正十七邊形尺規(guī)作圖與詳解

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔解讀“數(shù)學(xué)王子”高斯正十七邊形的作法一、高斯的傳奇故事高斯(Carl Friedrich Gauss 1777.4.301855.2.23),德國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家。 有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工廠(chǎng)工頭的父親計(jì)算工人們的周薪。父親算了好一會(huì)兒，終于將結(jié)果算出來(lái)了?？墒侨f(wàn)萬(wàn)沒(méi)想到，他身邊傳來(lái)幼嫩的童音說(shuō)：“爸爸，你算錯(cuò)了，總數(shù)應(yīng)該是”父親感到很驚異，趕忙再算一遍，結(jié)果證實(shí)高斯的答案是對(duì)的。這時(shí)的高斯只有3歲！高斯上小學(xué)了，教他們數(shù)學(xué)的老師布特勒(Buttner)是一個(gè)態(tài)度惡劣的人，他講課時(shí)從不考慮學(xué)生的接受能力，有時(shí)還用鞭子懲罰學(xué)生。有一天，布德勒讓全班學(xué)生計(jì)算1+2

2、+3+4+5+98+99+100 =?的總和，并且威脅說(shuō)：“誰(shuí)算不出來(lái)，就不準(zhǔn)回家吃飯！”布德勒說(shuō)完，就坐在一旁獨(dú)自看起小說(shuō)來(lái)，因?yàn)樗J(rèn)為，做這樣一道題目是需要些時(shí)間的。小朋友們開(kāi)始計(jì)算：“1 + 2 =3, 3+3 =6, 6+4 =10 ,”數(shù)越來(lái)越大，計(jì)算越來(lái)越困難。但是不久，高斯就拿著寫(xiě)著解答的小石板走到布德勒的身邊。高斯說(shuō)：“老師，我做完了，你看對(duì)不對(duì)？ “做完了？這么快就做完了？肯定是胡亂做的！”布德勒連頭都沒(méi)抬，揮揮手說(shuō)：“錯(cuò)了，錯(cuò)了！回去再算！”高斯站著不走，把小石板往前伸了伸說(shuō)：“我這個(gè)答案是對(duì)的?！辈嫉吕仗ь^一看，大吃一驚。小石板上寫(xiě)著5050 , 一點(diǎn)也沒(méi)有錯(cuò)！高斯的算法

3、是1 + 2 +3 + +98 +99 + 100100 +99 + 98 + +3+ 2+1101 +101 +101 + 101 +101 +101 =101 X100 =10100神童高朝10100 +2=5050高斯并不知道，他用的這種方法，其實(shí)就是古代數(shù)學(xué)家經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期努力才找出來(lái)的求等差數(shù)列和的方法，那時(shí)他才八歲！1796年的一天，德國(guó)哥廷根大學(xué)。高斯吃完晚飯，開(kāi)始做導(dǎo)師給他單獨(dú)布置的三道數(shù)學(xué)題。前兩道題他不費(fèi)吹灰之力就做了出來(lái)了。 第三道題寫(xiě)在另一張小紙條上：要求只用圓規(guī)和沒(méi)有刻度的直尺，作出一個(gè)正十七邊形。這道題把他難住了一一所學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)竟然對(duì)解出這道題沒(méi)有任何幫助。時(shí)間一分一

4、秒的過(guò)去了，第三道題竟毫無(wú)進(jìn)展。他絞盡腦汁，嘗試著用一些超常規(guī)的思路去尋求答案。當(dāng)窗口露出曙光時(shí)，他終于解決了這道 難題。當(dāng)他把作業(yè)交給導(dǎo)師時(shí)， 感到很慚愧。他對(duì)導(dǎo)師說(shuō)：“您給我布置的第三道題， 我竟然做了整整一個(gè)通宵， ”導(dǎo)師看完作業(yè)后，激動(dòng)地對(duì)他說(shuō)：“你知不知道？你解開(kāi)了一樁有兩千多年歷史的數(shù)學(xué)懸案！阿基米得沒(méi)有解決，牛頓也沒(méi)有解決，你竟然一個(gè)晚上就解出來(lái)了。你是一個(gè)真正的天才！”原來(lái)，導(dǎo)師也一直想解開(kāi)這道難題。那天，他是因?yàn)槟缅e(cuò)了，才將寫(xiě)有這道題目的紙條交給了學(xué)生。在這件事情發(fā)生后，高斯曾回憶說(shuō)：“如果有人告訴我，那是一道千古難題，我可能永遠(yuǎn)也沒(méi)有信心將它解出來(lái)。”1796年3月30日，

