2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)卷天津文含詳解

1、1202008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(天津卷)數(shù)學(xué)(文史類(lèi))本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分，共150分，考試用時(shí)分鐘第I卷至2頁(yè)，第II卷3至10頁(yè)考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.祝各位考生考試順利！注意事項(xiàng)：1答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)、科目涂寫(xiě)在答題卡上，并在規(guī)定位 置粘貼考試用條形碼.2每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑如需改動(dòng)，用橡 皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).答在試卷上的無(wú)效.3本卷共10小題，每小題5分，共50分. 參考公式：一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1設(shè)集合U =xE

2、N|OCX 1.3函數(shù)y =1，x(0 x4)的反函數(shù)是()2Ay =(x -1) (1x3)2By = (x -1) (0 x4)2 2Cy=x -1(1x3)Dy=x-1(0 x4)4若等差數(shù)列 &的前5項(xiàng)和S5= 25，且a2= 3，則a7=()A12B13C14D15 5設(shè)a,b是兩條直線(xiàn)， 是兩個(gè)平面，則a b的一個(gè)充分條件是(如果事件A B互斥，那么P(A B) =P(A) P(B)如果事件A B相互獨(dú)立，那么P(ALB) =P(A)_P(B)-球的表面積公式S = 4nR243球的體積公式vnR3其中R表示球的半徑2.設(shè)變量x, y滿(mǎn)足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z = 5x y的

3、最大值為(A.a丨,b/:, = I :B.a丨：,b .1/ :C.a二：,b】，：/ :D.a二：,b/:,、l :則此橢圓的方程為（X + 2 xw08.已知函數(shù)f（x）*2, X。則不等式f（x）%2的解集為（）10.設(shè)a 1，若對(duì)于任意的xla,2a】，都有y |a, a2滿(mǎn)足方程logax logay = 3,這時(shí)a的取值的集合為()6把函數(shù)y二sinx（xR）的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)二個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象3上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的1倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象所表示的函數(shù)是（2(TIixn2x-,X RB.y =sin + 1312 6丿,x RA .y =sinJT

4、C.y =sin 12x ,x R .3 , 2TIy =sin 2x2x7設(shè)橢圓勺2m n2y-1(m0,0）的右焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)2y =8x的焦點(diǎn)相同，離心率為A.1-1,11B .-2,2丨C.一2,1丨D.9.設(shè)a = sin5二, ,b2二2二-cos,c一tan，則()777A.a : b : cB.a c bc.b c a1-1,21D.b a c2 2x_+y_=112 162B. : -y=116 122C. Z+ 48642 2D. Z+ 6448A.a丨,b/:, = I :B.a丨：,b .1/ :A.a|1 2c.訶2waw3D.2,32008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考

5、試（天津卷）數(shù)學(xué)（文史類(lèi)）第口卷注意事項(xiàng)：1. 答卷前將密封線(xiàn)內(nèi)的項(xiàng)目填寫(xiě)清楚.2. 用鋼筆或圓珠筆直接答在試卷上.3 .本卷共 12 小題，共 100 分.二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 4 分，共 24 分把答案填在題中橫線(xiàn)上.11. 一個(gè)單位共有職工 200 人，其中不超過(guò) 45 歲的有 120 人，超過(guò) 45 歲的有 80 人.為了調(diào)查職工的健康狀況，用分層抽樣的方法從全體職工中抽取一個(gè)容量為25 的樣本，應(yīng)抽取超過(guò) 45 歲的職工人.f 2丫312.X 的二項(xiàng)展開(kāi)式中X3的系數(shù)為(用數(shù)字作答).IX丿-13. 若一個(gè)球的體積為4丫3二，則它的表面積為14.已知平面向量a =

6、(2,4),b = (-1,2)，若c = a- (ab)b，貝U c二.15. 已知圓C的圓心與點(diǎn)P(-2,)關(guān)于直線(xiàn)y=x，1對(duì)稱(chēng).直線(xiàn)3x，4y-11 = 0與圓C相交于A(yíng),B兩點(diǎn)，且AB=6, 則圓C的方程為_(kāi)16. 有 4 張分別標(biāo)有數(shù)字 1 ,2, 3, 4 的紅色卡片和 4 張分別標(biāo)有數(shù)字 1,2, 3, 4 的藍(lán)色卡片，從這 8 張卡片中取出 4 張卡片排成一行.如果取出的 4 張卡片所標(biāo)的數(shù)字之和等于 10, 則不同的排法共有種(用數(shù)字作答).三、解答題：本大題共 6 小題，共 76 分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17. (本小題滿(mǎn)分 12 分)2已知函數(shù)f(x

