高中排列組合知識點(diǎn)匯總及典型例題(全)

1、高中排列組合知識點(diǎn)匯總及典型例題（全）一. 基木原理1 加法原理：做一件爭有n類辦法，則完成這件爭的方法數(shù)等于各類方法數(shù)相加。2 乘法原理：做一件爭分n步完成則完成這件事的方法數(shù)等于各步方法數(shù)相乘。注：做一件事時元素或位宜允許重復(fù)使用.求方法數(shù)時常用基木原理求解n二. 排列：從n個不同元素中，任収 m ( m n )個元素按照一定的順序排成 列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列，所有排列的個數(shù)記為1. 公式：1.碼 Fs-如-2)(H-In+ )=-J±- 止沁SAoe(H _ n)l2Xw!w(-l)(-2).2l 規(guī)定：OJ=I(1)7?! = /?×(/?-

2、1)!,(n +1)×n! = (7 + l)! (2) 7×7?! = ( +1) 1x！=(料 +1)xn! d = (/? +1)!-/?!；z. n/? +1 -1z + l 111(3) =一=一S + l)!5 + 1)!(舁 + 1)!5 + 1)! n! (n + )三. 組合：從n個不同元素中任収m (mn)個元素并組成一組，叫做從n個不同的In元素中任取m個元素的組合數(shù).記作Cn。I 公式.Cm _ A： _ Mn l)(n-m+l) _ d M工加衛(wèi)Al,朋A0,松 mcN 規(guī)定.CO =n_A：_m! m!(n-m)!*”2組合數(shù)性質(zhì):C； = C,

3、”，C： + Crl = C陽,C： +C*+ + C； = 2”C C=CZI；冷=心；：a+%+% + "/*注：c；+c;+I +C2+.Cl + c： = C；：；+c；+1+c2+.<-1+c；=C；：；+c；+2 + C鳥+c：I = c；：； 若 CT = C：唄 IJm二叫或 J +m2 = n四. 處理排列組合應(yīng)用題1 明確要完成的是一件什么爭(審題) 有序還是無序 分步還是分類。2. 解排列、組合題的基木策略(1) 兩種思路：直接法： 間接法：對有限制條件的問題先從總體考世再把不符合條件的所有情況去掉。這是解決排列組合應(yīng)用題時一種常用的解題方法。(2) 分類

4、處理：和問題總體不好解決時，常分成若干類，再由分類計(jì)數(shù)原理得出結(jié)論。注意：分類不求復(fù)不遺臥即：每兩類的交集為空集，所有各類的并集為全集。(3) 分步處理：與分類處理類似，某些問題總體不好解決時.常常分成若干步，再由分步汁數(shù)原理解決。在處理排列組合問題時，常常既要分類,又要分步。其原則是先分類.后分步。(4) 兩種途徑：元素分析法：位宜分析法。3. 排列應(yīng)用題：(1) 窮舉法(列舉法)：將所有滿足題設(shè)條件的排列與組合逐一列舉出來：(2).特殊元素優(yōu)先考慮、特殊位迓優(yōu)先考慮：(3) 相鄰問題：捆邦法：對于某些元素耍求相鄰的排列問題，先將相鄰接的元素“捆綁”起來，看作一“大”元素與其余元素排列，然后

5、再對相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行排列。(4) 、全不相鄰問題，插空法：某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位迓時可采用插空法即先安排好沒有限制條件的元素，然后再將不相 鄰接元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入。(5) 、順序一定，除法處理。先排后除或先定后插解法一：對于某幾個元素按一定的順序排列問題.可先把這幾個元素與其他元素一同進(jìn)行全排列，然后用總的排列數(shù)除于這幾個元素的全排列 數(shù)。即先全排.再除以定序元素的全排列。解法二：在總位置中選出定序元素的位宜不參加排列，先對其他元素進(jìn)行排列.剩余的幾個位豐放定序的元素.若定序元素要求從左到右或從右 到左排列.則只有1種排法：若不要求，則有2種排法：(6)