5、當(dāng)高斯差一個(gè)月滿(mǎn)十九歲時(shí)，在期刊上發(fā)表關(guān)于正十七邊形作圖的問(wèn)題。他顯然以此為自豪，還要求以后將正十七邊形刻在他的墓碑上。然而高斯的紀(jì)念碑上并沒(méi)有刻上十七邊形，而刻著一顆十七角星，原來(lái)是負(fù)責(zé)刻紀(jì)念碑的雕刻家認(rèn)為：“正十七邊形和圓太像了，刻出來(lái)之后，每個(gè)人都會(huì)誤以為是一個(gè)圓?！?877年布雷默爾奉漢諾威王之命為高斯做一個(gè)紀(jì)念獎(jiǎng)?wù)隆Ｉ厦婵讨骸皾h諾威王喬治 V.獻(xiàn)給數(shù)學(xué)王子高斯(Georgius V. rex Hannoverage Mathematicorum principi): 自那之后，高斯就以"數(shù)學(xué)王子"著稱(chēng)于世。二、高斯正十七邊形尺規(guī)作圖的思路(這里是純?nèi)欠?作正十

6、七邊形的關(guān)鍵是作出 cos ,為此要建立求解cos 的方程。1717設(shè)正17邊形中心角為a ,則17 0c =2冗，即16 0c =2 % a故 sin16 a = sin a ,而sin16 民= 2sin8 a cos8 a= 4sin4 a cos4 a cos8 a=8 sin2 a cos2 a cos4 a cos8 a=16 sin a cos a cos2 a cos4 a COS8 a因sin a汽，兩邊除以sin a ,有16cos a cos2 a C0s4 a C0s8 a = 1由積化和差公式，得4(cos a +cos3 a)(cos4 a +cos12 oc)=

7、1展開(kāi)，得4(cos a cos4 a +cos a C0s12 a +cos3 a C0s4 a +cos3 a C0s12 a) = 1再由積化和差公式，得2(cos3 a +cos5 a)+ (cos11 +cos13 oc)+(cos a +cos7 a) + (cos9 a+cos15 a)=注意至U cos11 a =cos6 a , C0s13 a =C0s4 a , C0s9 a =C0s8 a , C0s15 a =C0s2 a ,2(cos a +cos2 a +cos3 a +cos4 a +cos5 a +cos6 a +cos7 a +cos8 a) = 1設(shè) a =

8、 2(cos a+ cos2 a+cos4 a+ cos8 Ot),b=2(cos3 a+ cos5 a+cos6 a+ cos7 a),則 a + b = 1又 ab = 2(cos oc +cos2 a +cos4 a +cos8 * 2(cos3 a +cos5 oc +cos6 oc +cos7 2= 4cos Ot(cos3 oc +cos5 oc +cos6 oc -Pcos7 Ot)+4cos2 Ot(cos3 oc +cos5 oc +cos6 oc+ cos7 oc)+ 4cos4 Ot(cos3 oc +cos5 a +cos6 a +C0S7 a)+4cos8 a(cos

9、3 a +C0S5 a + cos6 a +cos7 a)再展開(kāi)之后共16項(xiàng)，對(duì)這16項(xiàng)的每一項(xiàng)應(yīng)用積化和差公式，可得：ab=2 (cos2 a +cos4 Ot)+(cos4 a +cos6 Ot)+(cos5 a +cos7 Ot)+(cos6 a +cos8 a) 十 (cos a +cos5 Ot) + (cos3 a +C0S7 a) + (C0S4 a +C0S8 a)+ (C0S5 a +C0S9 a) + (COS a +COS7 a) + (COS a+COS9oc)+(COS2 a+COS10a) +(COS3 a+COS11oc)+(COS5 a +COS11a) 十 (

10、COS3 a +COS13 a) + (COS2 a +COS14 a)+ (COS a +COS15 a)注意到J COS9 a =COS8 a , COS10 a =COS7 a , COS11 a =COS6 a , COS13 a =COS4 a ,COS14 a =COS3 a , COS15 a =COS2 a ,有ab =2 X4(cos a +cos2 a +COS3 a +COS4 a +COS5 a +COS6 a +COS7 a +COS8 oc)= 一cos -) + cos 1717-)1722因?yàn)?COS a +COS2 a +COS8 a =(COSb17=2co

11、s - cos 3cos 一 = 2cos 一 (cos17171717又 0 < < < 1732所以cos > 1 172即 cos a +cos2 a +cos8 a > 0又因?yàn)?cos4 a =cos > 017所以 a= cos a +cos2 a +cos4 a +cos8 a > 0又 ab = -4< 0所以有a > 0 , b< 0可解得文案大全1 a=.171 J72再設(shè) c = 2(cos 民-Hcos4 a), d=2(cos2 民 +cos8 a),貝1J c+d =acd = 2(cos oc+ cos4

12、 a) 2(cos2 a+ cos8 訃=4 (cos Otcos2 oc -kcos Otcos8 oc +cos4 Otcos2 oc +cos4 Otcos8 oc)=2 (cos oc -Pcos3 Ot)+(cos7 oc +cos9 oc)+ (cos2 oc +cos6 Ot) + (cos4 oc +cos12 oc)注意至U cos9 oc =cos8 oc , cos12 oc =cos5 oc ,有cd =2(cos oc +cos3 Ot)+(cos7 oc +cos8 a) + (cos2 a +cos6 Ot) + (cos4 a +cos5 a)=2( cos a

