(完整版)平面投影

1、點(diǎn)、直線和平面 >> 平面 >> 平面的表示法4平面4.1平面的表示法在空間平面可以無(wú)限延展，幾何上常用確定平面的空間幾何元素表示平面，平面 的投影也可以用確定該平面的幾何元素的投影來(lái)表示。在投影圖中表示平面有以下兩種方 法。4.1.1 一般幾何元素表示法如圖36所示，在投影圖上，平面的投影可以用下列任何一組幾何元素的投影來(lái)表 示。(d)(e)(b)(c)圖36用幾何元素的投影表示平面的投影 不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，如圖36(a)所示； 一直線與該直線外的一點(diǎn)，如圖36(b)所示； 相交兩直線，如圖36(c)所示； 平行兩直線，如圖36(d)所示； 任意平面圖形(如三角

2、形，圓等)如圖36(e)所示。圖36所示的表示平面的五種形式都是從第一種演變而來(lái)，它們之間可以互相轉(zhuǎn)換。4.1.2跡線表示法平面與投影面的交線稱為平面的跡線。跡線是屬于平面的一切直線跡點(diǎn)的集合。在圖37(a)中，平面P與H面的交線稱為水平跡線，用Ph表示；平面P與V面的交線稱為正面跡線，用PV表示；平面P與W面的交線稱為 側(cè)面跡線，用PW表示。Ph、Pv、PW之 間的交點(diǎn)Px、Py、Pz稱為跡線集合點(diǎn)，分別位于 OX、OY、OZ軸上。圖37用平面的跡線表示平面跡線是平面上的直線，完全可以用兩條或三條跡線表示平面。平面的跡線既屬于平面，又屬于投影面，因此，跡線的一個(gè)投影必然與跡線本身 重合，另外

3、兩個(gè)投影分別與投影軸重合。在投影圖中，一般只用與跡線本身重合的投影表 示平面，不畫(huà)與投影軸重合的投影。如圖37(b)所示，用Ph、Pv、Pw表示平面P。應(yīng)該指出，用以上兩種方法表示同一平面是可以互相轉(zhuǎn)化的。用跡線表示平面實(shí)際上也是用幾何兀素表示平面，只不過(guò)前者是后者的特例。4.2各種位置平面的投影平面根據(jù)其對(duì)投影面的相對(duì)位置不同，可以分為三類：一般位置平面、投影面的垂直 面、投影面的平行面，其中后兩類統(tǒng)稱為特殊位置平面。4.2.1 一般位置平面一般位置平面是指對(duì)三個(gè)投影面既不垂直又不平行的平面，如圖38(a)所示。平面與投影面的夾角稱為平面對(duì)投影面的傾角，平面對(duì)H、V和W面的傾角分別用a、B和

4、丫表示。由于一般位置平面對(duì) H、V和W面既不垂直也不平行，所以它的三面投影既不反映平面圖 形的實(shí)形，也沒(méi)有積聚性，均為類似形，如圖38(b)所示。(a)(b)圖38 一般位置平面4.2各種位置平面的投影平面根據(jù)其對(duì)投影面的相對(duì)位置不同，可以分為三類：一般位置平面、投影面的垂直 面、投影面的平行面，其中后兩類統(tǒng)稱為特殊位置平面。4.2.1 一般位置平面一般位置平面是指對(duì)三個(gè)投影面既不垂直又不平行的平面，如圖38(a)所示。平面與投影面的夾角稱為平面對(duì)投影面的傾角，平面對(duì)H、V和W面的傾角分別用a、B和丫表示。由于一般位置平面對(duì) H、V和W面既不垂直也不平行，所以它的三面投影既不反映平面圖 形的實(shí)

5、形，也沒(méi)有積聚性，均為類似形，如圖38(b)所示。(b)4.2.2投影面的垂直面投影面的垂直面是指只垂直于某一投影面的平面。在三投影面體系中有三個(gè)投影面，所以投影面的垂直面有三種：鉛垂面只垂直于H面的平面、正垂面只垂直于V面的平面、側(cè)垂面 只垂直于W面的平面。在三投影面體系中，投影面的垂直面只垂直于某一個(gè)投影面，與另外兩個(gè)投影面傾斜。這類平面的投影具有積聚的特點(diǎn)，能反映對(duì)投影面的傾角，但不反映平面圖形的實(shí)形。以表3中的鉛垂面為例，平面 P（ ABC）垂直于H面，同時(shí)傾斜于 V、W面，其 投影特性如下。（1）用平面圖形 ABC表示的鉛垂面的投影特性1）水平投影abc積聚為一條直線，該直線與 0X

6、軸、OYH軸的夾角分別反映平面與V面、W面的傾角B、y；2）正面投影和側(cè)面投影均為 ABC的類似形。（2）用跡線表示的鉛垂面的投影特性1）水平跡線PH為鉛垂面的積聚性投影，PH與0X軸、OYH軸的夾角分別反映平面與V面、W面的傾角b、y；2）正面跡線 PV丄0X,側(cè)面跡線 Pw丄OYw。同樣，正垂面和側(cè)垂面也有類似的投影特性，見(jiàn)表3。表3投影面的垂直面投影圖及具特性用平面圖形表示水平按影有積聚性且反映啟r正面按影有釈聚性且反映律F用跡線卷示印為積聚性按愍且反吹件.r$丄少C凡丄。冷F 7P#為積聚性投影且反映J r和丄嘆丄卩7剛圓加*有機(jī)制1且展怏舐Q刊丄Q念打丄爼總之，用平面圖形表示的投影面

