中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第16課 全等三角形（拓展） 導(dǎo)學(xué)案-人教版初中九年級(jí)全冊(cè)數(shù)學(xué)學(xué)案

1、全等三角形（拓展）【考點(diǎn)梳理】：一、全等三角形的定義能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。二、全等三角形的判定（1）有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)稱：“sas”）。（2）有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)稱：“asa”）。（3）有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)稱：“aas”）。（4）有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)稱：“sss”）。（5）有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)稱：“hl”）。三、全等三角形的性質(zhì)（1）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段（邊、高、中線、角平分線）相等。（2）全等三角形的周長(zhǎng)相等、面積相等。【思想方法】 數(shù)

2、形結(jié)合，分類討論【考點(diǎn)一】：全等三角形的判定【例題賞析】（1）（2015貴州省貴陽(yáng),第8題3分）如圖，點(diǎn)e，f在ac上，ad=bc，df=be，要使adfcbe，還需要添加的一個(gè)條件是（）aa=cbd=bcadbcddfbe考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)分析：利用全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)而得出當(dāng)d=b時(shí)，adfcbe解答：解：當(dāng)d=b時(shí)，思考與收獲在adf和cbe中，adfcbe（sas），故選：b點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵（2）（2015湖北十堰，第10題3分）如圖，正方形abcd的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)e、f分別在ab，ad上，若ce=3，且ec

3、f=45°，則cf的長(zhǎng)為（）a2b3cd考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì)分析：首先延長(zhǎng)fd到g，使dg=be，利用正方形的性質(zhì)得b=cdf=cdg=90°，cb=cd；利用sas定理得bcedcg，利用全等三角形的性質(zhì)易得gcfecf，利用勾股定理可得ae=3，設(shè)af=x，利用gf=ef，解得x，利用勾股定理可得cf解答：解：如圖，延長(zhǎng)fd到g，使dg=be；連接cg、ef；四邊形abcd為正方形，在bce與dcg中，bcedcg（sas），cg=ce，dcg=bce，gcf=45°，思考與收獲在gcf與ecf中，gcfecf（sas），gf=

4、ef，ce=3，cb=6，be=3，ae=3，設(shè)af=x，則df=6x，gf=3+（6x）=9x，ef=，（9x）2=9+x2，x=4，即af=4，gf=5，df=2，cf=2，故選a點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理等，構(gòu)建全等三角形，利用方程思想是解答此題的關(guān)鍵【考點(diǎn)二】：全等三角形的性質(zhì)【例題賞析】（2015，廣西柳州，14，3分）如圖，abcdef，則ef=5思考與收獲考點(diǎn)：全等三角形的性質(zhì)分析：利用全等三角形的性質(zhì)得出bc=ef，進(jìn)而求出即可解答：解：abcdef，bc=ef則ef=5故答案為：5點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，得出對(duì)應(yīng)邊是解題關(guān)鍵【考點(diǎn)三】：

5、角平分線的性質(zhì)與判定 【例題賞析】（2015廣東茂名8，3分）如圖，oc是aob的平分線，p是oc上一點(diǎn)，pdoa于點(diǎn)d，pd=6，則點(diǎn)p到邊ob的距離為（） a 6 b 5 c 4 d 3考點(diǎn)： 角平分線的性質(zhì)分析： 過(guò)點(diǎn)p作peob于點(diǎn)e，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得pe=pd，從而得解解答： 解：如圖，過(guò)點(diǎn)p作peob于點(diǎn)e，思考與收獲oc是aob的平分線，pdoa于d，pe=pd，pd=6，pe=6，即點(diǎn)p到ob的距離是6故選：a點(diǎn)評(píng)： 本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，比較簡(jiǎn)單，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵【考點(diǎn)四】：尺規(guī)作圖 

6、【例題賞析】（2015，廣西玉林，21，6分）根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡，先判斷得出結(jié)論：om平分boa，然后證明你的結(jié)論（不要求寫已知、求證）考點(diǎn)：作圖基本作圖；全等三角形的判定與性質(zhì)分析：根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡可知，oc=od，cm=dm，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得到答案解答：解：結(jié)論：om平分boa，證明：由作圖的痕跡可知，oc=od，cm=dm，在com和dom中，comdom，com=dom，om平分boa點(diǎn)評(píng)：本題考查的是角平分線的作法和全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握基本尺規(guī)作圖的步驟和全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵思考與收獲【考點(diǎn)五】：有關(guān)全等三角形的探索題  

