第一章正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

1、 試驗(yàn)設(shè)計(jì)與分析實(shí)驗(yàn)分析與設(shè)計(jì)朱昌明上海交通大學(xué)緒論長(zhǎng)期以來(lái)在實(shí)驗(yàn)領(lǐng)域中，特別是對(duì)于多因素試驗(yàn)，傳統(tǒng)的試驗(yàn)方法往往只能被動(dòng)地處理試驗(yàn)數(shù)據(jù)，而對(duì)試驗(yàn)方案及試驗(yàn)過(guò)程的優(yōu)化，常常顯得無(wú)能為力。這不僅造成盲目地增加試驗(yàn)次數(shù)，而且往往不能提供充分可靠的信息，以致達(dá)不到預(yù)期的目的，造成人力、物力和時(shí)間的大量浪費(fèi)。近代創(chuàng)立和發(fā)展起來(lái)的試驗(yàn)設(shè)計(jì)及優(yōu)化技術(shù)，將優(yōu)化思想和要求貫穿于試驗(yàn)的全過(guò)程，從此試驗(yàn)才真正走上了科學(xué)的軌道，使試驗(yàn)領(lǐng)域發(fā)生了深刻的變化，也有力地促進(jìn)了現(xiàn)代優(yōu)化技術(shù)地發(fā)展。1、試驗(yàn)設(shè)計(jì)及優(yōu)化的概念實(shí)驗(yàn)是揭示尚未完全認(rèn)識(shí)的事物，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，是具有很強(qiáng)的探索性活動(dòng)。它也是一項(xiàng)目的性、計(jì)劃性很強(qiáng)，很嚴(yán)密的

2、科學(xué)活動(dòng)。有嚴(yán)格的程序：（1） 有明確的實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹⒛繕?biāo)和要求；（2） 應(yīng)編寫試驗(yàn)大綱、制定實(shí)驗(yàn)計(jì)劃；（3） 有實(shí)驗(yàn)實(shí)施過(guò)程的具體步驟；（4） 選用合適的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理技術(shù)；（5） 最終的理性歸納和完整的實(shí)驗(yàn)報(bào)告。這些要求是與學(xué)生按課堂教學(xué)所完成的教學(xué)實(shí)驗(yàn)完全不同的。這里講的實(shí)驗(yàn)實(shí)際是工程實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)大綱的內(nèi)容包括：a).考察目標(biāo)和測(cè)試參數(shù)；b).環(huán)境條件要求，儀器設(shè)備的選用；c).取樣方式，測(cè)點(diǎn)布置，工況的組合；d).數(shù)據(jù)處理方法；e).試驗(yàn)報(bào)告的整理要求。由此可見(jiàn)，影響和制約實(shí)驗(yàn)過(guò)程的不僅是物質(zhì)條件，還有思維方式，而對(duì)思維方式起指導(dǎo)作用的是實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法及其相關(guān)的理論。具體地說(shuō)，設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案時(shí)，不

3、僅使試驗(yàn)方案具有一定的優(yōu)良性，試驗(yàn)點(diǎn)（試驗(yàn)次數(shù)）大大減少，但仍能獲取豐富的試驗(yàn)信息，得出正確的結(jié)論；實(shí)施試驗(yàn)方案時(shí)，能有效地控制試驗(yàn)干擾，保證試驗(yàn)精度；處理試驗(yàn)結(jié)果時(shí)，通過(guò)簡(jiǎn)便的計(jì)算及分析，可以獲得較多的優(yōu)化結(jié)果。顯然，試驗(yàn)設(shè)計(jì)是一個(gè)全過(guò)程、多目標(biāo)的優(yōu)化。對(duì)于多快好省地進(jìn)行多因素試驗(yàn)，對(duì)于構(gòu)造各種線性與非線性數(shù)學(xué)模型，對(duì)于科學(xué)研究中發(fā)現(xiàn)規(guī)律、探尋生產(chǎn)實(shí)際中的新工藝、產(chǎn)品設(shè)計(jì)中進(jìn)行優(yōu)質(zhì)設(shè)計(jì)、管理科學(xué)中尋求最佳決策等，試驗(yàn)優(yōu)化都是一種非常有效的數(shù)學(xué)工具。通常，試驗(yàn)是指實(shí)物試驗(yàn)。但對(duì)于試驗(yàn)優(yōu)化，常常進(jìn)行的是廣義試驗(yàn)。凡是能獲取信息的有效的科學(xué)手段和方法，都可以作為廣義試驗(yàn)的試驗(yàn)方法。目前在科研與生產(chǎn)