6、 “小團(tuán)體"排列問題采用先整體后局部策略對于某些排列問題中的某些元素要求組成“小團(tuán)體"時.可先將“小團(tuán)體”看作一個元素與其余元素排列，展后再進(jìn)行“小團(tuán)體”內(nèi)部的排列。(7) 分排問題用“直排法”把元素排成幾排的問題.可歸納為一排考慮.再分段處理。(8) 數(shù)字問題(組成無重復(fù)數(shù)字的整數(shù) 能被2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是偶數(shù)：不能被2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是奇數(shù)。能被3整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)： 能被9整除的數(shù)的特征：備位數(shù)字之和是9的倍數(shù)能被1整除的數(shù)的特征：末兩位是4的倍數(shù)。能被5整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是0或 5o能被25整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)是25, 50,

7、 75。能彼6整除的數(shù)的持征：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)的偶數(shù)。4組合應(yīng)用題：(1)“至少”“至多”問題用間接排除法或分類法：(2)“含”與“不含”用間接排除法或分類法：3. 分組問題：均勻分組：分步取得組合數(shù)相乘，再除以組數(shù)的階乘。即除法處理。非均勻分組：分步取，得組合數(shù)相乘。即組合處理。混合分組：分步取得組合數(shù)相乘再除以均勻分組的組數(shù)的階乘C4. 分配問題:定額分配：(指定到具體位宜)即固定位宜固定人數(shù)，分步取，得組合數(shù)相乘。隨機(jī)分配：(不抬定到具體位置)即不固定位宜但固定人數(shù).先分組再排列，先組合分堆后排.注總平均分堆除以均勻分組組數(shù)的階乘。5. 隔板法： 不可分辨的球即相同元素分組問趣例1

8、電視臺連續(xù)播放6個廣告，其中含4個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告.則共有種不同的播放方式(結(jié)果用數(shù)值表示)解：分二步：首尾必須播放公益廣告的有卅種：中間4個為不同的商業(yè)廣告有和種從而應(yīng)嗎填V-A11 = 48.從而應(yīng)填48例36人排成一行，甲不排在昴左端.乙不排在最右端.共有藝少種排法？解一間接法：即農(nóng)一念一左+A： =720 2x120 + 24 = 504解二：（1）分類求解：按甲排與不排在最右端分類 甲排在最右端時,有種排法：（2）甲不排在最右端（甲不排在最左端）時.則甲有種排法，乙有種排法，其他人有種排法 共有A： A： 種排法，分類相加得共有&

9、+ £ A： =501種排法例有4個男生，3個女生，商矮互不相等，現(xiàn)將他們排成一行要求從左到右，女生從履到高排列.有多少種排法？分析一先在7個位宜上任取4個位辻排男生，有At種排法剩余的3個位宜排女生，因要求“從綾到高” 只有1種排法，故共有 A； 1=840 種.1從4臺甲型和5臺乙型電視機(jī)中任収3臺，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺，則不同的取法共有解析1：逆向思考.至少族一臺的反面就是分別只取一種空號，不取另一種型號的電視機(jī).故不同的取法共有C；-C：_ C： = 70種,選C 解析2：至少要甲型和乙型電視機(jī)徐一臺可分兩種情況：甲型1臺乙型2臺：甲型2臺乙型1臺：故不同的取法有

10、CfC；+C；Cj=7 0臺,選 C2. 從5名男生和4名女生中選出4人去參加辯論比賽 （1）如果4人中男生和女生各選2人有_種選法：（2）如果男生中的甲與女生中 的乙必須在內(nèi)有_種選法：（3）如果男生中的甲與女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，有種選法：（4）如果4人中必須既有男生又有女生， 有種選法分析：木題考査利用種數(shù)公式解答與組合相關(guān)的問題由于選出的人沒有地位的差異，所以是組合問題.解：（1）先從男生中選2人.有Cf種選法，再從女生中選2人.有Cf種選法，所以共有C；Cj=60 （種）：（2）除去甲、乙之外其余2人可以從剩下的7人中任意選擇，所以共有C；C；=21 （種）：（3）在9人選4人的