7、)=2cos x 2sinxcos，X 1(x R，- 0)的最小正周期是()求-的值；(n)求函數(shù)f(x)的最大值，并且求使f (x)取得最大值的x的集合.18.(本小題滿(mǎn)分 12 分)1甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為1與p，且乙投球 2 次21均未命中的概率為 一16(I)求乙投球的命中率p；(n)求甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率；(川)若甲、乙兩人各投球 2 次，求兩人共命中 2 次的概率.19.(本小題滿(mǎn)分 12 分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形.已知AB = 3,AD = 2,PA = 2,PD =2 2,ZPAB =60：.(

8、I)證明AD_平面PAB;(n)求異面直線(xiàn)PC與AD所成的角的大小;(川)求二面角P-BD-A的大小.20.(本小題滿(mǎn)分 12 分)已知數(shù)列：an/中，a1,32-2，且a. .1=(1 q)an-qan(n2,q = 0).(I)設(shè)bn =an 1 -an(nN N)，證明是等比數(shù)列;(n)求數(shù)列a,的通項(xiàng)公式；(川)若a3是a6與a9的等差中項(xiàng)，求q的值，并證明：對(duì)任意的n N,an是an,3與an,6的等差中項(xiàng).21 .(本小題滿(mǎn)分 14 分)設(shè)函數(shù)f (x)二x4- ax3- 2x2b(x R)，其中a,bR .10(I)當(dāng)a時(shí)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；3(n)若函數(shù)f(x)僅在x=

9、0處有極值，求a的取值范圍；(川)若對(duì)于任意的a 1-2,2 1,不等式f (x)1在丨-1,1 1上恒成立，求b的取值范圍.22.(本小題滿(mǎn)分 14 分)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線(xiàn)C的一個(gè)焦點(diǎn)是 片(-3,0)，條漸近線(xiàn)的方程是T5x-2y=0.(I)求雙曲線(xiàn)C的方程；(n)若以k(k = 0)為斜率的直線(xiàn)I與雙曲線(xiàn)C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M , N,且線(xiàn)段MN的81垂直平分線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求k的取值范圍.22008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(天津卷)數(shù)學(xué)(文史類(lèi))參考解答一、 選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算每小題1. A 2. D 3 A 4 B5. C 6 C二、 填空

10、題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算每小題2 215.x (y 1) =1816. 432(1)設(shè)集合U二x N|0：x空8,S二1,2,4,5,T二3,5,7，則S(euT)二(A)1,2,4(B)123,4,5,7(C)1,2(D)1,2,4,5,6,8解析：因?yàn)?& 二1,2,4,6,8，所以S(QJT)=1,2,4，選 A.x - y _ 0 x + y蘭1，則目標(biāo)函數(shù)z = 5x + y的最大值為x +21(A) 2( B) 3(C) 4解析：如圖，由圖象可知目標(biāo)函數(shù)z =5x y點(diǎn)A(1,0)時(shí)z取得最大值，zma5，選 D.(3)函數(shù)y十長(zhǎng)(0蘭x蘭4)的反函數(shù)是2 2(A)y

11、=(x_1)(1_x_3)(B)y=(x-1)(0 _ x _ 4)解析：當(dāng)0一x _4時(shí)，11,3，解y = 1 -px得f (x) =(x -1)2，選 A .(4)若等差數(shù)列an的前 5 項(xiàng)和S5= 25，且a2=3，則a7-(A) 12( B) 13(C) 14( D) 1511. 10 12. 1013.12二14.5 分，滿(mǎn)分 50 分.7 B 8 A9 D4 分，滿(mǎn)分 24 分.10 B(2)設(shè)變量x, y滿(mǎn)足約束條件(C)y =x2-1(1)2(D)y = x2 1(0乞x4)5(aia5)5(a2a4)a4 -a2解析：S522= a4= 7，所以a7二a2 5d二a2 5

12、=13,選 B.(5)設(shè)a,b是兩條直線(xiàn)，:,1是兩個(gè)平面，則a _b的一個(gè)充分條件是1率為，則此橢圓的方程為22象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的(A)y =sin(2x ),3y二sin(2x),3(B)sing冷),XER(D)y二sin(2x ),x R3解析: 選 C,向左平移 3 個(gè)單位y二sin(x )3n橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的1倍兀.2t y = sin(2x +)32 2(7)設(shè)橢圓x2y2=1m n2(m0,n)的右焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)y =8x的焦點(diǎn)相同，離心2 2(A)乞亠112 162 2(B) J116 122 2(C)48642 2(D)6448解析: 拋物線(xiàn)(2,0)1，橢圓焦

