收斂數(shù)列的性質(zhì)-8精選文檔

1、§ 2.2 收斂數(shù)列的性質(zhì)教學(xué)內(nèi)容：第二章數(shù)列極限一一§ 2.2 收斂數(shù)列的性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)：熟悉收斂數(shù)列的性質(zhì)；掌握求數(shù)列極限的常用方法 .教學(xué)要求：（1）使學(xué)生理解并能證明數(shù)列性質(zhì)、極限的唯一性、局部有界性、保號(hào)性、保不等 式性；（2）掌握并會(huì)證明收斂數(shù)列的四則運(yùn)算定理、迫斂性定理，并會(huì)用這些定理求某些收斂數(shù)列的極限.教學(xué)重點(diǎn)：迫斂性定理及四則運(yùn)算法則及其應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)列極限的計(jì)算.教學(xué)方法：講練結(jié)合.教學(xué)過(guò)程：引言上節(jié)引進(jìn)“數(shù)列極限”的定義，并通過(guò)例題說(shuō)明了驗(yàn)證 lim% a的方法，這是極限較基本 n的內(nèi)容，要求掌握.為了學(xué)習(xí)極限的技巧及其應(yīng)用極限來(lái)解決問(wèn)題 .還需要

2、對(duì)數(shù)列的性質(zhì)作進(jìn)一 步討論.一、收斂數(shù)列的性質(zhì)性質(zhì)1 （極限唯一性） 若數(shù)列m收斂，則它的極限唯證法一 假設(shè)a與b都是數(shù)列an的極限，則由極限定義，對(duì) 0, Nl，N2 Y,當(dāng)n N1 時(shí)，有 & a； n N2 時(shí)，有 an b .取N maXM）,則當(dāng)n N時(shí)有由的任意性，上式僅當(dāng)a b時(shí)才成立.證法二（反證）假設(shè)an極限不唯一，即至少有兩個(gè)不相等的極限值，設(shè)為 a，blim an a nlim an b n且2 b故不妨設(shè)2 b,取由定義,N1 *,當(dāng)n M時(shí)有an aan a又N2¥,當(dāng)n N2時(shí)有an ban ba ban an矛盾,因此極限值必唯因此，當(dāng)n maX

3、MN）時(shí)有n2 n性質(zhì)2（有界性）如果數(shù)列an收斂，則an）必為有界數(shù)列.即M 0,使Xn有1anl M證明設(shè)"man a M 1,N0使得當(dāng)n N時(shí)有ana 1即|an| |a|ana| 1| an| | a | 1. 令M max（1 | a |,| a1 |,| a? |, ,| aN |）則有對(duì)n 1an| M即數(shù)列an有界.注：有界性只是數(shù)列收斂的必要條件，而非充分條件，如 （ 1）n）.在證明時(shí)必須分清何時(shí)用取定，何時(shí)用任給.上面定理3.2證明中必須用取定 ，不能用任給，否則N隨在變，找到的M也隨在變，界M的意義就不明確了 .lim an a lim an b性質(zhì)3 （保

4、序性）設(shè)n, n ,（1）若a b,則存在N使得當(dāng)n N時(shí)有an bn ； 若存在N ,當(dāng)n N時(shí)有an bn ,則a b （不等式性質(zhì)）N1時(shí)a b 0證明 （1）取2,則存在N1 ,當(dāng)nan 從而又存在N2n N2時(shí)1bn b| aTbn b當(dāng) n max(Ni,N2)時(shí)bn（2）（反證）如a b,則由知必 N當(dāng)n N時(shí)an 這與已知矛盾.推論（保號(hào)性）若"man a b則N,當(dāng)n N時(shí) b.特別地，若"m an a 0,則N ,當(dāng)n N時(shí)an與a同號(hào). lim an lim bn 思考如把上述定理中的an bn換成第 bn ,能否把結(jié)論改成n n ? 0lim an