11、選法中.把甲和乙都不在內(nèi)的去掉.得到符合條件的選法數(shù)：C： _ C；二91 （種）：直接法，則可分為3類：只含甲：只含乙 同時含甲和乙，得到符合條件的方法數(shù)C；C；+C；C；+C；G=C；+C； + C；=91 （種）.（4）在9人選4人的選法中，把只有男生和只有女生的情況排除掉，得到選法總數(shù)C； 一C-C>120 （種）直接法：分別按照含男生1、2、3人分類，得到符合條件的選法為C；C； + C；C； + C；C； =120 （種）.1. 6個人分乘兩輛不同的汽牟每輛午最女坐4人.則不同的乘車方法數(shù)為（）A. 40B 50C 60D 70解析先分組再排列，一組2人一組4人有Ci= 15

12、種不同的分法：兩組各3人共WS=IO種不同的分法，所以乘午方法數(shù)為25X2 = 50.故 選B.2. 有6個座位連成一排，現(xiàn)有3人就坐則恰有兩個空座位相鄰的不同坐法有（）A. 36種B. 18種 C72種D96種解析恰有兩個空座位相鄰，相十于兩個空位與第三個空位不相鄰，先排三個人，然后插空，從而共AiAl=72種排法，故選C.3. 只用1,2,3三個數(shù)字組成一個四位數(shù)，規(guī)定這三個數(shù)必須同時使用且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有（）A 6個B 9個 Cl8個D 36個解析注意題中條件的要求，一是2個數(shù)字必須全部使用，二是相同的數(shù)字不能相鄰選四個數(shù)字共有C； = 3（種）選法，即 1231,1

13、232,1233.而每種選擇有AIxd=6（種）排法，所以共有3×6 = 18（種）悄況，即這樣的四位數(shù)有18個.4. 男女學(xué)生共有8人，從男生中選取2人.從女生中選取1人.共有30種不同的選法，其中女生有（）A. 2人或3人 B. 3人或4人 C. 3人 D4人解析設(shè)男生有刀人，則女生有（8刃人.由題總:可得C：CLl=30,解得=5或力=6代入驗(yàn)證，可知女生為2人或3人.5. 某幢摟從二樓到三樓的樓梯共10級.上樓可以一步上一級也可以一步上兩級.若規(guī)定從二樓到三樓用8步走完，則方法有（）A. 45種B. 36種 C28種D25種解析因?yàn)?0÷8的余數(shù)為2.故可以肯定一步

14、一個臺階的有6步.一步兩個臺階的有2步，那么共有Ci=28種走法.6. 某公司招聘來8名員匸平均分配給下屈的甲.乙兩個部門.其中兩名英語翻譯人員不能分在同一個部門，另外三名電腦編程人員也不能全 分在同一個部門，則不同的分配方案共有（）A. 24 種B. 36 種 C. 38 種D. 108 種解析木題考査排列組合的綜合應(yīng)用，據(jù)題總可先將兩名鋪?zhàn)g人員分到兩個部門，共有2種方法第二步將3名電腦編程人員分成兩組， 組1人另一組2人，共有C；種分法，然后再分到兩部門去共有C阪種方法，第三步只需將其他3人分成兩組，一組1人另一組2人即可由于是 每個部門各4人，故分組后兩人所去的部門就已確定，故第三步共有

15、C；種方法，由分步乘法汁數(shù)原理共有2C忑C=36（種）7. 已知集合A= 5）. B=lf2. r=（l,3,4.從這三個集合中各取一個元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，則確定的不同點(diǎn)的個數(shù)為（）A. 33B 34 C 35D 36解析所得空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)中不含1的有C： A=12個： 所得空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)中含有1個1的有C： A?+Aj= 18個： 所得空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)中含有2個1的有C5 = 3個.故共有符合條件的點(diǎn)的個數(shù)為12+18 + 3=33個故選A8. 由-2. 3、4、5. 6組成沒有重復(fù)數(shù)字且1、3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個數(shù)是（）A. 72B 9

