大學(xué)線性代數(shù)練習(xí)試題

1、第一局部選擇題共28分、單項(xiàng)選擇題本大題共 14小題,每題2分,共28分在每題列出的四個選項(xiàng)中只有 一個是符合題目要求的,請將其代碼填在題后的括號內(nèi).錯選或未選均無分.1.設(shè)行列式aiia12a22a13a23a11=n,那么行列式a11a12a13a23A. m+nC. n- m12.設(shè)矩陣A= 000 02 0,那么A-1等于0 3B. - (m+n)D. m - nA.13000 01 020 1B.1 00 -20 000133C. 0 1 010 02D.1200013033.設(shè)矩陣A= 121 , A*是A的伴隨矩陣,那么A *中位于1, 2的元素是B. 6D. -2AB=AC,貝

2、"必有()B. B C 時 A=0D. |A| 0 時 B=CAt)等于()B. 2D. 46.設(shè)兩個向量組a 1,A. 有不全為0的數(shù)入B. 有不全為0的數(shù)入C. 有不全為0的數(shù)入D. 有不全為0的數(shù)入B.所有r- 1階子式全為0D.所有r階子式都不為0Y 1 , Y 2是其任意2個解,那么以下結(jié)論 錯誤的選項(xiàng)是B. 門1 + 門2是Ax=b的一個解 22D.2 Y 1-門2是Ax=b的一個解A. -6C. 24. 設(shè)A是方陣,如有矩陣關(guān)系式A. A =0C. A 0 時 B=C5. 3X4矩陣A的行向量組線性無關(guān),那么秩A. 1C. 3a 2,a s和6 1, 3 2,3 s均線

3、性相關(guān),那么()1,入2,入s使入1a 1+入2a 2+ +入s a s=0和入1.1+入2.2+入s 3 s=01,入 2,入s 使入 1 (a 1+ 31)+ 入 2 (a 2+3 2)+ + 入 s(a s+.s)=01,入 2,入s 使入 1 (a 1- 31)+ 入 2 (a 2-3 2)+ + 入 s (a s-.s)=01,入2,入s和不全為0的數(shù)1,2,s使入1a 1+入2a 2+ - +入s a s=0 和1 3 1+2 3 2+ p s 3 s=07. 設(shè)矩陣A的秩為r,那么A中A.所有r- 1階子式都不為0C.至少有一個r階子式不等于08. 設(shè)Ax=b是一非齊次線性方程組

4、,A.門1+ Y 2是Ax=0的一個解C. Y 1- Y 2 是 Ax=0 的一個解9. 設(shè)n階方陣A不可逆,那么必有A,秩(A)<nC.A=0B. 秩(A)=n- 1D.方程組Ax=0只有零解10. 設(shè)A是一個n(>3)階方陣,以下陳述中正確的選項(xiàng)是()A. 如存在數(shù)入和向量 a使A a =入a,那么a是A的屬于特征值入的特征向量B. 如存在數(shù)入和非零向量a ,使(入E- A) a =0,貝U入是A的特征值C. A的2個不同的特征值可以有同一個特征向量D. 如入1,入2,入3是A的3個互不相同的特征值,a 1, a 2, a 3依次是 A的屬于入1,入2,入3的特征向量,貝U a

5、 1, a 2, a 3有可能線性相關(guān)11. 設(shè)入0是矩陣A的特征方程的3重根,A的屬于入0的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)為k,貝U必A. k < 3B. k<3C. k=3D. k>312. 設(shè)A是正交矩陣,那么以下結(jié)論錯誤的選項(xiàng)是()A.|A|2必為 1B.|A 四、為 1C.A- 1=ATD.A的行(列)向量組是正交單位向量組13. 設(shè)A是實(shí)對稱矩陣,C是實(shí)可逆矩陣,B=CTAC4U ()A. A與B相似B. A與B不等價C. A與B有相同的特征值D. A與B合同14. 以下矩陣中是正定矩陣的為()B.C. 00D.72分)二、填空題(本大題共10小題,每題2分,共20分)

6、不寫解答過程,將正確的答案寫在每小題的空格內(nèi).錯填或不填均無分.1 1115. 3 5 6_.9 25 36、n 111123m16. 設(shè) A=, B=.那么 A+2B=_1 1112 417. 設(shè) A=(aij)3 * 3 , |A|=2 , Aij 表示 |A| 中元素 aij 的代數(shù)余子式(i,j=1,2,3 ),那么 (a11A 21+a12A 22+a13A23)2+(a21A21 +a22A22+a23A 23)2+(a31A 21+a32A22+a33A23)2=.18. 設(shè)向量(2, -3, 5)與向量(-4, 6, a)線性相關(guān),貝U a=.19. 設(shè)A是3X 4矩陣,其秩為

7、3,假設(shè)門1, Y 2為非齊次線性方程組 Ax=b的2個不同的解,那么它 的通解為.20. 設(shè)A是m x n矩陣,A的秩為r(<n),那么齊次線性方程組 Ax=0的一個根底解系中含有解的個 數(shù)為.21. 設(shè)向量a、3的長度依次為2和3,那么向量a +.與a - 3的內(nèi)積(也+ 6 ,也-6 )=.22. 設(shè)3階矩陣A的行列式|A|=8,A有2個特征值-1和4,那么另一特征值為 一01023.設(shè)矩陣A= 132 103 ,a =1是它的一個特征向量,貝U a所對應(yīng)的特征值為8224.設(shè)實(shí)二次型f(X1,X2,X3,X4,X5)的秩為4,正慣性指數(shù)為3,那么其標(biāo)準(zhǔn)形為三、計算題(本大題共7小

