特殊三角形存在性問題

1、 承 載 信 任 助 力 圓 夢特殊三角形的存在性問題1、 等腰三角形存在性問題(一)例題講解例1.在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且AC=12，BD=16，E為AD的中點，點P在BD上移動，若POE為等腰三角形，則所有符合條件的點P共有_個(二)課堂練習1.操作：在ABC中，AC=BC=2,C=90°，將一塊等腰直角三角板的直角頂點放在斜邊的中點P處，將三角板繞點P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點，圖是旋轉(zhuǎn)三角板得到的圖形中的其中三種.探究：（1）三角板繞點P旋轉(zhuǎn)，觀察線段PD和PE之間有什么大小關(guān)系？它們的關(guān)系為 ，不必寫出證明過程.（本問1分

2、）（2）三角板繞點P旋轉(zhuǎn)，PBE能否成為等腰三角形？若能，指出所有情況（即求出PBE為等腰三角形時線段CE的長）；若不能，請說明理由. （本問4分）（3）若將三角板頂點放在斜邊上的M處，且AMMB=1n（n為大于1的整數(shù)），和前面一樣操作，試問線段MD和ME之間又有什么大小關(guān)系？仿照圖、圖、圖的情況，請選擇一種，寫出證明過程.（本問滿分3分，仿照圖得1分、仿照圖得2分、仿照圖得3分；圖供操作、實驗用）.2.已知：如圖，在直角坐標系xOy中，邊長為2的等邊的頂點在第一象限，頂點在軸的正半軸上. 另一等腰的頂點在第四象限，現(xiàn)有兩動點，分別從，兩點同時出發(fā)，點以每秒1個單位的速度沿向點運動，點以每秒

3、3個單位的速度沿運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨即停止 （1）求在運動過程中形成的的面積與運動的時間之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；圖（2）在等邊的邊上（點除外）存在點，使得為等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點D的坐標；3.如圖，在直角梯形OABC中， OACB，A、B兩點的坐標分別為A（15，0），B（10，12），動點P、Q分別從O、B兩點出發(fā)，點P以每秒2個單位的速度沿OA向終點A運動，點Q以每秒1個單位的速度沿BC向C運動，當點P停止運動時，點Q也同時停止運動線段OB、PQ相交于點D，過點D作DEOA，交AB于點E，射線QE交軸于點F設(shè)動點P、Q運動時間為t（

4、單位：秒）（1）當t為何值時，四邊形PABQ是等腰梯形，請寫出推理過程；（2）當t2秒時，求梯形OFBC的面積；（3）當t為何值時，PQF是等腰三角形？請寫出推理過程4已知：如圖，平行四邊形ABCD在平面直角坐標系中，AD=6.OA、OB的長是關(guān)于的方程的兩個根，且OA>OB.(1)求cosABC的值；(2)若E是軸正半軸上的一點，且，求經(jīng)過D、E兩點的直線的解析式，并判斷AOE與DAO是否相似，同時說明理由；(3)點M在平面直角坐標系中，點F在直線AB上，如果以A、C、F、M為頂點的四邊形為菱形，請直接寫出F點坐標。（此問與等腰三角形的存在性問題一致）5.（2013綿陽）如圖，二次函數(shù)

5、y=ax2+bx+c的圖象的頂點C的坐標為（0，-2），交x軸于A、B兩點，其中A（-1，0），直線l：x=m（m1）與x軸交于D。（1）求二次函數(shù)的解析式和B的坐標；（2）在直線l上找點P（P在第一象限），使得以P、D、B為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似，求點P的坐標（用含m的代數(shù)式表示）；ABCDOxyl（3）在（2）成立的條件下，在拋物線上是否存在第一象限內(nèi)的點Q，使BPQ是以P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，請求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由。6.（2013山西）綜合與探究：如圖,拋物線與x軸交于A,B兩點(點B在點A的右側(cè))與y軸交于點C,連接BC,以BC為

6、一邊,點O為對稱中心作菱形BDEC,點P是x軸上的一個動點,設(shè)點P的坐標為（m，0），過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q（1）求點A,B,C的坐標。（2）當點P在線段OB上運動時，直線l分別交BD，BC于點M,N。試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形，此時，請判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由。（3）當點P在線段EB上運動時，是否存在點 Q，使BDQ為直角三角形，若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。7、（2013寧波）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（0，4），點B的坐標為（4，0），點C的坐標為（4，0），點P在射線AB上運動，連結(jié)CP與y軸交于

7、點D，連結(jié)BD過P，D，B三點作Q與y軸的另一個交點為E，延長DQ交Q于點F，連結(jié)EF，BF（1）求直線AB的函數(shù)解析式；（2）當點P在線段AB（不包括A，B兩點）上時求證：BDE=ADP；設(shè)DE=x，DF=y請求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（3）請你探究：點P在運動過程中，是否存在以B，D，F(xiàn)為頂點的直角三角形，滿足兩條直角邊之比為2：1？如果存在，求出此時點P的坐標：如果不存在，請說明理由8、如圖，已知：矩形ABCD,AB=6,BC=4,點P從點B出發(fā)在邊BC上以每秒2個單位的速度向點C運動，過點P作射線PMBC交AD于點M,同時點Q從點P出發(fā)沿射線PM以每秒6個單位的速度運動，當點P到達點C

