)數(shù)為 h k 1,2,3,求lk關(guān)于k的表達(dá)式新信息背景下的數(shù)列問(wèn)題例5 - 一 一* 一 _ _ . _ _6,數(shù)列An:81,82, ann 2,n N是正整數(shù)1,2,3,小的一個(gè)全排列,假設(shè)對(duì)每個(gè)k 2,3, ,n

6、都有ak ak 11 減3,那么稱An為H數(shù)列(1)寫出滿足a5 5的所有h數(shù)列A5；(2)寫出一個(gè)滿足a5k 5k k 1,2,403的H數(shù)列A2021的通項(xiàng)公式(3)在H數(shù)列A2021中,記bk a5k k 1,2, ,403 ,假設(shè)數(shù)列 bk是公差為d的等差數(shù)列,求證:新信息背景下的數(shù)列問(wèn)題例67,假設(shè)有窮數(shù)列a1,a2,nnan n 3 滿足：(1)ai0 ； (2) ai 1i 1那么稱該數(shù)列為“ n階非凡數(shù)列(1)分別寫出一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列的3階非凡數(shù)列和一個(gè)單調(diào)遞減的“4階非凡數(shù)列；,_、1*一.一(2)設(shè)k N ,假設(shè)設(shè)“ 2k 1階非凡數(shù)列是等差數(shù)列,求其通項(xiàng)公式;(3)記“

7、n階非凡數(shù)列的前 m項(xiàng)的和為Sm m 1,2,3, , n ,求證：Smn ai2 2n8.對(duì)于數(shù)列an ,把a(bǔ)i作為新數(shù)列bn的第一項(xiàng),把a(bǔ)i或ai i 2,3,4, ,n作為新數(shù)列bn的第i項(xiàng),數(shù)列bn成為數(shù)列an的一個(gè)生成數(shù)列.例如,數(shù)列 1 2, 3, 4, 5的一個(gè)生成數(shù)列是1, 2, 3,4,5;1數(shù)列 bn為數(shù)列 二 n N 的生成數(shù)列,Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和. 2(1)寫出S3的所有可能值；11一.(2)假設(shè)生成數(shù)列 bn滿足S3n - 1 ,求數(shù)列 bn的通項(xiàng)公式；78n2k 1(3)證實(shí)：對(duì)于給定的 n N ,Sn的所有可能值組成的集合為A x|x ,k N ,k 2n

8、12n新信息背景下的數(shù)列問(wèn)題例89 .有限數(shù)列An: a1,a2, ,an n 3同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：對(duì)于任意的i, j 1 i j n ,ai aj對(duì)于任意的i, j, k 1 i j k n ,qaj ,ajak,aiak三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)數(shù)是數(shù)列入中的項(xiàng)(1)假設(shè) n 4,且 a1 1,a2 2a a,a4 6,求 a 的值；(2)證實(shí)：2, 3, 5不可能是數(shù)列 An中的項(xiàng)；求n的最大值.新信息背景下的數(shù)列問(wèn)題例910 .對(duì)于實(shí)數(shù)x,將滿足“0 y 1且x y為整數(shù)的實(shí)數(shù) y稱為實(shí)數(shù)x的小數(shù)局部,用記號(hào)1X表示,對(duì)于實(shí)數(shù)a,無(wú)窮數(shù)列an滿足如下條件：a1忖,an 1 4冏 ,其中n

9、1,2,30,an 0(1)假設(shè)a <2 ,求數(shù)列an ;一 1(2)當(dāng)a 時(shí),對(duì)任意的n N ,都有an a ,求符合要求的實(shí)數(shù) a構(gòu)成的集合 A；假設(shè)a是有理數(shù), 4設(shè)a ( p是整數(shù),q是正整數(shù),p、q互質(zhì)),問(wèn)對(duì)于大于q的任意正整數(shù)n ,是否都有an 0成立, q并證實(shí)你的結(jié)論.新信息背景下的數(shù)列問(wèn)題例10m11.設(shè)數(shù)列an和bn的項(xiàng)均為m ,那么將數(shù)列和的距離定義為ai bi1(1)求出該數(shù)列1, 3, 5, 6和數(shù)列2, 3, 10, 7的距離；1 a(2)設(shè)A為滿足遞推關(guān)系an 1 n的所有數(shù)列 an的集合,bn和Cn為A中的兩個(gè)元素,且項(xiàng)數(shù)1 an均為m ,假設(shè)b12,C

10、13 ,bn和Cn的距離小于2021,求m的最大值；記S是所有7項(xiàng)數(shù)列an |1 n 7, an 0或1的集合,T S ,且T由任何兩個(gè)元素的距離大于或等于3,證實(shí)：T中的元素個(gè)數(shù)小于或等于16新信息背景下的數(shù)列問(wèn)題2021北京西城一模12 .數(shù)列 An :a1,a2,a3, , an n N , n 2 滿足 a1 an 0 ,且當(dāng) 2 k n k N 時(shí), n2ak ak 11 ,記 S Anaii 1(1)寫出S A5的所有可能的值；(2)求S An的最大值；13 .設(shè)數(shù)列 an共有m m 3項(xiàng),記該數(shù)列前i項(xiàng)a1,a2,d中的最大項(xiàng)為A ,該數(shù)列后 m i項(xiàng)ai i,ai 2, ,am

11、 中的最小項(xiàng)為 B A Bi I 1,2,3, ,m 1(1)假設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an 2n,求數(shù)列ri的通項(xiàng)公式； 假設(shè)數(shù)列an滿足a1 1,ri2,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)試構(gòu)造一個(gè)數(shù)列an,滿足anbnCn,其中bn是公差不為零的等差數(shù)列,Cn是等比數(shù)列,使得對(duì)于任意給定的正整數(shù) m,數(shù)列ri都是單調(diào)遞增的,并說(shuō)明理由.新信息背景下的數(shù)列問(wèn)題歷年好題精選314 .設(shè)fk n是關(guān)于n的k k N次多項(xiàng)式,數(shù)列 an的首項(xiàng)a1 1 ,前n項(xiàng)和為Sn,對(duì)于任意的正整數(shù) n,an Sn fk n都成立(1)假設(shè)k 0,求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；(2)試確定所有的自然數(shù) k ,使得an能成等差數(shù)列；新信息背景下的數(shù)列問(wèn)題歷年好題精選415 .數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,假設(shè)對(duì)任意的正整數(shù) n,總存在正整數(shù) m,使得Sn a