4、的實(shí)際應(yīng)用中，試驗(yàn)設(shè)計(jì)及優(yōu)化主要是進(jìn)行離散優(yōu)化，有時(shí)也進(jìn)行序慣優(yōu)化（所謂序慣優(yōu)化就是遵循一定優(yōu)化路徑逐漸尋找最優(yōu)點(diǎn)的方法，它是單向?qū)?yōu)，常用的方法有0.618法、單純形法、梯度法、漸進(jìn)分式法等。）有時(shí)則必須綜合應(yīng)用離散優(yōu)化和序慣優(yōu)化。所謂離散優(yōu)化，就是在試驗(yàn)區(qū)域內(nèi)，有目的有規(guī)律地散布一定量的試驗(yàn)點(diǎn)，多方向同時(shí)尋找優(yōu)化目標(biāo)，如果優(yōu)化目標(biāo)是最優(yōu)點(diǎn)，則離散優(yōu)化只是一種試驗(yàn)點(diǎn)優(yōu)選法，優(yōu)選過(guò)程不一定遵循一定的尋優(yōu)路徑，而只是對(duì)給定條件下一切可能的試驗(yàn)點(diǎn)進(jìn)行選優(yōu)。因此離散優(yōu)化不能真正實(shí)現(xiàn)全域優(yōu)化，但實(shí)際應(yīng)用表明，離散優(yōu)化完全能夠滿足一般科研和生產(chǎn)的需要。這種離散優(yōu)化法有正交設(shè)計(jì)，SN比設(shè)計(jì)，均勻設(shè)計(jì)等。如

5、果優(yōu)化目標(biāo)是最優(yōu)回歸方程，這種離散優(yōu)化法就是回歸設(shè)計(jì)。2、實(shí)驗(yàn)在科技發(fā)展中的地位現(xiàn)代科技的發(fā)展離不開(kāi)實(shí)驗(yàn)分析，現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)不單是通過(guò)觀察現(xiàn)象和測(cè)試數(shù)據(jù)來(lái)驗(yàn)證假設(shè)，更重要的是現(xiàn)代科技創(chuàng)新和發(fā)明的重要手段。所有理論分析不能解決的問(wèn)題均可利用實(shí)驗(yàn)的手段去摸索，特別是在工程領(lǐng)域內(nèi)。科研是很注重實(shí)際應(yīng)用效果，無(wú)論是對(duì)零件、部件和整機(jī)的結(jié)構(gòu)、性能研究，還是對(duì)新配方、新工藝的探索，實(shí)驗(yàn)都是必須的手段。幾乎沒(méi)有一項(xiàng)應(yīng)用研究成果是不需要實(shí)驗(yàn)分析和實(shí)驗(yàn)論證的。試驗(yàn)設(shè)計(jì)及優(yōu)化技術(shù)由于具有設(shè)計(jì)靈活、計(jì)算簡(jiǎn)便、試驗(yàn)次數(shù)少、可靠性高、適用面廣等特點(diǎn)，因而發(fā)展迅速，應(yīng)用廣泛，已成為現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法中的一個(gè)重要分支。試驗(yàn)設(shè)計(jì)技術(shù)應(yīng)該

6、是研究人員、工程技術(shù)人員和管理人員的必備技術(shù)，是科技人員共同語(yǔ)言的一部分。據(jù)說(shuō)在日本，一個(gè)工程師如果沒(méi)有試驗(yàn)設(shè)計(jì)這方面的知識(shí)就只能算半個(gè)工程師。3、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的目標(biāo)最大限度地提高實(shí)驗(yàn)效率；最大限度地提高實(shí)驗(yàn)精度。4、實(shí)驗(yàn)工作與現(xiàn)代科學(xué)方法論的關(guān)系科學(xué)方法論是關(guān)于正確進(jìn)行科學(xué)研究的原理、方法的理論。實(shí)驗(yàn)是伴隨著科學(xué)技術(shù)而同步發(fā)展的必需手段，現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)不僅擁有了豐富而尖深的實(shí)驗(yàn)硬技術(shù)，而且軟技術(shù)的比重也在增加，系統(tǒng)論、信息論、控制論的慨念早已滲透到實(shí)驗(yàn)中，人們已經(jīng)把實(shí)驗(yàn)條件、實(shí)驗(yàn)對(duì)象和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析處理作為系統(tǒng)來(lái)考慮，將信息量的研究貫穿始終，研究信息的獲取、變換和分析處理的方法。有些實(shí)驗(yàn)結(jié)果中包含了預(yù)

