探究活動(dòng)行程問題探究

1、行程問題的探究上海民辦桃李園實(shí)驗(yàn)學(xué)校斯宜軍一、教學(xué)目標(biāo)：1、能利用公倍數(shù)及最小公倍數(shù)解決行程問題中一類同時(shí)成立的問題2、經(jīng)歷探究行程問題中同時(shí)成立的過程，體驗(yàn)分類討論的思想3、通過一題多解的過程，提升數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性二、教學(xué)重點(diǎn)：能通過讀題、審題、探究體會(huì)“同時(shí)成立”三、教學(xué)難點(diǎn)：能用列舉法來描述有限種結(jié)果，能了解同時(shí)成立的問題的處理策 略。四、教學(xué)過程：（一）導(dǎo)入新課小明、小杰分別站在邊長(zhǎng)為12米的正方形道路 ”ABCD的頂點(diǎn)D、C處，他們開始以每秒1米和1.2米的速度沿正方形道路按順時(shí)針方向勻速行走。問：（1）小明、小杰分別從一個(gè)頂點(diǎn)走到下一個(gè)頂點(diǎn)需要多少時(shí)間？A答：知道路程和速度求時(shí)間，

2、則小明、小杰分別需要12秒、10秒（2）小明、小杰分別走一圈回到起點(diǎn)需要多少時(shí)間？答：小明、小杰走完一圈分別需要48秒、40秒（二）講解新課小明、小杰分別站在邊長(zhǎng)為12米的正方形道路ABCD的頂點(diǎn)D、C處，他們 開始以每秒1米和1.2米的速度沿正方形道路按順時(shí)針方向勻速行走。問：（1）經(jīng)過多少秒，小明第一次（初始位置除外）到達(dá)點(diǎn) D處，且小杰第一次到達(dá)點(diǎn)C處？經(jīng)過多少秒，小明第二次到達(dá)點(diǎn) D處，且小杰第二次到達(dá)點(diǎn) C 處？有什么規(guī)律？答：小明每走一圈回到 D處需要48秒，小杰每走一圈回到 C處需要40秒，則 兩人同時(shí)回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)間為48和40的公倍數(shù)。那么第一次同時(shí)回到出發(fā)點(diǎn)為 48和40的最

3、小公倍數(shù)，即為240秒；第二次回到出發(fā)點(diǎn)用時(shí)為480秒；規(guī)律：兩人同時(shí)第n次回到出發(fā)點(diǎn)用時(shí)為240n秒。（n為正整數(shù)）（2）經(jīng)過多少秒，小明和小杰第一次都處在正方形的頂點(diǎn)處？有什么規(guī)律？答：小明每到下一個(gè)頂點(diǎn)需要12秒，小杰每到下一個(gè)頂點(diǎn)需要10秒，則兩人同 時(shí)處在頂點(diǎn)處的時(shí)間為12和10的公倍數(shù)。那么第一次處在頂點(diǎn)處的時(shí)間為 12 和10的最小公倍數(shù)，即為60秒。規(guī)律：兩人同時(shí)第n次處在頂點(diǎn)處用時(shí)為60n秒。（n為正整數(shù)）（3）經(jīng)過多少秒，小明和小杰第一次都在正方形的同一頂點(diǎn)處？答：法（1先考慮在頂點(diǎn)處，再通過列舉法找到在同一頂點(diǎn)的情況。因?yàn)槊拷?jīng)過240秒，小明和小杰所處的位置均恢復(fù)到初始位

4、置，即小明在 D處， 小杰在C處。所以我們只需要考慮240秒內(nèi)，兩人同在頂點(diǎn)的所有可能結(jié)果。 又因?yàn)閮扇嗣?0秒同時(shí)在頂點(diǎn)處，所以列表如下：時(shí)間60秒120秒180秒240秒小明所處位置CBAD小杰所處位置ACAC所以，第一次兩人都在正方形同一頂點(diǎn)處用時(shí)為180秒法（2）用行程問題中相遇的方法來解決。1.2t t 36 48n （ n為非負(fù)整數(shù)）當(dāng)n=0時(shí)，即為第一次相遇，解得t 180師問：你們覺得這個(gè)答案嚴(yán)謹(jǐn)嗎？需要檢驗(yàn)嗎？帶領(lǐng)同學(xué)們?cè)俅握J(rèn)真審題，并鼓勵(lì)他們提出自己的想法。結(jié)論：此時(shí)僅考慮在同一點(diǎn)，并沒有考慮這個(gè)點(diǎn)是否為頂點(diǎn)。 所以需要檢驗(yàn)所得 的時(shí)間t是否為60的整數(shù)倍。經(jīng)檢驗(yàn)t 180

