第九次習(xí)題課討論題參考解答_896403002

1、第九次習(xí)題課討論題參考解答 5月28日和29日本次習(xí)題課討論題涉及以下四個問題。 一 曲線曲面積分續(xù)。二 Green定理的應(yīng)用續(xù)。三 Gauss公式和Stokes公式的應(yīng)用。四 積分關(guān)于路徑的無關(guān)性一 曲線曲面積分續(xù)。1記為圓周，從Ox軸的正向看去，圓周的正向?yàn)槟鏁r針方向。寫出的參數(shù)方程，并利用這個參數(shù)方程來計算線積分 。（注：我們將在第三部分的第3題，利用Stokes公式更簡單地計算上述線積分。）解：在球坐標(biāo)下曲線的方程為 ，由此得到的參數(shù)方程 ，參數(shù)增加為曲線正向，代入曲線積分式，得 。解答完畢。2求積分 ，其中為長方體的邊界，正法向朝外，函數(shù),和均為連續(xù)函數(shù)。 解：邊界面由6個平面構(gòu)成，

2、其朝外的單位法向量分別為：，：，：，：，：，：，所以 。同理 ，。因此 。解答完畢。3設(shè)為錐面位于的那一部分，正法向向下。設(shè)為流體運(yùn)動的速度場。求流體在單位時間里通過定向曲面由內(nèi)向外的流量Q，即求曲面積分。解：簡單計算可知曲面（錐面）的單位法向。由于的正法向向下，由此可知，的單位正法向?yàn)椤Ｓ谑撬罅髁繛?。解答完畢?記為園柱面位于的部分，外法向?yàn)檎?，計算曲面積分。 解法1：記向量場。由假設(shè)的單位正法向量，當(dāng)。曲面在柱面坐標(biāo)下的方程為，。記。則，。于是。這表明與的單位正法向量一致。因此。解法2：記立體，正法向向下，正法向向上。根據(jù)Gauss公式得簡單計算得到，。因此原積分。解答完畢。二Green

3、定理的應(yīng)用續(xù)。1(利用 Green 定理證明平面面積變換公式) 回憶平面面積變換定理:設(shè)是平面域上的微分同胚，即是1-1映射且其逆也是連續(xù)可微的.假設(shè)開區(qū)域及其邊界均屬于的定義域。記開區(qū)域在映射下的象為，即。根據(jù)曲面面積公式知的面積公式為，這里，表示映射的兩個分量函數(shù)。試?yán)肎reen公式來證明上述面積變換公式。證明：設(shè)開域的邊界有正則的參數(shù)表示，并且的正向（逆時針）與參數(shù)增加的方向一致，那么區(qū)域的邊界有相應(yīng)的參數(shù)表示，。這是因?yàn)槲⒎滞哂硟?nèi)點(diǎn)為內(nèi)點(diǎn)，映邊界點(diǎn)為邊界點(diǎn)。因此。假設(shè)映射保持定向，即它的Jacobian行列式在其定義域上恒大于零, 即，則的正向與參數(shù)增加的方向一致. 于是根據(jù)Gre

4、en公式提供的面積公式得的面積為。對上式最后一個積分應(yīng)用Green公式得。注意這里我們要求微分同胚為二階連續(xù)可微。證畢.2計算線積分，其中為，逆時針為正向。解：記，。不難驗(yàn)證。因此向量場是無旋場。記，逆時針為正向。在由正方形和橢圓所圍成的有界域上，應(yīng)用Green公式的旋度形式得。對線積分再應(yīng)用Green公式的旋度形式得。解答完畢。3設(shè)為有界開區(qū)域，它的邊界是逐段光滑曲線，是的外單位法向量，設(shè)函數(shù)，且在內(nèi)為調(diào)和函數(shù)，即，。求證：(i) ；(ii) ；(iii) 若在邊界上，求證， 。解： (i)由于,。（應(yīng)用Green公式散度形式）。(ii) 。（這里用到了假設(shè)。）(iii) 由(ii)的結(jié)論可

5、知，若，則，。即，所以，從而，。證畢。4 已知函數(shù)在整個實(shí)軸上二次連續(xù)可微，滿足，且使得微分式是全微分，求，并使由到逐段光滑曲線上積分的值為。解：由假設(shè)微分式是全微分，故，即。這是關(guān)于未知函數(shù)的二階常系數(shù)線性常微分方程。根據(jù)線性O(shè)DE一般理論知，對應(yīng)的齊次方程通解為。另一方面不難看出方程 有一個特解。因此原方程的通解為。關(guān)于函數(shù)的兩個條件，條件，以及條件由到逐段光滑曲線上積分的值為，可以唯一確定兩個常數(shù)，。對求導(dǎo)得 ， 。于是，。 由到積分得 得。于是。解答完畢。5. 設(shè)是實(shí)軸上處處為正的連續(xù)函數(shù)，為圓心在原點(diǎn)的單位開圓盤。證明：(i)；(ii)。證明：對等式(i)的兩邊線積分，分別應(yīng)用Gre