8、題,每題6分,共42分)12025.設(shè) A= 340121326.試計算行列式5214227.設(shè)矩陣A =11122 31B= 2 4的全部特征值為1,1和-8.求正交矩陣T和對角矩陣 331. 試用配方法化以下二次型為標(biāo)準(zhǔn)形222f(X1,X2,X3)= X1 2X2 3X3 4xX2 4xX3 4X2X3,并寫出所用的滿秩線性變換.四、證實(shí)題(本大題共2小題,每題5分,共10分)32. 設(shè)方陣A滿足A3=0,試證實(shí)E- A可逆,且(E- A) -1=E+A+A2.33. 設(shè)門0是非齊次線性方程組 Ax=b的一個特解,E 1, E 2是其導(dǎo)出組 Ax=0的一個根底解系 試證實(shí)(1) Y 1=

9、門 0+ E 1, Y 2= Y 0+ E 2 均是 Ax=b 的解；(2 ) Y 0, Y 1 , Y 2 線性無關(guān).'.求(1) ABt； (2) |4A|.2 4 011 2134.01153330,求矩陣B使其滿足矩陣方程 AB=A+2B.30.設(shè)矩陣A= 22D,使 T-1AT=D.32113300128.給正向重組a 1= 0 , a 2=33 =414=.9試判斷a 4是否為a 1, a 2, a 3的線性組合；1 210 2',2 426629.設(shè)矩陣A=.2 10233 333 4求：(1)秩(A);(2) A的列向量組的一個最大線性無關(guān)組.假設(shè)是,那么求出組

10、合系數(shù).答案:一、單項(xiàng)選擇題本大題共14小題,每題2分,共28分1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D14.C二、填空題本大題共 10空,每空2分,共20分15. 616.17. 418. -1019. Y 1+C門 2-門 1或 Y 2+C Y 2-門 1 , c 為任意常數(shù)20. n- r21. -522. t223. 1222224. Z1Z2 Z3 Z4三、計算題本大題共7小題,每題6分,共42分1 20 2225.解1 ABT= 3 40341211086=1810 .3102 |4A|=43|A|=64|A|,而1 2|A|= 3 4

11、1 2112050311226.解513420111533511=11115505511111131001055302651000所以 |4A|=64 ( - 2) =- 12827.解 AB =A+2B 即(A- 2E)B=A,而22 31143(A-2E) -1 =:11 015312 11641434 23所以B=(A- 2E)-1A,=1531 101641 23386=296 .21292130053213 01130128.解一0224011234190131121 03510 350 11201 120 08800 110 0141400 006530 10 40.50 0 2所

12、以a 4=2 a 1+ a 2+ a 3,組合系數(shù)為(2, 1, 1)解二考慮 a 4=X1 a 1+X2 a 2+X3 a 3,2x1 X2 3x3 0即 X1 3X212x2 2x3 43x1 4x2 x3 9.方程組有唯一解(2, 1, 1) T,組合系數(shù)為(2, 1, 1)29.解對矩陣A施行初等行變換1020100622A0013922618302221210 2032830 32 830006=B20 00 310002170 00 0 0(1)秩(B)=5/545/152/331.解 f(x1 , x2, x3)= (x1+2x2- 2x3)2- 2x22+4x2x3- 7x32

13、 =(x+2x2- 2x3)2- 2 ( x2-x3) 2- 5x32.,所以秩(A)=秩(B) =3.(2)由于A與B的列向量組有相同的線性關(guān)系,而 B是階梯形,B的第1、2、4列是B的列向量組的一個最大線性無關(guān)組,故 A的第1、2、4列是A的列向量組的一 個最大線性無關(guān)組.(A的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是)30.解A的屬于特征值入=1的2個線性無關(guān)的特征向量為E 1= (2, - 1, 0) T,E 2= (2, 0, 1) T.2.5/52.5/15經(jīng)正交標(biāo)準(zhǔn)化,得 Y 1= v'5/5 , ri 2= 4衣/15 .05/3入=-8的一個特征向量為11/3

14、E 3= 2 ,經(jīng)單位化得門3= 2/3 .22/32、. 5/52.15/151/3所求正交矩陣為T =.5/54.5/152/305/32/3100對角矩陣D= 010 .008yi xi2x22x3xi yi2y2設(shè)y2x2x3,即x2y2 y3,y3x3x3y3i2 0因其系數(shù)矩陣C=0ii可逆,故此線性變換滿秩.00i經(jīng)此變換即得f(xix2,x3的標(biāo)準(zhǔn)形yi2- 2y22- 5y32 .四、證實(shí)題(本大題共2小題,每題5分,共10分)32. 證由于(E-A ) (E+A+A2) =E-A3=E,所以E-A可逆,且(E- A ) -1= E+A+A2 .33. 證由假設(shè) A 門 0=b, A E i=0, A E 2=0.(1) A r i=A ( y 0+E i) =A r 0+A E i = b,同理 A 門 2= b, 所以門i,