5、 240n 60(3 4n) ( n為非負(fù)整數(shù))符合題意(4)小明和小杰能同時(shí)出現(xiàn)在正方形的同一頂點(diǎn) D處嗎？為什么？可能出現(xiàn)小明在點(diǎn)D而小杰在點(diǎn)B處的情況嗎？答：因?yàn)槊拷?jīng)過240秒，小明和小杰所處的位置均恢復(fù)到初始位置，即小明在 D 處，小杰在C處。所以我們只需要考慮240秒內(nèi)，兩人同在頂點(diǎn)的所有可能結(jié) 果。又因?yàn)閮扇嗣?0秒同時(shí)在頂點(diǎn)處，所以列表如下：時(shí)間60秒120秒180秒240秒小明所處位置CBAD小杰所處位置ACAC所以，由列表可知，兩人不可能同時(shí)出現(xiàn) D處；也不可能出現(xiàn)小明在點(diǎn) D處而小杰在點(diǎn)B處或點(diǎn)C處。門.“ f4(三)鞏固練習(xí)小明、小杰分別站在邊長(zhǎng)為12米的正方形道路ABC

6、D的頂點(diǎn)D、C處，他們開始以每秒1米和1.2米的速度沿正方形道路按逆時(shí)針方向勻速行走。 AB問：(1)經(jīng)過多少秒，小明和小杰第一次都在正方形的同一頂點(diǎn)處？有什么規(guī)律？(2)小明和小杰能同時(shí)出現(xiàn)在正方形的同一頂點(diǎn) D處嗎？為什么？可能出現(xiàn)小明在點(diǎn) D 而小杰在點(diǎn)B 處的情況嗎？（四）小結(jié)小組交流說一說這節(jié)課你的收獲（五）作業(yè)布置小明、小杰分別站在邊長(zhǎng)為12 米的正方形道路ABCD 的頂點(diǎn) D、 B 處，他們開始以每秒1 米和 1.2米的速度沿正方形道路按順時(shí)針方向勻速行走。問： （ 1） 經(jīng)過多少秒，小明和小杰第一次都在正方形的同一頂點(diǎn)處？有什么規(guī)律？（ 2）小明和小杰能同時(shí)出現(xiàn)在正方形的同一頂

7、點(diǎn)D 處嗎？為什么？可能出現(xiàn)小明在點(diǎn) D 而小杰在點(diǎn)B 處的情況嗎？五、教學(xué)設(shè)計(jì)說明（一）關(guān)于內(nèi)容的說明本節(jié)課內(nèi)容安排在第六章一次方程（組）和一次不等式（組）結(jié)束后的探究活動(dòng)中，用意就是通過具體的探究活動(dòng)來掌握同時(shí)成立處理策略。 “同時(shí)成立”從集合的角度來看即為求兩個(gè)集合的交集的過程。所以可以采用分別求出兩者獨(dú)立成立的情況，再求公共部分。（二）關(guān)于教法的說明1、為了降低難度，故設(shè)計(jì)了引例。讓學(xué)生簡(jiǎn)單熟悉下行程問題中知道路程和速度求時(shí)間，知道環(huán)線行駛中走n 圈所用時(shí)間為單圈的整數(shù)倍。為引出下面的公倍數(shù)做好鋪墊。2、新課講解中同樣遵循的是教材中原有的順序，先設(shè)計(jì)的問題是兩者同時(shí)回到出發(fā)點(diǎn)所用時(shí)間，

8、所以時(shí)間既是48 的倍數(shù)也是40 的倍數(shù)，即為兩數(shù)的公倍數(shù)。從而找到規(guī)律得出結(jié)論，每 240 秒兩人都回到出發(fā)點(diǎn)，回到初始狀態(tài)，為第三題的思考做了鋪墊。這里存在了周期性，教學(xué)中可以適當(dāng)介紹。如同你每周四體育活動(dòng)課， 那么你再經(jīng)過幾天可以上體育活動(dòng)課呢？同樣，第二題也是為第三題做鋪墊的，第二問得到的結(jié)論是每60 秒兩人都處在頂點(diǎn)處。本節(jié)課的難點(diǎn)就落在第三問中，我采用了兩種解法剖析了這道題，帶領(lǐng)同學(xué)們用兩種策略處理這里的同時(shí)成立。法一，先從滿足在頂點(diǎn)處入手，再考慮周期性，故可以在240 秒內(nèi)列舉法表示所有可能的結(jié)果，從結(jié)果中找到處在同一頂點(diǎn)的情況。這個(gè)邏輯是合理的。法二，則是先滿足同一點(diǎn)這個(gè)條件，即兩者相遇了，從而解得當(dāng)n =0 時(shí)，即為第一次相遇，解得 t180。 但往往學(xué)生會(huì)忽略再去考慮此時(shí)相遇的點(diǎn)是否