連續(xù)時間傅里葉變換

1、第二章 連續(xù)時間傅里葉變換1 周期信號的頻譜分析 傅里葉級數(shù) FS(1)狄義赫利條件： 在同一個周期 T1 內(nèi)，間斷點的個數(shù)有限； 極大值和極小值的數(shù)目有限；信號絕對可積f (t ) dt。T1(2)傅里葉級數(shù)：正交函數(shù)線性組合。正交函數(shù)集可以是三角函數(shù)集 1, cosnt, sin n1t : nN 或復指數(shù)函數(shù)集 e jn 1t: n Z ，1函數(shù)周期為 T ，角頻率為122。f11T1(3)任何滿足狄義赫利條件周期函數(shù)都可展成傅里葉級數(shù)。(4)三角形式的 FS：(i)展開式： f (t )a0(ancon1t bn sin n 1t )n 1(ii)系數(shù)計算公式：(a)直流分量： a01

2、f (t ) dtT1T1(b)n 次諧波余弦分量：2f (t ) cos n 1tdt ,nNanT1T1(c)n 次諧波的正弦分量：b2f (t )sin n1tdt,nNnTT11(iii) 系數(shù) an 和 bn 統(tǒng)稱為三角形式的傅里葉級數(shù)系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)。(iv)稱 f1 1 /T1 為信號的基波、 基頻； nf1 為信號的 n 次諧波。(v)合并同頻率的正余弦項得：(a)f (t)c0cn cos(n1tn )n1(b)f (t )d0d n sin(n 1tn )n1n 和 n 分別對應合并后n 次諧波的余弦項和正弦項的初相位。(vi)傅里葉系數(shù)之間的關系：(a)a0c0d0(

3、b)ancn cosndn sin n(c)bncn sinndn cosn n(d)c0d0a0(e)c 2d2a2b2nnnn(f)narctgbnan(g)narctg anbn(5)復指數(shù)形式的FS：(i) 展開式：(ii)(iii)f ( t )Fnejn1tn系數(shù)計算： Fn1T1f (t )e jn1t dt,nZT1系數(shù)之間的關系：a0 ,n0Fn1jbn ), n0( an2FnF *n , F nFn*FF1c1d1a22,(0)222bnnnnnnnFnF nc ndn , (n0)FnF nanFnFnbn / jc2d2a2b24 F Fn4 F2(n0 )nnnnn

4、n(iv)Fn 關于 n 是共扼對稱的，即它們關于原點互為共軛。(v) 正負 n ( n 非零 ) 處的 Fn 的幅度和等于 cn 或 d n 的幅度。(6)奇偶信號的FS：(i) 偶信號的 FS：22f (t ) sin n 1tdt0 ； cn d n ananf (t ) cosn 1tdt ； bnT1T1T1T1anjbnanF n( F n 實，偶對稱 ) ； n0 ； nFn222(ii) 偶的周期信號的 FS系數(shù)只有直流項和余弦項。(iii) 奇信號的 FS：a0an 0； bn2f (t )sin n 1tdt ； cn d nbn2 jFn ；T1T1FnF n1jbn(

5、Fn 純虛，奇對稱 ) ；n； n 022(iv) 奇的周期信號的 FS系數(shù)只有正弦項。(7)周期信號的傅里葉頻譜：(i)稱 Fn 為信號的傅里葉復數(shù)頻譜，簡稱傅里葉級數(shù)譜或FS 譜。(ii)稱 Fn 為信號的傅里葉復數(shù)幅度頻譜，簡稱FS幅度譜。(iii) 稱 n 為傅里葉復數(shù)相位頻譜，簡稱FS 相位譜。(iv) 周期信號的 FS 頻譜僅在一些離散點角頻率n 1 ( 或頻率 nf1 ) 上有值。(v)FS 也被稱為傅里葉離散譜，離散間隔為12 /T1。(vi)FS 譜、 FS 幅度譜和相位譜圖中表示相應頻譜、頻譜幅度和頻譜相位的離散線段被稱為譜線、 幅度譜線和相位譜線， 分別表示 FS頻譜的值