16、6 C 108D 144解析分兩類：若1與3相鄰.有龍 CiAiAi=72（） 若1與3不相鄰有M A=36（個）故共有72÷36 = 108個.9. 如果在一周內(nèi)（周一至周日）安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館，每天最箏只安排一所學(xué)校.要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，其余學(xué)校均只參觀一 天，那么不同的安排方法有（）A50種B. 60種 C. 120種D210種解析先安排甲學(xué)校的參觀時間,一周內(nèi)兩天連排的方法一共有6種：（1,2）. （2,3）、（3,4）、（4,5）. （5,6）. （6,7）,甲任選一種為然 后在剩下的5天中任選2天有序地安排其余兩所學(xué)校參觀.安排方法有Ai種，按照分步乘法計(jì)

17、數(shù)原理可知共有不同的安排方法C： Ai=120種. 故選C.10安排7位工作人員在5 ） 1日到5丿J 7曰值班，每人值班一天其中甲.乙二人都不能安排在5 JJ 1日和2日，不同的安排方法共有 種.（用數(shù)字作答）解析先安排甲.乙前人在后5天值班有£=20（種）排法.其余5人再進(jìn)行排列有Al=120（）排法.所以共有20X120 = 2400（種）安排 方法11今有2個紅球.3個黃球.4個白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個球排成一列有種不同的排法（用數(shù)字作答）解析由題總:可知因同色球不加以區(qū)分，實(shí)際上是一個組合問題.共有C；-Cbd = 1260（種）排法.12將6位,忐愿者分成4組，其

18、中兩個組各2人.另兩個組各1人，分赴世廨會的四個不同場館服務(wù)，不同的分配方案有種（用數(shù)字作答）解析先將6名忐愿者分為4組，共有罟種分法再將4組人員分到4個不同場館去共有A：種分法故所有分配舛A方案有：容A=1 080種13.要在如圖所示的花圃中的5個區(qū)域中種入4種顏色不同的花，要求相鄰區(qū)域不同色，有種不同的種法（用數(shù)字作答解析5有4種種法 1有3種種法 4有2種種法若1. 3同色，2有2種種法，若1、3不同色，2有1種種法，14將標(biāo)號為23, 4, 5, 6的6張卡片放入3個不同的信封中.若每個信封放2張，其中標(biāo)號為1, 2的卡片放入同一信封則不同的方 法共有（A） 12 種（B） 18 種（

19、C） 36 種（D） 54 種Cly=IS【解析】標(biāo)號1,2的卡片放入同一封信有種方法：其他四封信放入兩個信封，每個信封兩個有“無種方法共有種，故選B.15.某單位安排7位員丄在10丿1日至7曰值班，每天1人，每人值班1天，若7位員匚中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10丿JI日.T 不排在10 7日，則不同的安排方案共有A. 501 種B. 960 種 C.1008 種D. 1108 種解析：分兩類：甲乙排1、2號或6、7號共有2xA;AA種方法甲乙排中間,丙排7號或不排7號，共有4+ A'aMs）種方法故共有1008種不同的排法有 4 X 3 X 2 X （IX，+ 1X1） 7 種

20、名稱排列組合一個從II個不同元索中取出m個元 索，按一定的順序排成一列從n個不同元索中取出m個元 素，把它并成一組數(shù)所有排列的的個數(shù)所有組合的個數(shù)符號A；：C：種數(shù) 公式Al" =AT(A7 1)(一/71+1)*5 加！0!=1-(n-zn÷l)C” =】關(guān)系V=G7 性質(zhì)1排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系:全排列：n個不同元素全部取出的一個排列全排列數(shù)公式：所 有全排列的個數(shù)，BP：=77×(71-1)×(72- 2) -x2×l排列組合二項(xiàng)式定理1,分類計(jì)數(shù)原理完成一件事有幾類方法，各類辦法相互獨(dú)立每類辦法又有多種不同的辦法(每一種都可以獨(dú)立的完成

21、這個事情)分步計(jì)數(shù)原理 完成一件事，需要分幾個步驟，每一步的完成有多種不同的方法2,排列排列定義：從n個不同元素中，任取m (mn)個元素(被取出的元素各不相同)，按 照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。排列數(shù)定義；從n個不同元素中，任取m (mn)個元素的所有排列的個數(shù)人；：規(guī)定0! =13,組合組合定義 從n個不同元素中，任取m (mn)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合組合數(shù) 從n個不同元素中，任取m (mn)個元素的所有組合個數(shù) CmH!(n-n)!性質(zhì)嚴(yán) Cn =廠+廣J n j nJ n+l J ft J /r排列組合題型總結(jié)直