13、點(diǎn)在x軸上，排除 A、C,由e排除 D，選 B2(8)已知函數(shù)f (x)x 2,-x 2,則不等式f (x)亠x2的解集是(A)-1,1(B)-2,2(C)-2,1(D)-1,2解析:依題意得x2或x 0lx+2x2x + 2x=-1乞X乞0或0：x1=-1空X乞1，(9)5兀設(shè)a二sin,b7(A)a : b : c2兀解析：a = sin 二cos,c二tan ，貝U7(C)b c：a2因?yàn)? a易得y，在a,2 a上單調(diào)遞減，所以*,a2，故2一=a_2，選 B.x2ia1(11)一個(gè)單位共有職工 200 人，其中不超過(guò) 45 歲的有 120 人，超過(guò) 45 歲的有 80 人.為了調(diào)查職

14、工的健康狀況，用分層抽樣的方法從全體職工中抽取一個(gè)容量為25 的樣本，應(yīng)抽取超過(guò) 45 歲的職工 _人.25解析：依題意知抽取超過(guò) 45 歲的職工為 80 = 10.200(12)_(X+2)5的二項(xiàng)展開(kāi)式中，X3的系數(shù)是 _(用數(shù)字作答).X解析：Tr1=C；x5(2)r=2rC；x5,r =1，所以系數(shù)為 10.x(13)_若一個(gè)球的體積為4、3二，則它的表面積為 _解析：由R = 4兀得R = J3，所以S = 4兀R = 12兀.3(14)已知平面向量a =(2,4),&=(一1,2).若2=a _(a b)b，則代i=_解析：因?yàn)?(2,4)一6(-1,2) =(8,-8)，

15、所以|2|=8 2.(15)已知圓 C 的圓心與點(diǎn)P(-2,1)關(guān)于直線(xiàn)y=x1對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)3x4y-11=0與圓 C相交于代B兩點(diǎn)，且AB =6，則圓 C 的方程為 _(16)有 4 張分別標(biāo)有數(shù)字 1 , 2, 3, 4 的紅色卡片和 4 張分別標(biāo)有數(shù)字 1 , 2, 3, 4 的藍(lán)色 卡片，從這 8 張卡片中取出 4 張卡片排成一行.如果取出的 4 張卡片所標(biāo)數(shù)字之和等于 10, 則不同的排法共有_ 種(用數(shù)字作答).解析：數(shù)字之和為 10 的情況有 4, 4, 1, 1、4, 3, 2, 1、3, 3, 2, 2.所以共有2A：24A：=18兀=432種不同排法.三、解答題解析：圓心的坐標(biāo)

16、為(0, -1)，所以r2=322(4 -11)52=18，圓的方程為x2(y 1)2=18.17 .本小題主要考查特殊角三角函數(shù)值、兩角和的正弦、二倍角的正弦和余弦、函數(shù)y = AsinC X：)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力.滿(mǎn)分12 分.解：M22=sin 2 x cos2 x 2L1H. _=72sin 2coxcos+cos2c；ixsin +2I44丿由題設(shè)，函數(shù)f(x)的最小正周期是 蘭，可得218.本小題主要考查隨機(jī)事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件等概率的基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率 知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.滿(mǎn)分12 分.(I)解法一：設(shè)“甲投球一次命中”為事件A, “乙投球一次命中

17、”為事件B，由題意得2 21(1-P(B)2=(1-p)2叮,16353解得p或p(舍去)，所以乙投球的命中率為-.444解法二：設(shè)“甲投球一次命中”為事件A, “乙投球一次命中”為事件B，由題意得 1P(B)P(B)=,16_1一1-3于是P(B)二 或P(B)=i(舍去)，故p=1-P(B)二.444343C；P(A)P(A) P(A)P(A)二-1 C0S2 xsin2 x 1(n)解：由(i)知,JTf (x) -、2 sin 4x亠 亠2.當(dāng)4x4、2k，即n k n x = + 16 2Z)時(shí)，sin 4x丿J取得最大值 1，所以函數(shù)2 丿，4f (x)的最大值是22, 此時(shí)x的集

