定積分的證明題44題

1、f(x)dx 00。an of (x)dx。題目1證明題 容易d x證明 (x t) f (t)dt f(x) f(a) dx a題目2證明題 容易利用積分中值定理證明:lim 4 sinn xdxn 0 0題目3證明題一般設(shè)函數(shù)f(x)在a,b內(nèi)可導(dǎo)，且f(a) 0,a 證明：在a,b內(nèi)至少存在一點(diǎn)使f ()題目4證明題 一般設(shè)f (x)f (x a)，na證明：當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)o f (x)dx題目5證明題 一般10xn(1 x)mdx1證明：xm(1 x)ndx0題目6證明題 一般設(shè)f (x)在a,b上有定義,且對a,b上任意兩點(diǎn)x, y, 有f (x) f(y) x y.則f (x)在a

2、,b上可積,且f (x)dx (b a) f (a)-(b a)2。2題目7證明題一般設(shè)f (x)在a,b上的連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且f(a) f (b)0.b2證明:4 f(x)dx M(b a),其中M sup f (x)aa x b題目8證明題一般設(shè)f (x)在a,b上正值，連續(xù)，則在 (a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)b使 f(x)dx f(x)dx2ba f(x)dx 。1題目9證明題證明：02 si nn 1xdx0刁 si nnxdx0題目10證明題 求證丄-般dx0,234 x x2題目11證明題一般設(shè)f(x)在區(qū)間(a,b)上連續(xù)，且在(a,b)內(nèi)任一閉 區(qū)間上積分為零，證明f(x

3、)在(a,b)內(nèi)恒等于零。題目12證明題 一般 若函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù)，a 321 a2證明:ox f(x )dx § ° xf (x)dx (a 0)。題目13證明題一般設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在a,b上連續(xù)，b2 b 2b 2證明:f(x)g(x)dx2f 2(x)dx g2(x)dxaaa題目14證明題一般設(shè)f (x)在0,1上連續(xù)，sin )d證明：02 f (sin2 )cos d04 f(sin2 )(cos題目15證明題一般設(shè)f(x)在a,b上可導(dǎo),且f (x) M, f(a) 0,bMe證明:a f (x)dx M (b a)2題目16證明題一般設(shè) f

4、(x)在0,2a,(a 0)上連續(xù)，2aa證明：f(x)dx 0f(x) f(2a x)dx題目17證明題一般設(shè)k為正整數(shù)，證明:2(1) cos kxdx(2) sin 2kxdx題目18證明題一般f(0) 1.設(shè)f(x)在0,1上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且f(1)1 2試證：。f (x) dx 1。題目19證明題一般若m為正整數(shù)，證明：02cosmx sinmxdx2 m2 cos xdx0若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，bb貝f (x)dx (b a) a fa (b a)xdx題目21證明題 一般設(shè)函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù),證明：02 f (cosx)dxf(cosx )dx。題目22證明題

5、 一般x若函數(shù)f(x)在R連續(xù)，且f(x)f(t)dt,則f(x) 0a設(shè)f(x)是以 為周期的連續(xù)函數(shù)，2證明：0 (sinx x)f (x)dx 0 (2x題目24證明題一般設(shè)f (x)在0,1上連續(xù)且單調(diào)遞減， 試證明:對于任何q 0,1,都有不等式q1、o f (x)dx q ° f (x)dx成立。題目25證明題一般設(shè)f (x)在a,b上單調(diào)增加.且f (x)0.證明:(b a) f (a) f (x)dx (b)f (x)dxf(b)2a題目26證明題一般設(shè)函數(shù)f(x)在a, b上連續(xù)且單調(diào)遞增。F(x)x b)F(a)f(a),證明：F(x)在a,b上單調(diào)增.題目27證

6、明題一般設(shè)f (x)在a,b上二階可導(dǎo)且f (x)0,證明：f (x)dx (b a)f()。，證明函數(shù)題目28證明題一般設(shè)f (x)在a,b上連續(xù)，在a,b可導(dǎo)，且f (x)F(x)f(t)dt試證：如果f(x)在a,b上連續(xù)，且對于一切x a,b, f(x) 0-一 b同時(shí)至少存在一點(diǎn)a, b,使f( ) 0,貝Vf (x)dx 0。a題目30證明題一般試證 f (c x)dxc af (x)dx。c b題目31證明題一般設(shè)函數(shù)f(x)在0,1上可微，且滿足等式:1f (1) 2xf(x)dx 0試證在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使f ()f()設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，并且對于每一個(gè)在a,

7、bb上的連續(xù)函數(shù)g(x).都有 g(x)f(x)dx 0a證明：f (x)0(a x b)。題目33證明題難設(shè)函數(shù)f (x)在a,b上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)f (x，且f (a) 0,bb a b '2貝yf (x) f (x)|dxa f (x) dx。題目34證明題難設(shè)f(x)在a,b上二階連續(xù)可微，其中a 0 b,則在該區(qū)間上必存在一個(gè)，使f(x)dxa2f (a)1 2bf(b) af (a) -b2 f (b)133(b3 a3)f ( o) o3!題目35證明題難若f (x)關(guān)于x T對稱，且a T b,bb2Tb則 a f(x)dx 2 T f(x)dx a f (x)dx試證I1-

8、4 dx1 -1 -4d-題目37證明題難證明奇函數(shù)的一切原函數(shù)皆為偶函數(shù), 偶函數(shù)的原函數(shù)中有一為奇函數(shù)。設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，且f(x) 0,又F(x)f(t)dt證明：F(x) 0在 a,b內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根題目39證明題難aa2 1aa2 1證明:當(dāng) a 1 時(shí)，有f(x2 -y)- dxf (x 一)- dx1x2 x 1x x題目40證明題難若函數(shù)f (x)在0,連續(xù)，且m f (x)貝貝：limx1 x-0 f(t)dtx 0A。A,題目41證明題 難b證明：若 f (x)dx 0貝Vf(x) 0 x a,b。a設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，1 x證明:lim f (t h) f(t)dt f (x) f (a) (a x b)。 n 0 h a題目43證明題難設(shè)