5、a ilim an、- a例設(shè)an 0 （ n 1,2，），若n，則n '證明 由保序性定理可得 a 0,若a 0,則0, N1,當(dāng)n M時(shí)有an2 Vanpm a 0 Va I若a 0,則 0,電，當(dāng)n N2時(shí)有Ian al，a數(shù)列較為復(fù)雜，如何求極限？性質(zhì)4 （四則運(yùn)算法則）且若an、bn都收斂,則an bnan bn、anbn也都收斂,特別地,lim can nclim ann ,c為常數(shù)如再有l(wèi)im bn nan0則仁也收斂，且an lim n b nlim an nlim bn nan1證明由于an bnan （ 1）bn, bnbn ,故只須證關(guān)于和積與倒數(shù)運(yùn)算的結(jié)論即可-

6、lim an a lim bnbn N 1nzi a a設(shè) n n , n n ,0,Ni ,當(dāng) n Ni 時(shí)an aN2時(shí)bn b取N maXNiNz）,則當(dāng)n N時(shí)上兩式同時(shí)成立(1)lanbn ab| | (an a)bna(bn b) | | an a |bn | | a |bn b|由收斂數(shù)列的有界性，M 0,對(duì)n有1bn| M故當(dāng)n N時(shí)，有由的任意性知1nlm anbnablim bn b 0(2) n.由保號(hào)性，N00及k 。，對(duì)k回n山有也| k （如可令 2取N max（N0，N2）,則當(dāng)n N時(shí)有I 11 I |bn b| | bn b|bnb|bn b| k |b |

7、k 1 b 1 ,由的任意性得11lim n bn b用數(shù)學(xué)歸納法，可得有限個(gè)序列的四則運(yùn)算:但將上述N換成,一般不成立.事實(shí)上k 1或k 1本身也是一種極限，兩種極限交換次序 是個(gè)非常敏感的話題，是高等分析中心課題，一般都不能交換，在一定條件下才能交換，具體 什么條件，到后面我們會(huì)系統(tǒng)研究這個(gè)問(wèn)題.性質(zhì)5 （兩邊夾定理或迫斂性）設(shè)有三個(gè)數(shù)列an> bn> Cn，如N，當(dāng)n N時(shí)有an Cn bn,且 niman 14 1 ,則 1 g 1.證明 nim an nim bn 1o, MN,當(dāng) n N1 時(shí)，1 an 1；當(dāng)“ N2時(shí)，1 bn 1，取N。 max（N1，N2，N），

8、則當(dāng)n N0時(shí)以上兩式與已知條件中的不等式同時(shí)成立，故有nN0時(shí)1 anCnbn 1|Cn1 |即"mCn1 .該定理不僅提供了一個(gè)判定數(shù)列收斂的方法，而且也給出了一個(gè)求極限的方法推論若 N ,當(dāng) n N 時(shí)有 aCnbn （或bnCna ）且!bna ,則1 cna .n,.、lim 0例求證n n! （ a 0）.證明 k ¥使彳3k a,從而當(dāng)n k時(shí)有kkaaa alim lim 一由于n k! n k! n n 0由推論即可得結(jié)論lim n on nn例設(shè)a1, a2,，am是m個(gè)正數(shù)，證明n位1a2ammax&,a2.,am)n n n證明 設(shè)A max

9、(a1，a2, am),則 A Va1a2nam,mAlimnJm1,由迫斂性得結(jié)論.g lim n/a1例1 n(a1)在證明中，令n.a0 a (1hn)。hnan ,由此推出hn 0由此例也看出由xnZnlim xnyn和n nlimnyn也推出LikaI , 例2證明nim證明令訴1hn,兩邊火推出hn0,即n.n1在求數(shù)列的極限時(shí)，常需要使用極限的四則運(yùn)算法則,下舉幾例:lim求極限n,24n 6n 1 3n2limn4n2 6n3n2limn61萬(wàn) 常1_9_萬(wàn)T2求極限limn(1(0 a1)limnlim (1 anlim (n3n 1) nlimn3n 1limnlim (3