18、合為f兀knx =蘭：-+ ,k Z I162J所以乙投球的命中率為(n)解法一：由題設(shè)和(i)知,故甲投球 2 次至少命中1 次的概率為解法二：由題設(shè)和(I)知，P(A)1 1 P(A),P(A)=2 21 -P(AA)二3.41一1 -,P(A)二.2 2故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率為41-13-1P(A),P(A),P(B),P(B)=2244(川)解：由題設(shè)和(I)知,甲、乙兩人各投球 2 次，共命中 2 次有三種情況：甲、乙兩人各中一次；甲中2 次，乙 2HEADBDBH于是在RtAPHE中，tan PEHHE次均不中；甲 2 次均不中，乙中 2 次.概率分別為_(kāi)1P(A)

19、P(B_B)二石,64P(ALA)P(B_B)今.64所以甲、乙兩人各投球 2 次，共命中 2 次的概率為31911+=16 64 643219本小題主要考查直線(xiàn)和平面垂直、異面直線(xiàn)所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間相 角能力、運(yùn)算能力和推理論證能力滿(mǎn)分12 分.(I)證明：在厶PAD中，由題設(shè)PA = 2,AD=2,PD =2、2，可得PA2AD2二PD2,于是AD _ PA.在矩形ABCD中，AD _ AB，又FA pAB A，所以AD _平面PAB.(n)解：由題設(shè)，BC/AD，所以/PCB(或其補(bǔ)角)是異面直線(xiàn)PC與AD所成的角.在厶PAB中，由余弦定理得PB = . PA2AB2-

20、2PAjAB_cosPABf 7.由(I)知AD_平面PAB,PB平面PAB,所以AD _ PB，因而B(niǎo)C _ PB，于是PBC是直角三角形,PB J7故tan PCB =.BC 2所以異面直線(xiàn)PC與AD所成的角的大小為arctan.2(川)解：過(guò)點(diǎn)P作PH _ AB于H，過(guò)點(diǎn)H作HE _ BD于E，連結(jié)PE.因?yàn)锳D_平面PAB,PH平面PAB，所以AD _ PH又ZD QAB A，因而PH -平面ABCD，故HE為PE在平面ABCD內(nèi)的射影由三垂線(xiàn)定理可知，BD _ PE從 而/PEH是二面角P - BD- A的平面角.由題設(shè)可得，PH二PA_sin60；=飛3,AH二PA|1OS60：=

21、1,BH=AB-AH=2,BD = AB2AD2二13,C；P(A)P(A)C；P(B)P(B)16PH4所以二面角p_，BD -A的大小為arctan 420.本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，考查運(yùn)算能力和推理論證能力及分類(lèi)討論的思想方法滿(mǎn)分12 分.(I)證明：由題設(shè)an勺=(1 q)an_qan(n2)，得an 1_ an-q(an -an d),即bnnqbnin2.又bi =aai=1,q = 0，所以fbn是首項(xiàng)為 1，公比為q的等比數(shù)列.(n)解：由(I),a2_ai -1,a3 _a2 =q,an-an廠(chǎng)q2(n2).將以上各式相加，得

22、an-a1=1 q qn，(n2).所以當(dāng)n2時(shí),1-q21+，an=二1 -qn，q = 1,q上式對(duì)n =1顯然成立.(川)解：由(n)，當(dāng)q =1時(shí)，顯然a3不是a6與a9的等差中項(xiàng)，故q尸1.由a3a6二a?a3可得q5q2二q2q8，由q = 0得36q -1 =1 -q,整理得(q3)2 q3-2 =0，解得q3二-2或q3=1(舍去).于是q = -32 .另一方面，n 2 n 4n -1q -q q #3 “an-an 3(q -1)，1q1_qn 1n 0恒成立，即有 幾=9a2-640.解此不等式，得88-w a.這時(shí)，f (0) =b是唯一極值.33因此滿(mǎn)足條件的a的取值范圍是.|一一，一1.IL3 3(川)解：由條件1-2,2 1可知A =9a2-64：0,從而4x2 3ax 4 0恒成立.當(dāng)x 0時(shí)，f (x)：0；當(dāng)x 0時(shí)，f (x)0.%6屮1 -q由可得an -an 3二an .6 -an,所以對(duì)任意的n N,an是an 3與an的等差中項(xiàng).103時(shí),由根與系數(shù)的關(guān)系可知線(xiàn)段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)(x0,y0)滿(mǎn)足因