7、【例題賞析】（2015遼寧省盤錦,第25題14分）如圖1，abc和aed都是等腰直角三角形，bac=ead=90°，點(diǎn)b在線段ae上，點(diǎn)c在線段ad上（1）請(qǐng)直接寫出線段be與線段cd的關(guān)系：be=cd；（2）如圖2，將圖1中的abc繞點(diǎn)a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（0360°），（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)利用圖2證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；當(dāng)ac=ed時(shí)，探究在abc旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，是否存在這樣的角，使以a、b、c、d四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出角的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)：幾何變換綜合題分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得ab=ac，ae=ad，

8、再根據(jù)等量關(guān)系可得線段be與線段cd的關(guān)系；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得ab=ac，ae=ad，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得bae=cad，根據(jù)sas可證baecad，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解；根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得abc=adc=45°，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解解答：解：（1）abc和aed都是等腰直角三角形，bac=ead=90°，ab=ac，ae=ad，aeab=adac，be=cd；（2）abc和aed都是等腰直角三角形，bac=ead=90°，ab=ac，ae=ad，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得bae=cad，在bae與cad中，思考與收獲，baecad

9、（sas），be=cd；以a、b、c、d四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，abc=adc=45°，ac=ed，cad=45°，角的度數(shù)是45°點(diǎn)評(píng)：考查了幾何變換綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：等腰直角三角形的性質(zhì)，等量代換，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度中等【真題專練】1. （2015青海，第10題2分）如圖，點(diǎn)b，f，c，e在同一直線上，bf=ce，abde，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使abcdef，這個(gè)添加的條件可以是 （只需寫一個(gè)，不添加輔助線）2. （2015貴州省黔東南州,第13題4分）如圖，在四邊形abcd中，abcd，連接

10、bd請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l件 ，使abdcdb（只需寫一個(gè)）思考與收獲3. （2015齊齊哈爾,第13題3分）如圖，點(diǎn)b、a、d、e在同一直線上，bd=ae，bcef，要使abcdef，則只需添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件是 （只填一個(gè)即可）4（2015，福建南平，21，分）如圖，矩形abcd中，ac與bd交于點(diǎn)o，beac，cfbd，垂足分別為e，f求證：be=cf5. （2015，廣西河池，21，8分）如圖,在abc中,acb=90°,ac=bc=ad(1)作a的角平分線交cd于e;(2)過(guò)b作cd的垂線，垂足為f;(3)請(qǐng)寫出圖中兩對(duì)全等三角形(不添加任何字母),并選擇其中一對(duì)加以證明.思考與

11、收獲6. （2015湖北十堰，第18題6分）.如圖，ca=cd，b=e，bce=acd求證：ab=de8. （2015遼寧阜新）（第17題，12分）如圖，點(diǎn)p是正方形abcd內(nèi)的一點(diǎn)，連接cp，將線段cp繞點(diǎn)c順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段cq，連接bp，dq（1）如圖a，求證：bcpdcq；（2）如圖，延長(zhǎng)bp交直線dq于點(diǎn)e如圖b，求證：bedq；如圖c，若bcp為等邊三角形，判斷dep的形狀，并說(shuō)明理由9. （2015營(yíng)口，第25題14分）【問(wèn)題探究】（1）如圖1，銳角abc中分別以ab、ac為邊向外作等腰abe和等腰acd，使ae=ab，ad=ac，bae=cad，連接bd，ce

12、，試猜想bd與ce的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由思考與收獲【深入探究】（2）如圖2，四邊形abcd中，ab=7cm，bc=3cm，abc=acd=adc=45°，求bd的長(zhǎng)（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)acd在線段ac的左側(cè)時(shí)，求bd的長(zhǎng)10.（2015齊齊哈爾,第10題3分）如圖，在鈍角abc中，分別以ab和ac為斜邊向abc的外側(cè)作等腰直角三角形abe和等腰直角三角形acf，em平分aeb交ab于點(diǎn)m，取bc中點(diǎn)d，ac中點(diǎn)n，連接dn、de、df下列結(jié)論：em=dn；scdn=s四邊形abdn；de=df；dedf其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（） a 1個(gè) b 2個(gè) c 3個(gè) d 4個(gè)【

13、真題演練參考答案】1. （2015青海，第10題2分）如圖，點(diǎn)b，f，c，e在同一直線上，bf=ce，abde，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使abcdef，這個(gè)添加的條件可以是ac=df（只需寫一個(gè)，不添加輔助線）考點(diǎn)：全等三角形的判定專題：開放型分析：求出bc=ef，abc=def，根據(jù)sas推出兩三角形全等即可解答：解：ac=df，理由是：bf=ce，bf+fc=ce+fc，bc=ef，abde，abc=def，在abc和def中，abcdef（sas），故答案為：ac=df點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有sas，asa，aas，sss，答案不唯一2. （2015貴

