2018版高中數(shù)學(xué)第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法(二)學(xué)案新人教A版必修5

1、3.2一元二次不等式及其解法(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會解可化為一元二次不等式(組)的簡單分式不等式.2.能夠從實(shí)際生活和生 產(chǎn)中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解決.3.掌握與一元二次不等式有關(guān)的恒成立問題 的解法.產(chǎn)知識梳理自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)一分式不等式的解法主導(dǎo)思想：化分式不等式為整式不等式類型同解不等式f(x)g(x) 丿法I:f(x)0(V0)或*ig(x)0法n：f(x)g(x)0(V0)f(x)V0(0)g(x)V0f(x)g(x)法I:f(x)0(W0)亠 或Ig(x) 0法n：f(x)g(x) 0 (Ig(x)M0f(x)w0(0)g(x)V0W 0)fV a、f(x)aag(x)y

2、a丿先移項(xiàng)轉(zhuǎn)化為上述兩種形式知識點(diǎn)二簡單的一元高次不等式的解法一元高次不等式f(x) 0 常用數(shù)軸穿根法(或稱根軸法、區(qū)間法)求解，其步驟是：(1) 將f(x)最高次項(xiàng)的系數(shù)化為正數(shù)；(2) 將f(x)分解為若干個一次因式或二次不可分解因式的積；(3) 將每一個根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線(注意重根情況，偶重根穿而不過，奇重根既穿又過)；(4) 根據(jù)曲線顯現(xiàn)出的f(x)值的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集.2、.2思考(x 1)(x 2)(x 3) (x 4) 0 的解集為_答案x|1vXV2 或x4解析利用數(shù)軸穿根法此不等式等價于(X+ 4)(x 3) 0, 原不等式的解集為x|

3、xv4 或x 3.x+ 1(2)方法一 移項(xiàng)得 2W0,x 2x+ 5x 5左邊通分并化簡有W0,即 0,x 2x 2(X 2)(x 5) 0,x 2 工 0,xv2 或x5.原不等式的解集為x|xv2 或x5.x 5 方法二原不等式可化為-2 0,x2知識點(diǎn)三一元二次不等式恒成立問題對一元二次不等式恒成立問題，可有以下兩種思路:(1)轉(zhuǎn)化為一元二次不等式解集為R 的情況，即(2)分離參數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題，即:恒成立?kWf(X)min.kf(x)恒成立？kf(x)max；k0(0)恒成立2ax+bx+c 0X55,解得xV2,原不等式的解集為x|XV2 或x5.反思與感悟f(x

4、)f(x)分式不等式的解法：先通過移項(xiàng)、通分整理成標(biāo)準(zhǔn)型g；x) 0(0)或g；x)-0( 0)，再化成整式不等式來解如果能判斷出分母的正負(fù)，直接去分母也可，注意不等號 的方向變化.2x_ 2x2跟蹤訓(xùn)練 1 不等式2丄2丄:2 的解集為()x+x+ 1A. x|x工一 2 B . RC. ? D . x|x2答案 A2i 1 歲 3222解析 /x+x+ 1=x+ 4 0,.原不等式？x 2x 20? (x+ 2)20,x豐2. 不等式的解集為x|XM 2.題型二解一元高次不等式例 2 解下列不等式：(1)x42x33x2v0；34(2) 1 +xxx0;2 2(6x 17x+ 12)(2x

5、 5x+ 2) 0.2解 原不等式可化為x(x 3)(x+ 1)V0,2當(dāng)xM0時，x0,由(x 3)(x+ 1)V0,得一 1VxV3;當(dāng)x= 0 時，原不等式為 0V0,無解.原不等式的解集為x| 1VxV3,且xM0.(2)原不等式可化為(x+ 1)(x 1)(x2+x+ 1)V0,而對于任意xR,恒有x2+x+ 1 0,原不等式等價于(X+ 1)(x 1)V0,原不等式的解集為x| 1VXV1.4原不等式可化為(2x 3)(3x 4)(2X 1)(x 2) 0,進(jìn)一步化為x3x 3x1(x 2) 0,如圖所示，得原不等式的解集為143、，x|xv2 或 3Vxv2 或x2 0 1422

6、3 2反思與感悟解高次不等式時，主導(dǎo)思想是降次，即因式分解后，能確定符號的因式應(yīng)先考慮約分，然后可以轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，當(dāng)然也可考慮數(shù)軸穿根法.22x+px+q跟蹤訓(xùn)練 2 若不等式x+px+qv0 的解集是x|1vxv2，則不等式%2；x6。的解集 是()A.(1 , 2)B.(s,1)U(6,+)C. (1,1)U(2,6)D. (s,1)U(1,2)U(6,+s)答案 D解析 由題意知x2+px+q= (x 1)(x 2)，則待解不等式等價于(x 1)(x 2)(x2 5x 6) 0? (x 1)(x 2)(x 6)(x+ 1) 0?xv 1 或 1vxv2 或x 6.題型三不等式恒成