22、接法1 .特殊元素法例1用1,2,3,4,5,6這6個數(shù)字組成無重復(fù)的四位數(shù),試求滿足下列條件的四位數(shù)各有多少個數(shù)字1不排在個位和千位(2 )數(shù)字1不在個位,數(shù)字6不在千位。分析：(1)個位和干位有5個數(shù)字可供選擇履，其余2位有四個可供選擇,由乘法原理:A； =2402.特殊位置法(2 )當(dāng)1在千位時余下三位有AI =60 , 1不在千位時，千位有A*種選法,個位有A*種,余下的有,共有A： A： =192所以總共有 192+60=252二間接法 當(dāng)直接法求解類別比較大時，應(yīng)采用間接法如上例中(2 )可用間接法A： - 2A； + A; =252Eg有五張卡片,它的正反面分別寫0與1,2與3,

23、4與5,6與7,8與9,將它們?nèi)我馊龔埐⑴欧旁谄鸾M成三位數(shù),共可組成多少個不同的三位數(shù)分析：任取三張卡片可以組成不同的三位數(shù)C； X23 X 個，其中0在百位的有C×22×A;個，這是不 合題意的。故共可組成不同的三位數(shù)C×23×A-C>22× A;=432Eg三個女生和五個男生排成一排(1) 女生必須全排在一起有多少種排法(捆綁法)(2 )女生必須全分開(插空法須排的元素必須相鄰)(3) 兩端不能排女生(4) 兩端不能全排女生(5 )如果三個女生占前排，五個男生站后排，有多少種不同的排法二插空法當(dāng)需排元事中有不能相鄰的元素時,宜用插空法

24、。例3在一個含有8個節(jié)目的節(jié)目單中(臨時插入兩個歌唱節(jié)目f且保持原節(jié)目順序r有多少中插入方法？分析：原有的8個節(jié)目中含有9個空檔J插入一個節(jié)目后J空檔變?yōu)?0個，故有A； X AIlO =100中插入方法.三. 捆綁法 當(dāng)需排元癡中有必須扌目鄰的元養(yǎng)時宜用捆綁法。1.四個不同的小球全部放入三個不同的盒子中J若使每個盒子不空，則不同的放法有_種(caI),2 f某市植物園要在30天內(nèi)接待20所學(xué)校的學(xué)生參觀，但每天只能安排一所學(xué)校，其中有一所學(xué)校人數(shù)較多，要安排連續(xù)參觀2天J其余只 參觀一天，則植物園30天內(nèi)不同的安排方法有(C；9 人叢)(注意連續(xù)參觀2天，即需把30天種的連續(xù)兩天擱綁看成一天

25、作為一個整體來選有Cj9其余的就是19所學(xué)校選28天進(jìn)行幷咧)四. 閣板法 名額分配或相同物品的分配問題，適宜采閣板用法例5某校準(zhǔn)備組建一個由12人組成籃球隊(duì)J這12個人由8個班的學(xué)生組成，每班至少一人r名額分配方案共_種。分忻：此例的實(shí)質(zhì)是12個名額分配給8個班f每班至少一個名額，可在12個名額種的11個空當(dāng)中插入7塊閘板f 一種插法對應(yīng)一種名額 的分配方式，故有C種五平均分推問題eg 6本不同的書按一下方式處理,各有幾種分發(fā)？(1) 平均分成三堆，(2) 平均分給甲乙丙三人(3) 堆一本，一堆兩本，一對三本（4 ）甲得一本，乙得兩本，丙得三本（一種分組對應(yīng)一種方案）（5 ） 一人的一本,一人的兩本，一人的三本分析：1,分出三堆書（a,a2 ） ,（a3,a4） , （ a5,a6）由順序不同可以有二6種，而這6種分法只算一種 分堆方式,故6本不同的書平均分成