二項式定理的十一種考題解法

1、二項式定理的一種考題解法1. 二項式定理：a +bn =C0an +C：anJLb+E 十.椅/ +|+ C：bnn 者 N*,2. 根本概念： 二項式展開式：右邊的多項式叫做a+bn的二項展開式. 二項式系數(shù)：展開式中各項的系數(shù)C： r =0,1,2,n. 項數(shù)：共r+1 項,是關(guān)于a與b的齊次多項式 通項：展開式中的第r+1項Cna"br叫做二項式展開式的通項.用 Tr 1 =Cnan'br 表示.3. 注意關(guān)鍵點： 項數(shù)：展開式中總共有n+1項. 順序：注意正確選擇a,b,其順序不能更改.a+bn與b + an是不同的. 指數(shù)：a的指數(shù)從n逐項減到0 ,是降籍排列.b的

2、指數(shù)從.逐項減到n ,是升籍排列.各項的次數(shù)和等于n. 系數(shù)：注意正確區(qū)分二項式系數(shù)與項的系數(shù),二項式系數(shù)依次是弗房流,Cnr,C：.項的系數(shù)是a與b的系數(shù)包括二項式系數(shù).4. 常用的結(jié)論：令 a=1,b=x, (l+xn)=C0 +Cx+CXt nC)X+ 光偵 x *n ) N令 a=1,b = x,(1xn)=C0d x十 C 令年?nCr|x+ (+1n)nCnx* 斥 N5. 性質(zhì)： 二項式系數(shù)的對稱性：與首末兩端“對距離的兩個二項式系數(shù)相等,即C：=況,C：=蒙 二項式系數(shù)和：令a = b=1 ,那么二項式系數(shù)的和為 012rn _ nCn +Cn +Cn +山 +Cn +川 +C

3、n =2 ,變形式 C： +C：中| +C：+| +況=2n -1. 奇數(shù)項的二項式系數(shù)和=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和:在二項式定理中,令a=1,b = -1,那么CO©駕£；+州(琮nn(芹0n從而得到 c0 " C2 C C2= C1 C3 C2r1 =2n=2n/y v i1 u i、 vz n =n v>n=n=n =n ITT =n二 二2 奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和：n M n 0 八1 n42 n J2 2n 0 n12n(a x) =CnaxCnaxCnax Cna x= a0a1xa2xanxn 0 0 n 1 n -12 2 n -2n n

4、 0n21(x a) = Cna xCnaxCna xCnax=anxa2xa1xa0令x =1,貝U a0 +a +a2 +a3IH +an =(a +1)n令 x = 1,那么 a. a + a? a3 I + an = (a 1廣+得,a° +a2十a(chǎn)H +an = (a項*(一 T (奇數(shù)項的系數(shù)和)2-得,a1 +a3 +a5|j| +an =(此也£ (偶數(shù)項的系數(shù)和) 二項式系數(shù)的最大項：如果二項式的籍指數(shù)n是偶數(shù)時,那么中間一項的二n項式系數(shù)Cn2取得最大值.二項式定理的十一種考題解法如果二項式的籍指數(shù)n是奇數(shù)時,那么中間兩項的二項 式系數(shù)0；21,07同時

5、取得最大值. 系數(shù)的最大項：求a+bxn展開式中最大的項,一般采用待定系數(shù)法.設(shè)展開式中各項系數(shù)分別為Ai,A2,Az,設(shè)第+1項系數(shù)最大,應(yīng)有丹心人A 1 - A 2從而解出r來.6. 二項式定理的一種考題的解法:題型一：二項式定理的逆用;例：C： +C： 6+C； 62+用+0；時-*=.鬲日./ a+a、n _廠.+廠公+廠2 a2 +c3a3+ +nnJt| zfcn 41 /Ar 業(yè)匕Ppf用牛(1 6) - Cn Cn 6 C n 6 Cn,6|(| Cn6大口 廿 J /rq ).廠2.32門公門-1 1a.c2a2n on -Cn Cn 6Cn6Cn6 二 一(Cn6Cn6Cn

6、6 )6+況 6+C； 62+|"+甘 Gn-gkl+-M%')666練：C： +3C； +9C； +HI +3口 C： =.3S =C13：!,C232 C3 33Cn3n3SnC n3 C n3C n3Cn 3解：設(shè) Sn =C； +3C：+9C；+E+3n"*C,那么=C0 Cn3 c232 C333 山 C*n -1 = (1 3)n -1 題型二：利用通項公式求乂.的系數(shù)；Sn(1 3)n -1 _ 4n -1例：在二項式(*+矽)n的展開式中倒數(shù)第3項的系數(shù)為45,求含有X3的項 的系數(shù)？解：由條件知 Cnn'=45,即 C2=45 , ,Ln2