10、 n11)lim (1)lim求口mamnam 1nkk 1bknbk na1n a0b1n b0m k,0 bk 0m k一 amnlim解原式nbkm k 1am inbk in 11 kankaon,1 kkbinbon即有理式的極限分子分母最高次數(shù)相同分子最高次低于分母最ambm0, m k,為最高次系數(shù)之比 高次，則為03, 22n4n5lim 3如 n 3n10n 7' n111lim lim 一 例 7 "mJnGn 1 Vn) n日 n 廠 1112.lim n an bnmaX a ,b)例8設(shè)a，b 0 ,證明n) 證明 max(a ,b) &&#

11、39;max(a,b)n van bn'2max(a ,b)n max( a ,b)數(shù)列的子列 （一）引言極限是個(gè)有效的分析工具.但當(dāng)數(shù)列an的極限不存在時(shí)，這個(gè)工具隨之失效.這能說(shuō)明什么呢？難道an沒(méi)有一點(diǎn)規(guī)律嗎？當(dāng)然不是！出現(xiàn)這種情況原因是我們是從“整個(gè)”數(shù)列的特征角度對(duì)數(shù)列進(jìn)行研究.那么，如果“整體無(wú)序”，“部分”是否也無(wú)序呢？如果“部分”有序， 可否從“部分”來(lái)推斷整體的性質(zhì)呢？簡(jiǎn)而言之，能否從“部分”來(lái)把握“整體”呢？這個(gè)“部 分?jǐn)?shù)列”就是要講的“子列”.（二）子列的定義定義1設(shè)an為數(shù)列，nk為正整數(shù)集N的無(wú)限子集，且n n2 n3 L 限L ,則數(shù)列an1 , an2 ,

12、L , ank , L稱為數(shù)列an的一個(gè)子列，簡(jiǎn)記為 ank .注1由定義可見，an的子列an的各項(xiàng)都來(lái)自an且保持這些項(xiàng)在an中的的先后次 nknn序.簡(jiǎn)單地講，從an中取出無(wú)限多項(xiàng)，按照其在an中的順序排成一個(gè)數(shù)列，就是an的一個(gè)子列(或子列就是從 an中順次取出無(wú)窮多項(xiàng)組成的數(shù)列)注2子列an中的nk表示ank是an中的第g項(xiàng)，k表示a-是a、中的第k項(xiàng)，即時(shí) kkkkk中的第k項(xiàng)就是an中的第nk項(xiàng)，故總有nkk .特別地，若“ K,則ankan ,即ankan注3數(shù)列an本身以及an去掉有限項(xiàng)以后得到的子列，稱為 an的平凡子列；不是平凡子列的子列，稱為 an的非平凡子列.如a2k

13、, a2ki都是an的非平凡子列.由上節(jié)例知：數(shù)列 與它的任一平凡子列同為收 斂或發(fā)散，且在收斂時(shí)有相同的極限.那么數(shù)列an的收斂性與的非平凡子列的收斂性又有何關(guān)系呢？此即下面的結(jié)果:定理2.8 數(shù)列an收斂的充要條件是：an的任何非平凡子列都收斂.證明 必要性：設(shè)1nlm an a，ank是an的任一子列.任給0,存在正數(shù)N,使得當(dāng)k N八 八一 一 一a ar c i時(shí)有aka .由于nkk，故當(dāng)k N時(shí)有nkN ,從而也有nK，這就證明了 ank收斂(且與an有相同的極限).充分性：考慮3的非平凡子列a2k, a2k1與a3k .按假設(shè)，它們都收斂.由于a6k既是a2k,又是久4的子列，故由剛才證明的必要性,kima2k尸26kKim a3k.又a6k 3既是a2k 1又是a3k的子列，同樣可得lim a2k 1 lim kka3k.(10)(9)式與(10)式給出所以由課本例7可知為收斂.由定理2. 8的證明可見，若數(shù)列鋸的任何非平凡子列都收斂，則