6、、 幅度和相位(vii) 連接譜線頂點的虛曲線稱為包絡線， 反映了各諧波處 FS 頻譜、幅度譜和相位譜隨分量的變化情況。(viii) 稱 c n 為單邊譜，表示了信號在諧波處的實際分量大小。(ix) 稱 Fn 為雙邊譜，其負頻率項在實際中是不存在的。正負頻率的頻譜幅度相加，才是實際幅度。(8)周期矩形脈沖序列的FS譜的特點：(i)譜線包絡線為Sa 函數(shù)；(ii) 譜線包絡線過零點： ( 其中 1 2 為譜線間隔 ) ：T1nk ，或 n 12k ， k Z ,k 0T1即當n 1 2k / 時， an cn Fn 0 。(iii) 在頻域，能量集中在第一個過零點之內(nèi)。(iv)帶寬2 /或 f1

7、/只與矩形脈沖的脈寬有關，而與脈高和周期均無關。(定義 0 2/為周期矩形脈沖信號的頻帶寬度，簡稱帶寬 )(9)周期信號的功率：P f ( t )2Fnn12(10)帕斯瓦爾方程：f 2 (t )dtFT1T1nn2 非周期信號的頻譜分析 傅里葉變換 (FT)(1)信號 f ( t ) 的傅里葉變換：F ( )f (t) ej tdtFf (t )是信號 f ( t) 的頻譜密度函數(shù)或FT 頻譜，簡稱為頻譜(函數(shù) )。(2)頻譜密度函數(shù)F () 的逆傅里葉變換為：f (t )1F ( )e j t d ? F 1 F ( )2(3)稱 ej t 為 FT 的變換核函數(shù)，e j t 為 IFT

8、的變換核函數(shù)。(4)FT 與 IFT 具有唯一性。如果兩個函數(shù)的FT 或 IFT 相等，則這兩個函數(shù)必然相等。(5)FT 具有可逆性。 如果 Ff (t )F( ) ，則必有 F1F ()f (t ) ；反之亦然。(6)信號的傅里葉變換一般為復值函數(shù)，可寫成F ()F ( ) e j ( )(i)稱 F ( ) 為幅度頻譜密度函數(shù)，簡稱幅度譜，表示信號的幅度密度隨頻率變化的幅頻特性；(ii) 稱 ( ) Arg F ( ) 為相位頻譜密度函數(shù)， 簡稱相位譜函數(shù)，表示信號的相位隨頻率變化的相頻特性。(7) FT頻譜可分解為實部和虛部：F( ) Fr ()jFi ( )F ( )Fr2 ( )Fi

9、2( ),( )arctan Fi ()Fr ()Fr( )F ( ) cos( ) ,Fi () F ( ) sin()(8) FT存在的充分條件： 時域信號 f (t) 絕對可積，即f (t) dt。注意：這不必要條件。有一些并非絕對可積的信號也有FT。(9)FT 及 IFT 在赫茲域的定義：F ( f )f (t ) e j 2 ft dt ； f ( t)F ( f )e j 2 ft df(10) 比較 FS和 FT：FSFT分析對象周期信號非周期信號頻率定義域離散頻率，諧波頻率處連續(xù)頻率，整個頻率軸函數(shù)值意義頻率分量的數(shù)值頻率分量的密度值3 典型非周期信號的 FT 頻譜(1)單邊指

10、數(shù)信號：( )eat() (a0)f tu tF ( )f (t )e j t dte at e j t dt0e (a j )t dt10aj幅度譜：F ( )1a22相位譜：( )Arg F ()Argajarctga22a單邊指數(shù)信號及其幅度譜、相位譜如圖1 所示。|F()|f (t )1/a10()/20t0- /2(a)(b )(c)圖 1 (a)單邊指數(shù)信號(b)幅度譜 (c)相位譜(2) 偶雙邊指數(shù)信號： f (t )ea t (a0)F ( )f (t )ejtdt0 atj tdteatej tdte e00( a j ) t dtee0幅度譜： F( )2a2a相位譜：()