7、垂直面在所垂直的投影面上的投影積聚為一條直線， 該直線與投影軸的夾角反映平面對(duì)另兩個(gè)投影面的傾角；另外兩個(gè)投影均為類似形。423投影面的平行面投影面的平行面是指平行于某一個(gè)投影面的平面。在三投影面體系中有三個(gè)投影面所以投影面的平行面有三種：水平面平行于H面的平面、正平面平行于V面的平面、側(cè)平面平行于 W面的平面。在三投影面體系中，投影面的平行面平行于某一個(gè)投影面，與另外兩個(gè)投影面垂直。這類平面的一面投影具有反映平面圖形實(shí)形的特點(diǎn)，另兩面投影有積聚性。以表4中的水平面為例，平面 P（ ABC）平行于H面，同時(shí)垂直于 V、W面，其 投影特性如下。(1) 用平面圖形 ABC表示的水平面的投影特性1)

8、 水平投影厶abc反映平面圖形的實(shí)形；2) 正面投影和側(cè)面投影均積聚為直線，分別平行于0X軸和OYW軸。(2) 用跡線表示的水平面的投影特性1) 正面跡線PV和側(cè)面跡線PW均為該水平面的積聚性投影。且分別平行于0X軸和 OYw 軸；2) 沒(méi)有水平跡線Ph同樣，正平面和側(cè)平面也有類似的投影特性，見(jiàn)表4。表4投影面的平行面軸測(cè)J按影圖及其特性用平面圖形祗示用跡錢表示刖 P12附X0麗K卩Pvyr水平按影反映乗略，正面按影 有積聚性且平行&塔由，側(cè)面損議 有積瞬性且平行。彌由正茴逮線刊和測(cè)商跡娃厲 曲積聚住按影，且分別平行 少能和or,無(wú)水平跡銭y擴(kuò)Itr彳JbcYnWX側(cè)面投需辰映實(shí)形，水

9、平按靠 有積糜性丘平行昭軸，正面損 影有積斃性且平行0藥由。正面投影反映矣理，水平按影 有積聚性且平伉翳由J側(cè)面按影 有積聚性且平ffpzi由。水平跡線啄側(cè)面跡線N 丸積聚哇剛I且分別平行 o朋由初乃缶無(wú)正面跡線&bZ L #P-XrQ水平述線他和正面32線丹 曲積聚性授影，且分別平行 口冷軸和皿帚無(wú)側(cè)面述垮?？傊?，用平面圖形表示的投影面平行面在所平行的投影面上的投影反映實(shí)形；其余兩個(gè)投影均積聚為直線，且分別平行于該投影面所包含的兩個(gè)投影軸。4.3屬于平面的點(diǎn)和直線4.3.1屬于平面的點(diǎn)由立體幾何可知：若點(diǎn)屬于平面，則該點(diǎn)必屬于該平面內(nèi)的一條直線；反之，若點(diǎn)屬于平面內(nèi)的一條直線，則該點(diǎn)

10、必屬于該平面。如圖39(a)所示，平面P由相交兩直線 AB、BC確定，M、N兩點(diǎn)分別屬于直線 AB、BC,故點(diǎn)M、N屬于平面P。(a)(b)圖39平面上的點(diǎn)在投影圖上，若點(diǎn)屬于平面，則該點(diǎn)的各個(gè)投影必屬于該平面內(nèi)的一條直線的同面 投影；反之，若點(diǎn)的各個(gè)投影屬于平面內(nèi)一條直線的同面投影，則該點(diǎn)必屬于該平面。如 圖39(b)所示，在直線 AB、BC的投影上分別作 m、m'、n、n',則空間點(diǎn) M、N必屬于 由相交兩直線AB、BC確定的平面。4.3.2屬于平面的直線由立體幾何可知：若直線屬于平面，則該直線必通過(guò)該平面內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn)，或該直線通 過(guò)該平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，且平行于該平面內(nèi)的另一已

11、知直線；反之，若直線通過(guò)平面內(nèi)的兩 個(gè)點(diǎn)，或該直線通過(guò)該平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，且平行于該平面內(nèi)的另一已知直線，則該直線必 屬于該平面。如圖40(a)所示，平面P由相交兩直線 AB、BC確定，M、N兩點(diǎn)屬于平面P,故直線 MN屬于平面P。在圖40(b)中，L點(diǎn)屬于平面 P,且KL / BC,因此，直線 KL屬于平面P。(b)xd(C)(d)圖40平面上的點(diǎn)在投影圖上，若直線屬于平面，則該直線的各個(gè)投影必通過(guò)該平面內(nèi)兩個(gè)點(diǎn)的同面投 影，或通過(guò)該平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的同面投影，且平行于該平面內(nèi)另一已知直線的同面投影；反之,若直線的各個(gè)投影通過(guò)平面內(nèi)兩個(gè)點(diǎn)的同面投影，或通過(guò)該平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的同面投影，且平行于該平面內(nèi)另一已知直線的同面投影，則該直線必屬于