7、n90=0,解得 n = 9(舍去)或 n = 10, 由1210 _£ 2Tr +=Cir0(x%0(x3)r=Cir0xF甘,由題意 _冬+2=3,解得 r=6,43那么含有X3的項是第7項丁6書=Ci?x3 =210x3,系數(shù)為210.練：求(x2-9展開式中x9的系數(shù)？r 2 9 _r1 r r 18 _2r 1 r r r 1 r 18 _3r用牛：Tr*=C9(x) () =C9x(-)x =C9(-)x,令 183r = 9,那么 r = 32x22故x9的系數(shù)為C；(-】)3 =-竺.22題型三：利用通項公式求常數(shù)項;例:求二項式2(x1102渲的展開式中的常數(shù)項?5

8、20 *只/ rf r O d n i" I rrlrcA/1tLk* r r解： =雋心2)10直(曷x)r =C1r0?)rx 2 ,令 20-5r=0,得 r=8,所以二 45256練：求二項式(2)6的展開式中的常數(shù)項?2x11 / c 、6 / 4/、/ 4c 6 / 、 6 _2 r令6 2r=0,得r=3,所以T.i=C6(2x) (-1)(廠)=(-1)C62 H) x解:2X2T4 =(-1)3Cb = -20練：假設(shè)x2+1n的二項展開式中第5項為常數(shù)項,那么n =解:42 n 4 1 44 2n 124nqnT5 =Cn(X )( ) =CnXX令 2n -12

9、 =0 ,得 n = 614 / 11題型四：利用通項公式,再討論而確定有理數(shù)項;例：求二項式M-戒9展開式中的有理項?1127_r27 r解：Tz =勇(必)9工(-x3)=(-1)rC9x 6 ,令 6,(0MrM9)得 r=3 或 r = 9,所以當(dāng) r=3時,丁 =4, 丁4=(_1)3勇x4=_84x4 ,27 -r27 -r o=33八933當(dāng)r =9時,6T10 = ( -1) Cgx = -xu )o題型五：奇數(shù)項的二項式系數(shù)和=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和;解：設(shè)例：假設(shè)., x2n展開式中偶數(shù)項系數(shù)和為256,求 n.展開式中各項系數(shù)依次設(shè)為a.,a,司,令x = t,那么有a0

10、+a1 + y =0,令x=1,那么有a° a a2 a3(T)nan =2n,將-得:2(a1 83 85)= -2n,. a a3 a5 =-2口,有題意得,-2= -256 = -2 , n = 9 °：n的展開式中,所有的奇數(shù)項的系數(shù)和為1024,求它的中間解:02/2r132r1n.Cn , Cn , Cn 二 Cn ,=Cn,Cn "Cn , = 2二 2=1024 ,解得n =11所以中間兩個項分別為n =6,n = 7 ,5/q16/r154T5 1=6" x) C x2 ) = 462 x61T6 1 =462 x 節(jié)題型六：最大系數(shù),

11、最大項;例：*x",假設(shè)展開式中第5項,第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差 數(shù)列,求展開式中二項式系數(shù)最大項的系數(shù)是多少？ * 4652解：q Q =2C". n -21n 98=0,解出 n = 7或n = 14,當(dāng) n = 7時,展開式中二c 135-T 的系豹 =C3423 =項式系數(shù)最大的項是T4和丁5'' 4八 7 22,1T的系數(shù) =C 2 =70.2 當(dāng)n=14時,展開式中二項式系數(shù)最大的項是 L,. T8 的系數(shù)=勇(1)727 =34322.練：在a+b2n的展開式中,二項式系數(shù)最大的項是多少？T2n , = Tn .1 解：二項式的籍指數(shù)是

12、偶數(shù)2n,那么中間一項的二項式系數(shù)最大,即,也就是第n,項.練：在,去n的展開式中,只有第5項的二項式最大,那么展開式中的常數(shù)項是多少？-一,“ 一, 一 ,一,g 1=5 -解：只有第5項的二項式最大,那么2,即n=8,所以展開式中常數(shù)項為C,12 =7第七項等于2例：寫出在a-b7的展開式中,系數(shù)最大的項？系數(shù)最小的項?解：由于二項式的籍指數(shù)7是奇數(shù),所以中間兩項第4,5項的二項式系數(shù)相3 七34 34等,且同時取得最大值,從而有T-C7ab的系數(shù)最小,TC7ab系數(shù)最大.例：假設(shè)展開式前三項的二項式系數(shù)和等于 79,求；+2曠的展開式中系數(shù)最大的項?一 ,-, c一一 ,4.一 4 .一

