湖北省黃岡市2020屆高三上學(xué)期第五屆高考測(cè)評(píng)活動(dòng)元月調(diào)考(期末)數(shù)學(xué)(理)試題

1、2020年湖北省第五屆高考測(cè)評(píng)活動(dòng)高三元月調(diào)考數(shù)學(xué)試卷（理科）2020.1.7本試題卷共4頁(yè)，22題。全卷滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1 . 已知集合 A=x|y=、：m,集合 B=x|xx2 <0,則 aC!b =A.B. x|x ：:1C. x|0 :二 x dD. x|x :二 0答案：D2 .復(fù)數(shù)z =4上出的虛部為1 2iA. iB. -iC.1D. -1答案：D3. 若直線x+y+a =0平分圓x2 +y2 _2x+4y+1 =0的面積，貝（J a的值為A. 1B.

2、-1C. 2D. -2答案：A4. 已知向量 AB =（1,2） , BC =（x,-5），若 AB BC =7 ,則 |AC |=A. 5B. 4.2C. 6D. 5.2答案：A5.圖1是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制的一幅“勾股圓方圖”（又稱“趙爽弦圖”），它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，受其啟發(fā)，某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)圖形，它是由三個(gè)全等2所示，若AD=5, BD=3,則在整個(gè)的鈍角三角形與中間一個(gè)小正三角形拼成一個(gè)大正三角形，如圖圖形中隨機(jī)取點(diǎn)，此點(diǎn)來(lái)自中間一個(gè)小正三角形（陰影部分）的概率為6.7.A. _9_64C. -225答案:A. 5C. 13答案:將甲、D

3、圖2x 2y _1*CB. 449D.2y滿足約束條件2x +y 21 ,則z =3x -2y的最小值為x。y _ 0B. 5D.-3乙、丙、丁四人分配到 A, BC三所學(xué)校任教，每所學(xué)校至少安排1人，則甲不去 A學(xué)校的不同分配方法有A.18 種B.24 種C.32 種D.36 種答案：B8.已知實(shí)數(shù)x >0 , y A0 ,則“ xy <1 ”是 “ 2x+2y M4” 的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案：BITIT9.將函數(shù)f (x) =2sin(2x -)的圖象向左平移 -個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到g(x)的圖象.若g(xj

4、.66g%) =9,且xi，x2引-2元,2汨，則xi -x2的最大值為A.二B. 2二C. 3二D. 4二答案：C1210 .關(guān)于函數(shù)f (x) = (1 +)有下列結(jié)論： x e -1圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；在 (,0)上單調(diào)遞增；f(x)恒大于0.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是A.B.C.D.答案：D11 .已知拋物線C： x2 =2py的焦點(diǎn)為F ,定點(diǎn)M (2,3,0),若直線FM與拋物線C相交于A, B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在F , M中間)，且與拋物線 C的準(zhǔn)線交于點(diǎn) N ,若| BN |二7 | BF | ,則AF的長(zhǎng)為A. 7B. 18C. 7D. 36答案：C1 1512 .如圖

5、，在 MBC中，cos/BAC=，點(diǎn)D在線段BC上，且BD=3DC, AD =，則&ABC的面積的 42最大值為B. 4A. 3, 2C. ,15D. 2. 3答案：C二、填空題(本大題共 4小題，每題5分，共20分)13 .在log2 0.2, 20.2, 0.20.3三個(gè)數(shù)中，則最大的數(shù)為 .答案：2。2214 .已知F是雙曲線C： x2匕=1的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn) P在C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|OP|=|OF |,則AOPF的面 3積為.答案：3215 .設(shè)數(shù)列a。滿足3 =a ,(，十1)(1 a。)=2a0(nN*),若數(shù)列，的前2019項(xiàng)的乘積為 3,則a =答案：216 .已知函數(shù)

6、 f (x) =(x+1) sinx+cosx ,若對(duì)于任意的 必 X2 w 0 衛(wèi)(用 #x2),均有 | f (xj - f (x2) |< a |ex1ex2 | ''2成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .答案：a _1 三、解答題：本大題有 6小題，共60分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17 .(本小題滿分10分)已知函數(shù) f (x) =2sin xcos(x + ) +-.32(1)求f (現(xiàn))的值；12(2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間./1)73【斛析】(I)因?yàn)?f(x) = 2sinx cos x -sin x + 1222 2= 1si n&