14、州省黔東南州,第13題4分）如圖，在四邊形abcd中，abcd，連接bd請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l件ab=cd，使abdcdb（只需寫一個(gè)）考點(diǎn)：全等三角形的判定專題：開放型分析：先根據(jù)平行線的性質(zhì)得abd=cdb，加上公共邊bd，所以根據(jù)“sas”判斷abdcdb時(shí)，可添加ab=cd解答：解：abcd，abd=cdb，而bd=db，當(dāng)添加ab=cd時(shí)，可根據(jù)“sas”判斷abdcdb故答案為ab=cd點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且要是兩

15、角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊3. （2015齊齊哈爾,第13題3分）如圖，點(diǎn)b、a、d、e在同一直線上，bd=ae，bcef，要使abcdef，則只需添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件是bc=ef或bac=edf（只填一個(gè)即可）考點(diǎn)： 全等三角形的判定專題： 開放型分析： bc=ef或bac=edf，若bc=ef，根據(jù)條件利用sas即可得證；若bac=edf，根據(jù)條件利用asa即可得證解答： 解：若添加bc=ef，bcef，b=e，bd=ae，bdad=aead，即ba=ed，在abc和def中，abcdef（sas）；若添加bac=edf，bcef，b=e，bd=ae，

16、bdad=aead，即ba=ed，在abc和def中，abcdef（asa），故答案為：bc=ef或bac=edf點(diǎn)評(píng)： 此題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵4（2015，福建南平，21，分）如圖，矩形abcd中，ac與bd交于點(diǎn)o，beac，cfbd，垂足分別為e，f求證：be=cf考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)專題：證明題分析：要證be=cf，可運(yùn)用矩形的性質(zhì)結(jié)合已知條件證be、cf所在的三角形全等解答：證明：四邊形abcd為矩形，ac=bd，則bo=co（2分）beac于e，cfbd于f，beo=cfo=90°又boe=cof，boe

17、cof（4分）be=cf（5分）點(diǎn)評(píng)：本題主要考查矩形的性質(zhì)及三角形全等的判定方法解此題的主要錯(cuò)誤是思維順勢(shì)，想當(dāng)然，由abcd是矩形，就直接得出ob=od，對(duì)對(duì)應(yīng)邊上的高的“對(duì)應(yīng)邊”理解不透徹5. （2015，廣西河池，21，8分）如圖,在abc中,acb=90°,ac=bc=ad(1)作a的角平分線交cd于e;(2)過(guò)b作cd的垂線，垂足為f;(3)請(qǐng)寫出圖中兩對(duì)全等三角形(不添加任何字母),并選擇其中一對(duì)加以證明.第21題解: (3)aceade,acecfb 證明:aceade ae是a的平分線, cae=dae, 又ac=ad,ae為公共邊, aceade(sas).6.

18、（2015湖北十堰，第18題6分）.如圖，ca=cd，b=e，bce=acd求證：ab=de考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)專題：證明題分析：如圖，首先證明acb=dce，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵性結(jié)論；然后運(yùn)用aas公理證明abcdec，即可解決問(wèn)題解答：解：如圖，bce=acd，acb=dce；在abc與dec中，abcdec（aas），ab=de點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是牢固掌握全等三角形的判定方法，這是靈活運(yùn)用、解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵7. （2015重慶a20，7分）如圖，在abd和fec中，點(diǎn)b,c,d,e在同一直線上，且ab=fe,bc=de,b=e。20

19、題圖求證：adb=fce. 考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì) 專題：證明題 分析：根據(jù)等式的性質(zhì)得出bd=ce，再利用sas 得出：abd 與 fec 全等，進(jìn)而得出 adb= fce 解答：證明：bc=de， bc+cd=de+cd ， 即bd=ce， 在abd 與fec 中， ， abd fec （sas ）， adb= fce 點(diǎn)評(píng)：此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等式的性質(zhì)得出bd=ce，再利用全 等三角形的判定和性質(zhì)解答 8. （2015遼寧阜新）（第17題，12分）如圖，點(diǎn)p是正方形abcd內(nèi)的一點(diǎn)，連接cp，將線段cp繞點(diǎn)c順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段cq，連接bp

20、，dq（1）如圖a，求證：bcpdcq；（2）如圖，延長(zhǎng)bp交直線dq于點(diǎn)e如圖b，求證：bedq；如圖c，若bcp為等邊三角形，判斷dep的形狀，并說(shuō)明理由考點(diǎn)：四邊形綜合題分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明bcp=dcq，得到bcpdcq；（2）根據(jù)全等的性質(zhì)和對(duì)頂角相等即可得到答案；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出epd=45°，edp=45°，判斷dep的形狀解答：（1）證明：bcd=90°，pcq=90°，bcp=dcq，在bcp和dcq中，bcpdcq；（2）如圖b，bcpdcq，cbf=edf，又bfc=dfe，def=bcf=90