13、 +cos2 a +cos3 a +cos4 a +cos5 a +cos6 a +cos7 a +cos8 a)=-1因?yàn)?0 < a < 2 a < 4 a < 8 a < 兀所以 cos a > cos2 a , cos4 a > cos8 a兩式相力口得 cos a +cos4 a> cos2 a +cos8 a或 2(cos a +cos4 a)> 2(cos2 a +cos8 a)又 cd =-1 < 0所以有可解得c= ad=a、a2 42類(lèi)似地，設(shè) e=2(cos3 oc +cos5 oc), f = 2(cos6 a

14、 +cos7 a)則 e+f = bef = 2(cos3 民 +cos5 * 2(cos6 民 +cos7 *=4(cos3 Otcos6 oc -Pcos3 Otcos7 oc +cos5 Otcos6 oc +cos5 Otcos7 a)=2 (cos3 a+cos9 a) + (cos4 a +cos10 a)+ (cos a+cos11 a) + (cos2 a +cos12 刈注意到J cos9 a =cos8 a , COS10 a =COS7 a , COSlI a =COS6 a , COS12 a =COS5 a , 有ef = 2(cos3 a +COS8 Ot) + (

15、cos4 a +COS7 oc) + (COS a +COS6 Ot) + (cos2 a +COS5 oc)=2( COS a +COS2 a +COS3 a +COS4 a +COS5 a +COS6 a +COS7 a +COS8 oc)=-1因?yàn)?0 < 3 oc < 5 oc < 6 oc < 7 oc < 兀所以有 COS3 a > COS6 a , COS5 a > COS7 a兩式相加得 COS3 a +COS5 oc> COS6 a +COS7 a2(cos3 a +COS5 oc)> 2(cos6 a +COS7 oc)

16、即 e > f ,又 ef = -1 < 0所以有e > 0 , f < 0可解得b . b2 4b b2 4e=,【f=2'2由 C= 2(COS a +COS4 oc),得 COS a +COS4 a =1,即 COS 2y + COS 8y = -ce = 2(cos3 a +COS5 oc),應(yīng)用積化和差公式， 得 COS 0CCOS4 a =-,即 COS COS 41717因?yàn)?<17<2,所以cos 2 >cos >017所以2cos =17c c2 4e4，8cos1717c . c2 4e4于是，我們得到一系列的等式:a

17、 _1 J17 b _1、172，2，c=a a2 42b . b2 4e二22cos =17cc2 4e4有了這些等式，只要依次作出a、b、c、e,便可作出2cos 。17步驟一:給一圓 O ,作兩垂直的半徑OA、OB ,作 C 點(diǎn)使 OC = 1/4OB ,作 D 點(diǎn)使/ OCD = 1/4 ZOCA ,作AO延長(zhǎng)線(xiàn)上 E點(diǎn)使得/ DCE = 45度。步驟二：作AE中點(diǎn) M ,并以 M為圓心作一圓過(guò) A點(diǎn)，此圓交 OB于F點(diǎn)，再以D為圓心，作一圓過(guò)F點(diǎn)，此圓交直線(xiàn) OA于G4和G6兩點(diǎn)。步驟三：過(guò)G4作OA垂直線(xiàn)交圓 。于P4 ,過(guò)G6作OA垂直線(xiàn)交圓 。于P6 ,則以圓O為基準(zhǔn)圓， A為

18、正十七邊形之第一頂點(diǎn)P4為第四頂點(diǎn)， P6為第六頂點(diǎn)。連接P4P6 ,以1/2弧P4P6為半徑，在圓上不斷截取，即可在此圓上截出正十七邊形的所有頂點(diǎn)。歷史最早的十七邊形畫(huà)法創(chuàng)造人為追迎高斯(17771855 年)，德國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家。在童年時(shí)代就表現(xiàn)出非凡的數(shù)學(xué)天才。三歲學(xué)會(huì)算術(shù)，八歲因發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列求和公式而深得老師和同學(xué)的欽佩。1799年以代數(shù)基本定理的四個(gè)漂亮證明獲得博士學(xué)位。高斯的數(shù)學(xué)成就遍及各個(gè)領(lǐng)域，其中許多都有著劃時(shí)代的意義。同時(shí)，高斯在天文學(xué)、大地測(cè)量學(xué)和磁學(xué)的研究中也都有杰出的貢獻(xiàn)。1801年，高斯證明：如果 k是質(zhì)數(shù)的費(fèi)馬數(shù)，那么就可以用直尺和圓規(guī)將圓周k等分。高斯本人就是根據(jù)這個(gè)定理作出了正十七邊形，解決了兩千年來(lái)懸而未決的難題。道理當(dāng)時(shí)，如果高斯的老師告訴了高斯這是道2000多年沒(méi)人解答出來(lái)的題目，高斯就不會(huì)畫(huà)出這個(gè)正十七邊形。這說(shuō)明了你不怕困難，困難就會(huì)被攻克，當(dāng)你懼怕困難，你就不會(huì)勝利。正十七邊形的證明方法正十七邊形的 尺規(guī)作圖 存在之證明