7、gt;2一一 U1下2 -3 six 235 二5 二 二 1l 八所以 f j=sin + 1=5分.12632(2) f(x)的最小正周期 T=2=m7分令 2k 兀W2x + 蕓2k + 解得 k冗Ex Ek ：+ 2321212_ .5冗, 冗_(dá) .所以f (x )的單調(diào)增區(qū)間為ku- -,k什而(YZ) 10分dO (本小題滿分12分)18.已知數(shù)列an滿足 a1 =1 , an+an+=4n1, n=1,2,3 ,(1)求數(shù)列%的通項(xiàng);(2)設(shè) Sn =a1a2 -a2a3 a3a4 a4a5*a2na2n -a2na2n+，求 Sn .【解析】(1)an +an+ =4n1,n

8、=1,2,3 二 an+an =4(n1)1,n =2,3,4 一 得 an + an.=4, n =2,3 2分n 1當(dāng)n為奇數(shù)，為=1*4一一1n2n T,當(dāng)n為偶數(shù)，為=2十4口一1戶”212n -1,n為奇數(shù) 所以an =12n 2,n為偶數(shù)(2)Sn=a2(a1- a3)'a4(a3一 a5)' 'a2n(a2n一a2n1)2 4n-2 n 212分= (Y)(a2 a4 %：a2n) = 4 = -8n19.(本小題滿分12分)已知 f (x) =kxsin 2x+asin x (k, a 為實(shí)數(shù)).1320.(1)當(dāng)k=0, a =2時(shí)，求f(x)在0m上

9、的最大值；(2)當(dāng)k=4時(shí)，若f(x)在R上單調(diào)遞增，求a的取值范圍.【解析】(1)當(dāng) k=0, a =2時(shí)，f (x) =_sin2x+2sin x'2f (x) = -2cos2x 2cosx - -4cos x 2cos x 2 =2(2cosx 1)(1 - cosx)x吟2冗T,2冗 (-,h)3f (x)+0f(x)增函數(shù)極大值減函數(shù)6分(2) f (x)在 R 上單調(diào)遞增，貝U f'(x) =4 2(cos2x sin2 x)+acosx 20對(duì) VxW R恒成立.得 4cos2 x -a cosx -6 <0 ,設(shè) t =cosx w 1-1,1 則g(t

10、) <0在1,1上恒成立，由二次函數(shù)圖象g(t)=4t2at6,Ig(-1)<0/日r ,得一2WaW2.g(1)£012分(本小題滿分12分)22已知橢圓r：二十與=1(a Ab >0)的離心率為，點(diǎn)A為該橢圓的左頂點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)F(c,0)的直線l與橢a b2圓交于B, C兩點(diǎn)，當(dāng)BC_Lx軸時(shí)，三角形 ABC的面積為18.(1)求橢圓F的方程；(2)如圖，當(dāng)動(dòng)直線 BC斜率存在且不為0時(shí)，直線x = c分別交直線 AB, AC于點(diǎn)M、N,問x軸上是否存在點(diǎn)P,使得PM _LPN ,若存在求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在說(shuō)明理由.'c 1a -22【解析】（1）

11、由已知條件得W1Mja+cXtnlg,解得a=4,b=2732，a2.2,2a =b +c2所以橢圓r的方程為：十162y12=1.(2)設(shè)動(dòng)直線BC的方程為y = k(x2), B(x1,y1)|、C(x2,y2),則直線 AB、AC的方程分別為y = -y （x +4 ）和 y =x1 4y2x2 4(x+4 ),所以點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為 6y1'6y2M 2,y-、N 2,】x#4J、 X2+4Jy =k x -2聯(lián)立x2 y2得（3+4k2 ）x2 -16k2x+16k2 48 = 0 ,二116 12所以16k2x1 x2 =37"1'216k2-4823

12、4k于是yM Ln =6y1x1 4 x2436k2 x1 -2 x2 -2X 4 x> 436k22216k2-48 16k2,：-22+4v 3 + 4k 3 + 4k16k2 -48 ， 16k2423 4k 3 4k-91610分2.假設(shè)存在點(diǎn)P（t,0 ）滿足PM _LPN ,則（t2） +yMyN=0,所以t=1或5,12分所以當(dāng)點(diǎn)P為（_1,0.（5,0 ）時(shí)，有PM _LPN .21.（本小題滿分12分）黃岡“一票通”景區(qū)旅游年卡，是由黃岡市旅游局策劃，黃岡市大別山旅游公司推出的一項(xiàng)惠民工程，持有旅游年卡一年內(nèi)可不限次暢游全市19家簽約景區(qū).為了解市民每年旅游消費(fèi)支出情況