6、en公式的旋度形式得左邊，右邊。由于積分區(qū)域?yàn)閱挝粓A盤，故上述兩個二重積分相等。因此等式(i)成立。注：對上任何一個二重積分中，作變量代換，就得到另一個二重積分。(ii) 類似，我們不難看出 ，。這表明，在如下兩個二重積分中， 和 。將被積函數(shù)中的變元換為，并不改變積分的值。因此。由于。 因此 。證畢。三 Gauss定理和Stokes定理的應(yīng)用。1設(shè)為由圓錐面:和平面所圍成的圓錐體。 (i) 證明設(shè)此圓錐體的體積可以表示為，其中為區(qū)域的邊界曲面，為其單位外法向量，(ii) 圓錐體的體積也可以表示為 ，其中為圓錐的底面積，為圓錐的高證明： (i) 根據(jù)Gauss公式得故。（注：這個結(jié)論不僅僅對圓

7、錐體成立，而是一個一般性結(jié)論：任何有界立體，其體積均可以表為，其中為單位外法向量。）(ii) 由于，其中記錐面部分，記底面部分因?yàn)殄F面的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，其上每一點(diǎn)的法向量與徑向垂直，故。為平面的一部分，其單位法向量為注意到在上，點(diǎn)的位置向量與正法向成銳角。因此其中為圓錐的底面積，而為原點(diǎn)到平面的距離，也就是圓錐的高故。解答完畢。2. 設(shè)一元函數(shù)在上連續(xù)可導(dǎo),且對于任何位于半空間中的光滑有向封閉曲面，有。進(jìn)一步假設(shè)。求。解：對于。作以為球心，以為半徑的閉球。取充分小，可以使得。于是由假設(shè)得。根據(jù)Gauss公式有，即。再根據(jù)三重積分的中值定理可知存在，使得。令即得。由于是任意的，故，。這是一階線性常微

8、分方程，根據(jù)求解公式得可知其通解為。進(jìn)一步由假設(shè)，可以確定。因此。解答完畢。3. 利用Stokes公式計算積分, 其中為圓周從Ox軸的正向看去, 圓周的正向?yàn)槟鏁r針方向.解:前面（見第一部分題1）我們利用的參數(shù)方程直接計算出了積分。利用Stokes公式計算則更簡單。記為由圓周在平面上所圍的部分（閉圓盤），其正法向與軸正向成銳角。由Stokes公式得其中為的單位正法向。由假設(shè)知.簡單計算知 于是其中為平面在球面部分內(nèi)的面積. 解答完畢。4. 設(shè)有向曲線是平面與球面的交線，從軸正向看去為逆時針為正向。求第二類曲線積分。解：首先注意。 記為平面上包含于球面內(nèi)的部分，規(guī)定的正法向與軸的正向成銳角。記。

9、則積分可寫作。簡單計算得。根據(jù)Stokes公式得. 注意到的單位正法向。于是。解答完畢。5設(shè)是錐面的一個部分： ，規(guī)定其正法線向下，求面積分。解：為了用Gauss公式來計算上述積分。我們關(guān)于錐面補(bǔ)上一單位圓盤，正法線向上。記由錐面和圓盤所圍成的立體為。于是應(yīng)用Gauss公式得。而積分。因此原積分。解答完畢。6計算高斯積分，其中為一個不經(jīng)過原點(diǎn)的光滑封閉曲面，其中為上點(diǎn)處的單位外法線向量，解：記。則 .簡單計算表明，證向量場的散度恒為零，即因此當(dāng)不包圍原點(diǎn)時，向量場在由所包圍的閉區(qū)域內(nèi)連續(xù)可微。因此利用Gauss公式立知面積分。當(dāng)包含圍原點(diǎn)時，原積分等于向量場關(guān)于球面:（外側(cè)）上的第二型面積分于是。解答完畢。四 積分與路徑的無關(guān)性1確定常數(shù)，使得積分與路徑無關(guān)， 并求原函數(shù)，使得。解：記，。令，得。由此解得，且，所以。當(dāng)時， 對微分形式作適當(dāng)組合得 。由此可得所求原函數(shù)為。解答完畢。2證明線積分，在右（或左）半平面（或）上與路徑無關(guān)。（注意右半平面上或