7、立問題例 3 對任意的x R,函數(shù)f(x) =x2+ (a 4)x+ (5 2a)的值恒大于 0,貝 Ua的取值范圍為答案(一 2, 2)解析 由題意知，f(x)開口向上，故要使f(x) 0 恒成立,只需v0 即可，2即(a4)4(52a)v0,解得2vav2.反思與感悟 有關(guān)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍的問題，通常處理方法有兩種：(1)考慮能否進(jìn)行參變量分離，若能，則構(gòu)造關(guān)于變量的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大(小)值,505從而建立參數(shù)的不等式;(2)若參變量不能分離，則應(yīng)構(gòu)造關(guān)于變量的函數(shù)(如一元一次、一元二次函數(shù))，并結(jié)合圖象 建立關(guān)于參數(shù)的不等式求解.跟蹤訓(xùn)練 3 對任意a 1, 1，函數(shù)

8、f(x) =x2+ (a 4)x+ 4-2a的值恒大于零，則x的取值范圍是()A. 1 3C. 1x2答案 B2解析f(x) 0,.x+ (a 4)x+ 4 2a0,2即(x 2)a+ (x+ 4 4x) 0,設(shè)g(a) = (x 2)a+ (x 4x+ 4)F22x 2 +x 4x+ 4 =x 3x+ 2 0,= 2 2x+ 2 +x+ 4 4x=x 5x+ 6 0, x 3.題型四一元二次不等式在生活中的應(yīng)用例 4 某人計(jì)劃收購某種農(nóng)產(chǎn)品， 如果按每噸 200 元收購某農(nóng)產(chǎn)品，并按每 100 元納稅 10 元 (又稱征稅率為 10 個百分點(diǎn))，計(jì)劃可收購a萬噸，政府為了鼓勵個體多收購這種農(nóng)

9、產(chǎn)品，決定將征稅率降低X(XM0)個百分點(diǎn)，預(yù)測收購量可增加 2x個百分點(diǎn).(1) 寫出稅收y(萬元)與x的函數(shù)關(guān)系式；(2) 要使此項(xiàng)稅收在征稅率調(diào)節(jié)后，不少于原計(jì)劃稅收的83.2%，試確定x的取值范圍.解(1)降低后的征稅率為 (10 x)%，農(nóng)產(chǎn)品的收購量為a(1 + 2x%)萬噸，收購總金額為200a(1 + 2x%).依題意得，y= 200a(1 + 2x%)(10 x)%1=50a(100 + 2x)(10 x)(0 x20ax83.2 %化簡得x2+ 40 x 84W0, 又 Ovx 0,g(1 )0,60 x 2.x的取值范圍是x|O 12,2S乙=0.05x+ 0.005x1

10、0.分別求解，得x30.x40.由于x0,從而得x甲30 km/h ,x乙40 km/h.經(jīng)比較知乙車超過限速，應(yīng)負(fù)主要責(zé)任.訂當(dāng)堂檢測自杳自糾x一 21.若集合A=x| 1W2X+ 1w3,B=x|=w0，貝 UAnB等于（）z.A.x|1wx0 B.x|0 xw1C. x|0wx2 D.x|0wxw1答案 B解析 A= x| 1wxw1,B= x|0 xw2,AnB= x|0 xw1.2 .若集合A= x|ax2ax+ 10 = ?，則實(shí)數(shù)a的值的集合是（）A.a|0a4 B.a|0wa4C. a|00 時，相應(yīng)二次方程中的得a|0 a4，故選 D.答案x|41解析原式可轉(zhuǎn)化為(x+ 1)(x+ 2)1 2 3(x+ 3)(x+ 4) 0,根據(jù)數(shù)軸穿根法，解集為4x 1.24.設(shè)x 2x+a 8W0對于任意x (1 , 3)恒成立，求a的取值范圍.解 原不等式x 2x+a 8W0轉(zhuǎn)化為awx+ 2x+ 8 對任意x (1 , 3)恒成立，設(shè)f(x) =x2+ 2x+ 8，易知f(x)在1 , 3上的最小值為f(3) = 5.a(g,5.5.某文具店購進(jìn)一批新型臺燈，若按每盞臺燈 15 元的價格銷售，每天能賣出 30 盞；若售價每提高 1 元，日銷售量將減少 2 盞為了使這批臺燈每天能獲得400 元以上的銷售收入，應(yīng)怎樣制定這批臺燈的銷售價格？ 解 設(shè)