11、0(a j )t dt112a，為實偶函數(shù)。aja ja 222偶雙邊指數(shù)信號及其頻譜如圖2 所示。F()f (t )2/a10t0( a)(b)圖 2(a) 偶雙邊指數(shù)信號(b)頻譜(3) 矩形脈沖信號：f (t )EG (t ) (脈寬為 、脈高為 E)F ( )f (t )ej t dt/ 2j t dt/ 2EeE cos tdt/ 2/ 2Esin t/ 2ESa，為實函數(shù)。/ 22幅度譜： F( )ESa20,4k2( 2k1)0)相位譜： ( )(對應F(2(2k1)4( k 1)k Z,)0)(對應F(矩形脈沖信號及其頻譜如圖3 所示。f (t)= EG (t )F( )EE

12、=矩形脈沖面積- /20 /2 t24 60(a)(b)圖 3 (a) 矩形脈沖信號 (b) 頻譜矩形脈沖 FT 的特點：(i) FT 為 Sa 函數(shù)，原點處函數(shù)值等于矩形脈沖的面積；(ii) FT的過零點位置為2k/ ( k 0) ；(iii)頻域的能量集中在第一個過零點區(qū)間2/,2/ 之內(nèi)(iv)帶寬為 B2 / 或 B f1/，只與脈寬有關，與脈高 E無關。信號等效脈寬：F (0) / f ( 0)信號等效帶寬：1B ff (t )F()B0t0( a)(b)圖 4 (a) 信號的等效脈寬(b) 等效帶寬(4) 符號函數(shù)： 不滿足絕對可積條件，但存在FT。F ( )Sgn(t )e j

13、t dt2j幅度譜：2F ( )相位譜：/ 2,0( )0/ 2,符號函數(shù)及其頻譜如圖5 所示。Sgn(t)|F( )|10t-1-a a(a)(b)圖 5 (a)符號函數(shù)(b) 頻譜(5) 沖激信號：F E (t)E (t)e j t dtEe j 0E均勻譜 / 白色譜：頻譜在任何頻率處的密度都是均勻的。強度為E 的沖激函數(shù)的頻譜是均勻譜，密度就是沖激的強度。F1E()E2單位沖激信號及直流信號的頻譜函數(shù)總結(jié)：FT 定義F E (t)EFT 可逆性F 1 EE ( )F E2E()FT 可逆性F1EIFT 定義E ( )2(6) 階躍信號： 不滿足絕對可積條件，但存在FTF ( )( )1

14、j在0 處有一個沖激，該沖激來自u(t ) 中的直流分量。單位階躍信號及其幅度譜如圖6 所示。u(t)|F()|1( )0t0圖 6 單位階躍函數(shù)及其幅度譜4 FT 的性質(zhì)(1)線性性： Fan f n (t )an F f n ( t)nn線性性包括：齊次性F af (t ) aF f (t ) ；疊加性 F f 1 (t ) f 2 (t ) F f1 (t )(2)奇偶虛實性：偶偶奇奇實偶實偶 (FT 可變?yōu)橛嘞易儞Q )實奇虛奇 (FT 可變?yōu)檎易儞Q )實信號的 FT ： (實信號可分解為：實偶+實奇 )實部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)：實實偶 +j 實奇偶共扼對稱： F( ) F*( )幅

15、度譜為偶函數(shù)，相位譜為奇函數(shù)：實實偶 EXP( 實奇 )虛信號的 FT 具有奇共扼對稱性： F ()F*()偶共軛對稱或奇共軛對稱的函數(shù)滿足幅度對稱：F( ) F()。實信號或虛信號的 FT 幅度譜偶對稱，幅度譜函數(shù)是偶函數(shù)。(3)反褶和共軛性：F f 2 (t ) 。時域原信號f ( t )反褶f (- t )共扼f* ( t )反褶 +共扼f* (- t )(4)對偶性：傅里葉正逆變換的變換核函數(shù)是共軛對稱的：頻域F()F(-)F* (-)F*)(e j t *e j t ； e j t *ejtF 1 F ( ) f ( t)1F ( )e j t d1F F *( )22F g( )g