8、時，所有點均停止運動.在整個運動過程中，取PQ的中點E，以QE為直角邊在射線PM的右側(cè)作RtQEF，使兩直角邊之比為3:4（即QE:EF=3:4）,設(shè)運動時間為t秒.(1) 當點F在CD上時，求出此時t的值.(2) 求出QF經(jīng)過點D時t的值.(3) 設(shè)直角三角形QEF與矩形ABCD重疊部分的面積是S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式. (4) 直接寫出CPF為等腰三角形時t的值.9如圖，在ABC中，ABAC10cm，BC16cm，DE4cm動線段DE(端點D從點B開始)沿BC邊以1cm/s的速度向點C運動，當端點E到達點C時運動停止過點E作EFAC交AB于點F(當點E與點C重合時，EF與CA重合)，連

9、接DF，設(shè)運動的時間為t秒(t0) (1) 直接寫出用含t的代數(shù)式表示線段BE、EF的長； (2) 在這個運動過程中，DEF能否為等腰三角形？若能，請求出t的值；若不能，請說明理由；(3) 設(shè)M、N分別是DF、EF的中點，求整個運動過程中，MN所掃過的面積ABCDEF2、直角三角形存在問題 (一)例題講解 例1.如圖，拋物線，與軸交于點，且 （I）求拋物線的解析式； （II）探究坐標軸上是否存在點，使得以點為頂點的三角形為直角三角形？若存在，求出 點坐標，若不存在，請說明理由；（III）直線交軸于點，為拋物線頂點若，的值(二)課堂練習1如圖，直角梯形ABCD中，ADBC，ÐB90&#

10、186;，AB12cm，BC9cm,DC13cm，點P是線段AB上一個動點.設(shè)BP為xcm，PCD的面積為ycm2.（1）求AD的長；（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當x為何值時，y有最大值？最大值是多少？ （3）在線段AB上是否存在點P，使得PCD是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由.2.已知拋物線 （1）求拋物線頂點M的坐標； （2）若拋物線與x軸的交點分別為點A、B（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點N為線段BM上的一點，過點N作x軸的垂線，垂足為點Q當點N在線段BM上運動時（點N不與點B，點M重合），設(shè)NQ的長為t，四邊形NQAC的面積為S，求S與t之間的函

11、數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍； （3）在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P，使PAC為直角三角形?若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由3.如圖，已知二次函數(shù)的圖象過x軸上點A（，0）和點B，且與y軸交于點C.（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）若點P是直線AC上一動點，當OPB=90°時,求點P坐標.（3）若點P在過點C的直線上移動，只存在一個點P使OPB=90°,求此時這條過點C的直線的解析式.4.已知拋物線如圖1所示，現(xiàn)將以y軸為對稱軸進行翻折，得到新的拋物線.(1)求拋物線的解析式；(2)在圖1中,將OAC補成矩形,使OAC的兩個頂點成為矩形一邊的兩

12、個頂點,第三個頂點落在矩形這一邊的對邊上,請直接(不需要寫過程)寫出矩形的周長； （與直角三角形的存在性問題類似）(3)如圖2,若拋物線的頂點為M，點P為線段BM上一動點(不與點M、B重合),PNx軸于N，請求出PC+PN的最小值.相似三角形的存在性問題(一)例題講解例1.如圖1，已知拋物線的頂點為A（2，1），且經(jīng)過原點O，與x軸的另一個交點為B。求拋物線的解析式；若點C在拋物線的對稱軸上，點D在拋物線上，且以O(shè)、C、D、B四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求D點的坐標；連接OA、AB，如圖2，在x軸下方的拋物線上是否存在點P，使得OBP與OAB相似？若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由

13、。例1題圖圖1圖2(二)課堂練習1.已知拋物線經(jīng)過及原點（1）求拋物線的解析式（2）過點作平行于軸的直線交軸于點，在拋物線對稱軸右側(cè)且位于直線下方的拋物線上，任取一點，過點作直線平行于軸交軸于點，交直線于點，直線與直線及兩坐標軸圍成矩形是否存在點，使得與相似？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由（3）如果符合（2）中的點在軸的上方，連結(jié)，矩形內(nèi)的四個三角形之間存在怎樣的關(guān)系？為什么？2.如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，點A在x軸上，點C在y軸上，將邊BC折疊，使點B落在邊OA的點D處。已知折疊，且。（1）判斷與是否相似？請說明理由；（2）求直線CE與x軸交點P的坐

14、標；（3）是否存在過點D的直線l，使直線l、直線CE與x軸所圍成的三角形和直線l、直線CE與y軸所圍成的三角形相似？如果存在，請直接寫出其解析式并畫出相應(yīng)的直線；如果不存在，請說明理由。Oxy練習2圖CBED3.在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點（點在點的左邊），與軸交于點，其頂點的橫坐標為1，且過點和（1）求此二次函數(shù)的表達式；（2）若直線與線段交于點（不與點重合），則是否存在這樣的直線，使得以為頂點的三角形與相似？若存在，求出該直線的函數(shù)表達式及點的坐標；若不存在，請說明理由；yCxBA練習3圖（3）若點是位于該二次函數(shù)對稱軸右邊圖象上不與頂點重合的任意一點，試比較銳角與的大?。ú槐刈C明），并寫出此時點的橫坐標的取值范圍O4.如圖所示，已知拋物線與軸交于A、B兩點，與軸交于點C（1）求A、B、C三點的坐標（2）過點A作APCB交拋物線于點P，求四邊形ACBP的面積CBA練習4圖Py（3）在軸上方的拋物線上是否存在一點M，過M作MG軸于點G，使以A、M、G三點為頂點的三角形與PCA相似若存在，請求出M點的坐標；否則，請說明理由5.已知：如圖，在平面直角坐標系中，是直角三角形，點的坐標分別為，（1）求過點的直線的函數(shù)表達式；（2）在軸上找一點，連接，使得與相似（不包括全等），并求點