13、（單位：百元）相關(guān)部門對(duì)已游覽某簽約景區(qū)的游客進(jìn)行隨機(jī)問卷調(diào)查，并把得到的數(shù)據(jù)列成如下所示的頻數(shù)分布表：組別0,20)2030)40,電網(wǎng)他）80,100)105M4001S812（1）求所得樣本的中位數(shù)（精確到百元）；（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可近似地認(rèn)為市民的旅游費(fèi)用支出服從正態(tài)分布N/45 152若該市總?cè)丝跒?5n萬(wàn)N （45,15 ）人，試估計(jì)有多少市民每年旅游費(fèi)用支出在7500元以上；（3）若年旅游消費(fèi)支出在 40 （百元）以上的游客一年內(nèi)會(huì)繼續(xù)來(lái)該景點(diǎn)游玩現(xiàn)從游客中隨機(jī)抽取3人，一年內(nèi)繼續(xù)來(lái)該景點(diǎn)游玩記 2分，不來(lái)該景點(diǎn)游玩記 1分，將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，且游客之間 的選擇意愿

14、相互獨(dú)立，記總得分為隨機(jī)變量X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)士 尸（一（T+三0一6827 ； F-2仃+ 宅 0_9545g久注一3。XjU +3口 胃 0.9973.）|【解析】（1）設(shè)樣本的中位數(shù)為x ,則 工+空 +生040_）= 0 5,1000 1000 100020解得x=45 ,所得樣本中位數(shù)為 45 （百元）.2分（2） N =45,仃=15, N +2。=75,旅游費(fèi)用支出在7500元以上的概率為 P(x>k +2d 1 = 1-P("-2.<x< "*2)21 -0.9544=0.0228 ,20.0228父750=17.1,估計(jì)

15、有17.1萬(wàn)市民旅游費(fèi)用支出在 7500元以上.(3)由表格知一年內(nèi)游客繼續(xù)來(lái)該景點(diǎn)游玩的概率為3 , X可能取值為3, 4, 5, 65P(X =3 )= I-=15)1253651251/3 丫2用=4 )= C3 I '3 15人5 JP(X=5k 32 Gb 1255427125836542724E X =3-45一6一 二一125125125125 5故其分布列為X3456P812536125541252712512分22.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f (x) =aln x -(x-1)ex,其中a為非零常數(shù).(1)討論f(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；為 f (x)(2)

16、若ae, (i)證明：f (x)在區(qū)間(1,土叼內(nèi)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；(ii )設(shè)A為f (x)的極值點(diǎn)，x的零點(diǎn)且x >1 ,求證：Xo +2ln % >x1._2 x【解析】(1)解：由已知，f(x)的定義域?yàn)?0,y),且f'(x)=axex = a-x e xx2 x因此當(dāng)a<0時(shí)，axe <0 ,從而f (x)<0,所以f(x)在(0,十力)內(nèi)單調(diào)遞減，無(wú)極值點(diǎn)當(dāng)a>0時(shí)，令g(x)=a -x2ex,則由于g(x )在h+°° )上單調(diào)遞減，g( 0 )=a > 0 ,g(，a )=a ae"a =a(1

17、e"a )<0,所以存在唯一的 x0 w(0,+笛),使得 g(x0 )=0 ,所以當(dāng) x w (0, x0 )時(shí)，g (x )>0 ,即 f (x )>0 ；當(dāng) xw (x0,+m )時(shí)，g(x)< 0 ,即 f (x )<0所以當(dāng)a>0時(shí)，f (x/(0,也)上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn). 5分2 x a -x e(2)證明：(i )由(1)知 f (x) =.令 g(x) = ax2ex，由 ae得 g(1)=a e>0,所以xg (x )=0在(1,+8 )內(nèi)有唯一解，從而 f (x)=0在(0,+8 )內(nèi)有唯一解，不妨設(shè)為 x0,則f (x )在(1,x0)上單調(diào)遞增，在(x0,+笛)上單調(diào)遞減，所以x0是f (x)的唯一極值點(diǎn).1令h(x) =lnxx+1 ,則當(dāng)x>1時(shí)，h (x) =- -1 <0,故h(x)在(1,十厘)內(nèi)單調(diào)遞減，從而當(dāng) x>1時(shí), xh(x)<h(1) = 0，所以 lnx<x1.從而當(dāng) ae時(shí)，lna>1,且f ln a = aln In a) In a 7 elna : a In a -1) In a 7 a = 0又因?yàn)閒(1)=0,故f(x心(1,+g )內(nèi)有唯