16、( )e j t d表示按自變量進行傅里葉變換，結(jié)果是t 的函數(shù)。IFT 可以通過 FT 來實現(xiàn)。FT 的對偶特性： F F (t )2f ()若 f (t ) 為偶函數(shù)，則 F F (t )2 f ( ) ；若 f (t ) 為奇函數(shù)，則 F F (t)2 f ( ) 。(5)尺度變換特性：F f ( at)1Fa, (a0)a此性質(zhì)表明： 時域壓縮對應頻域擴展、時域擴展對應頻域壓縮。(6)時移特性： F f (tt 0 )F ( )ej toFf (t ) ej t 0時移不影響幅度譜，只在相位譜上疊加一個線性相位。與尺度變換特性綜合：F f (at t 0 )1Fejt0/ a,(a0)

17、aa(7)頻移特性：F f (t )e j 0tF(0 )與尺度變換特性綜合：F1 fte j0t / aF a0 , (a 0)aa頻譜搬移：時域信號乘以一個復指數(shù)信號后，頻譜被搬移到復指數(shù)信號的頻率位置處。利用歐拉公式，通過乘以正弦或余弦信號達到頻譜搬移目的。(8)微分特性：時域微分： FdF ( )f (t )jdt頻域微分：dF ( )jt ) f (t )F (d如果連續(xù)運用微分特性，則nFdf ( t)( j) n F ( )ndtd nF ( )F(jt)nf( )d nt(9) 積分特性：時域積分： Ft( )f ( )d( j ) 1 F ( )F (0)如果 F( )在0

18、處有界 ( 或 F(0)0)，則 Ft1F( )f ( ) d( j )1頻域積分：F ( )df (0) ( t)f (t )jt(10) 卷積定理：時域卷積定理：F f1 (t )f 2 (t )Ff1(t ) F f 2 (t )頻域卷積定理：F f1 (t )f2 (t )1Ff1(t )F f2 ( t)2(11) 時域相關性定理：F Rf 1 f 2 (t )F f1(t ) F *f 2 (t )若 f(t) 是實偶函數(shù)，則FRf1(t )F ( ) F ( ) 。此時，相關性定理與卷積定理一致。2f 212自相關的傅里葉變換：FR f(t )Ff (t ) F * f (t )

19、 F f (t ) 2 。即函數(shù)的自相關函數(shù)與其幅度譜的平方是一對傅里葉變換對）。(12) 帕斯瓦爾定理：2122f (t ) dtF ( ) dF (2 f ) df25 周期信號的FT(1) 正余弦信號的 FT：F cos otFe j 0 tej o t(0)(0 )2F sin 0tj(0 )(0 )余弦信號和正弦信號的頻譜如圖7 所示：F cos 0tjF sin 0t( )( )()-0-00000(- )圖 7 余弦信號和正弦信號的 FT(2) 一般周期信號的 FT ：(i) 設周期為 T1 的周期信號f (t) 在第一個周期內(nèi)的函數(shù)為f 0( t) ，則f (t )f 0 (

20、t nT1)f 0 (t ) * (t nT1) f0 (t)(tnT1) f0(t) T (t )nnn1(ii)周期單位沖激序列的FT：FT1 (t )1n(a)FT 的對偶性( ejn 1t2( n1 ) )(b)沖激串 FS 為：T(t )nejn 1t1n(c)1T1/ 2T1 (t )e1nT1jn 1t dtT1/ 2T1(d)FT 的線性性(iii)一般周期信號的FT：F ( ) F f o (t ) FT (t )F0( )1(1n(iv)F1 F(n1)1 F(n1)n002T1(v)關系圖：f0 (t)(n 1)n 1)nF0()E1 1 ( )1F0( n 1)(n 1)EFT- /20/2tFSf (t) -T 1- /20/2T1tFT02 /F nE /T102 /F()E/102 /圖 8 非周期信號FT 與周期信號FS/FT 比較6 抽樣信號的FT(1)抽樣信號的 FT ： Fs ( )1F (n s )Tsn(2)理想抽樣前后信號頻譜的變化如圖9 所示：(3)結(jié)論 1：按間隔 Ts 進行沖激串抽樣