21、6;，bedq；bcp為等邊三角形，bcp=60°，pcd=30°，又cp=cd，cpdf=cdp=75°，又bpc=60°，cdq=60°，epd=45°，edp=45°，dep為等腰直角三角形點(diǎn)評(píng)：本題考查的是正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握正方形的四條邊相等、四個(gè)角都是直角，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵9. （2015營(yíng)口，第25題14分）【問(wèn)題探究】（1）如圖1，銳角abc中分別以ab、ac為邊向外作等腰abe和等腰acd，使ae=ab，ad=ac，bae=cad，連接bd，ce，試猜想bd與ce的

22、大小關(guān)系，并說(shuō)明理由【深入探究】（2）如圖2，四邊形abcd中，ab=7cm，bc=3cm，abc=acd=adc=45°，求bd的長(zhǎng)（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)acd在線段ac的左側(cè)時(shí)，求bd的長(zhǎng)考點(diǎn)： 全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)www.zz#step%.com分析： （1）首先根據(jù)等式的性質(zhì)證明eac=bad，則根據(jù)sas即可證明eacbad，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；（2）在abc的外部，以a為直角頂點(diǎn)作等腰直角bae，使bae=90°，ae=ab，連接ea、eb、ec，證明eacbad，證明bd=ce，然后在直角三角形bce中利用勾股定理即可

23、求解；（3）在線段ac的右側(cè)過(guò)點(diǎn)a作aeab于點(diǎn)a，交bc的延長(zhǎng)線于點(diǎn)e，證明eacbad，證明bd=ce，即可求解解答： 解：（1）bd=ce理由是：bae=cad，bae+bac=cad+bac，即eac=bad，在eac和bad中，eacbad，bd=ce；（2）如圖2，在abc的外部，以a為直角頂點(diǎn)作等腰直角bae，使bae=90°，ae=ab，連接ea、eb、ecacd=adc=45°，ac=ad，cad=90°，bae+bac=cad+bac，即eac=bad，在eac和bad中，eacbad，bd=ceae=ab=7，be=7，aec=aeb=45&

24、#176;，又abc=45°，abc+abe=45°+45°=90°，ec=，bd=ce=（3）如圖3，在線段ac的右側(cè)過(guò)點(diǎn)a作aeab于點(diǎn)a，交bc的延長(zhǎng)線于點(diǎn)e，連接beaeab，bae=90°，又abc=45°，e=abc=45°，ae=ab=7，be=7，又acd=adc=45°，bae=dac=90°，baebac=dacbac，即eac=bad，在eac和bad中，eacbad，bd=ce，bc=3，bd=ce=73（cm）點(diǎn)評(píng)： 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確理解三個(gè)題目之間的聯(lián)系，

25、構(gòu)造（1）中的全等三角形是解決本題的關(guān)鍵10.（2015齊齊哈爾,第10題3分）如圖，在鈍角abc中，分別以ab和ac為斜邊向abc的外側(cè)作等腰直角三角形abe和等腰直角三角形acf，em平分aeb交ab于點(diǎn)m，取bc中點(diǎn)d，ac中點(diǎn)n，連接dn、de、df下列結(jié)論：em=dn；scdn=s四邊形abdn；de=df；dedf其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（） a 1個(gè) b 2個(gè) c 3個(gè) d 4個(gè)考點(diǎn)： 全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；三角形中位線定理分析： 首先根據(jù)d是bc中點(diǎn)，n是ac中點(diǎn)n，可得dn是abc的中位線，判斷出dn=；然后判斷出em=，即可判斷出em=dn；首先根據(jù)dnab

26、，可得cdnabc；然后根據(jù)dn=，可得scdn=sabc，所以scdn=s四邊形abdn，據(jù)此判斷即可首先連接md、fn，判斷出dm=fn，emd=dnf，然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出emddnf，即可判斷出de=df首先判斷出，dm=fa，emd=eaf，根據(jù)相似計(jì)三角形判定的方法，判斷出emdeaf，即可判斷出med=aef，然后根據(jù)med+aed=45°，判斷出def=45°，再根據(jù)de=df，判斷出dfe=45°，edf=90°，即可判斷出dedf解答： 解：d是bc中點(diǎn)，n是ac中點(diǎn)，dn是abc的中位線，dnab，且dn=；三角形abe是等腰直角三角形，em平分aeb交ab于點(diǎn)m，m是ab的中點(diǎn)，em=，又dn=，em=dn，結(jié)論正確；dnab，cdnabc，dn=，scdn=sabc，scdn=s四邊形abdn，結(jié)論正確；如圖1，連接md、fn，d是bc中點(diǎn)，