13、.一解：由勇+況+況=79,解出 n=12,假設(shè) T*項取大,：；+ 2x12 = ；121+4x12一一_ r r _ r -1 r -1=.C12- 12化簡得到9.化r主10.4,又"分冬,二r = 10,ArAr 2 C1r24C1；14r1展開式中系數(shù)最大的項為T11,有T1(1)12C110410x116896x102練：在1+2x10的展開式中系數(shù)最大的項是多少?r r r 解：假設(shè)Ti項最大,*Tr + =Cl0 2XAr1ArC1r0 2r -C2r42(11 -r) r -一 = ti 土 用牛侍 4 、A+-AflC102 -C10 2 , J 1 - 2(1r

14、) 化簡得到 6.3<k<7.3,又 *T _ 八7 C7-.7 _ 4 片 CCC-.7*0<"10,二r=7,展開式中系數(shù)最大的項為T8-C102 x -15360x .題型七：含有三項變兩項；例：求當(dāng)(x2+3x+2)5的展開式中x的一次項的系數(shù)？解法：(x2 +3x+2)5=(x2+2)+3x5 , T =C；(x2+2)5T3x)r ,當(dāng)且僅當(dāng) r=1 時,T的展開式中才有x的一次項,此時Tr甲=T2=C；(x2+2)43x,所以 x得一次項為C；C：243x它的系數(shù)為C5C：243 = 240.解法:2555_ 0 5_ 1 4_5_05_14_ 5 5

15、(x +3x+2) =(x+1)(x+2) =(C5x +C5x + + C5 )(C5x 十 Csx2 十+ C52)故展開式中含x的項為C；xC525+C；x24 =240x,故展開式中x的系數(shù)為 240.練：求式子(x十;-2)3的常數(shù)項?解：以+；-2)3=(雨-市)6,設(shè)第r+1項為常數(shù)項,那么Ti=C；(1)r|x6工(二)r =(1)6C； x|62,得 6 2r=0,r=3,lxlT31 =(-1)3C： =-20.題型八：兩個二項式相乘；例：求(1+2x)3(1-x)4展開式中x2的系數(shù).解：(1+2x)3的展開式的通項是C31 (2x)m =CT 2m,xm,1x4的展開式

16、的通項是 C4 xn=c41n xn,其中 m=0,1,2,3,n = 0,1,2,3,4,令 m + n =2,那么 m =0且 n=2,m=1 且 n=1,m = 2 且 n = 0,因此1 + 2x31 - x42002211112200的展開式中x的系數(shù)等于C32C4-1 C3 2C4-1C3 2C4<-1 =-6.練：求1+扳61+§10展開式中的常數(shù)項. .mn4m_3n解：1 十板61十二10展開式的通項為C6mxCwx=C6nGn0,x, xm = 0,_Lm = 3, _Lm = 6,其中m =0,1,2, -en =0,1,2,一.,當(dāng)且僅當(dāng)4m = 3n,

17、即? 或 或！n = 0, n = 4, n=8,時得展開式中的常數(shù)項為C? G%C； C* C65 G8.=4246.練：1+x+x2x十n的展開式中沒有常數(shù)項,K N*且2壬n?8,那么n=. x解：x+n展開式的通項為Cn xn_r疽=c：,通項分別與前面的三項相乘可得xCn -xn4,Cn 乂直*勇丈'J展開式中不含常數(shù)項,2"8n#4r且n #4r +1 且n #4r +2,即 n,4,8且n,3,7且n#2,6". n=5.題型九：奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和；例：在(x-買)2006的二項展開式中,含x的奇次驀的項之和為S,當(dāng)x = J5時,S =解

18、：設(shè)(x -a/2) 2006 =a0 +qx1 + a2x2 +a3x3 +1H + a2006x2006 (-x-V2) 2006=a0 -a1x1 +a2x2 -a3x3 +|j+a2006x2006 -得2(a1x+a3x3 +a5x5 +|j+a2005x2005) =(x-T2)2006 -(x + &) 2006、好006展開式的奇E項之和為S(x)項xS'x琴嚴當(dāng)X時,斗玦鼻嚴一蕓/嚴3 20062 2_3008=-22題型十：賦值法;例：設(shè)二項式(3VX + 1)n的展開式的各項系數(shù)的和為p,所有二項式系數(shù)的和為s,假設(shè)p +s=272,那么n等于多少？命軍：假設(shè)(3扳 + 1)n =a0 +ax +a2x2 + - + anxn ,有 P = a°+ai+ + an , S = C0 +.：=2、 x令 x=1 得 P =4n,又 p+s = 272,即 4n +2n =272= (2n +17)(2 n-16) = 0解得2n =16或2n=17(舍去),. n = 4.>n練：假設(shè)3衣-如 的展開式中各項系數(shù)之和為64,那么展開式的常數(shù)項為多少？n解：令x =1,那么3x -土 的展開式中各項系數(shù)之和為2n=64,所以n = 6, x那么展開式的常數(shù)項為C；(33)3 (- 1 )3 =-54