7、報(bào)的內(nèi)容，為進(jìn)一步反饋，達(dá)到實(shí)時(shí)在線控制創(chuàng)造條件。實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)是研究方法的學(xué)科，也具有橫向交叉的綜合性?，F(xiàn)代科學(xué)方法論必然賦予試驗(yàn)設(shè)計(jì)以新觀點(diǎn)、新思路和新的理論工具，使試驗(yàn)設(shè)計(jì)更具有充實(shí)的內(nèi)容。我們正處于信息時(shí)代，知識(shí)、信息和技術(shù)都是重要的生產(chǎn)力，一切設(shè)計(jì)、控制和決策都必須從信息載體中獲取有用的信息。從這個(gè)意義上說(shuō)，試驗(yàn)設(shè)計(jì)與優(yōu)化技術(shù)能夠滿足時(shí)代的需要。因?yàn)樵囼?yàn)優(yōu)化是一門關(guān)于信息量的學(xué)科，運(yùn)用試驗(yàn)優(yōu)化技術(shù)，可以既快又省地獲取既多又好的信息，并能科學(xué)地分析和利用已獲取地信息。 5、廣義試驗(yàn)設(shè)計(jì)問(wèn)題通常認(rèn)為試驗(yàn)設(shè)計(jì)是一門實(shí)物試驗(yàn)的軟科學(xué)，事實(shí)上，試驗(yàn)設(shè)計(jì)是一種數(shù)學(xué)方法。它也可以有效地解決廣義試驗(yàn)的優(yōu)化

8、問(wèn)題。所謂廣義試驗(yàn)，是指為了觀察某些事或物的性能而從事的某種活動(dòng)。顯然，這種活動(dòng)不限于實(shí)物試驗(yàn)。從數(shù)理統(tǒng)計(jì)角度講，抽樣就是廣義試驗(yàn)。一次抽樣結(jié)果是一個(gè)隨機(jī)事件，也就是廣義試驗(yàn)的一個(gè)指標(biāo)?？梢哉f(shuō)，凡是需要抽樣，需要獲取 信息的場(chǎng)合，都可能用到廣義試驗(yàn)設(shè)計(jì)。在技術(shù)領(lǐng)域中，除專門組織的實(shí)物與非實(shí)物試驗(yàn)外，在實(shí)際的生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)，在質(zhì)量管理中也有許多用途。如生產(chǎn)線故障判斷分析。往往產(chǎn)生故障的產(chǎn)品數(shù)百個(gè)才產(chǎn)生一個(gè)，為尋找原因，從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽樣，來(lái)重新組裝零部件，結(jié)果發(fā)現(xiàn)極大部分的零部件都是物無(wú)缺陷的。為尋求被蘊(yùn)藏在很多零件中、故障率又非常低的缺陷的原因，利用試驗(yàn)設(shè)計(jì)技術(shù)是有效的。如，用正交表安排壽命試驗(yàn)，就

9、可以減少試驗(yàn)次數(shù)，提高試驗(yàn)結(jié)果的適用性和代表性。6、本課程的性質(zhì)與任務(wù)本課程是實(shí)驗(yàn)的軟技術(shù)課程，屬基礎(chǔ)技術(shù)課。課程的任務(wù)是使學(xué)習(xí)者建立實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本概念和主要思路，帶著方法論的主動(dòng)意識(shí)學(xué)會(huì)一般的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法 ，并能對(duì)一般的工程實(shí)驗(yàn)獨(dú)立地設(shè)計(jì)方案，選擇數(shù)據(jù)處理方法和分析實(shí)驗(yàn)誤差，掌握實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與分析中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，對(duì)工程實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與分析過(guò)程有一個(gè)完整的了解。第一章 正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)§1.1概述一實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的目標(biāo) 任何一個(gè)試驗(yàn)都存在：如何安排試驗(yàn)及如何分析試驗(yàn)結(jié)果 這兩個(gè)問(wèn)題。對(duì)于科學(xué)的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)應(yīng)能做到： 1). 試驗(yàn)次數(shù)盡可能少； 2). 少量試驗(yàn)所獲數(shù)據(jù)能得出正確結(jié)論。 對(duì)單因素或雙因素的實(shí)驗(yàn)設(shè)

10、計(jì)，可進(jìn)行全組合，逐一交叉重復(fù)的實(shí)驗(yàn)方式，即可以進(jìn)行全面實(shí)驗(yàn)（但水平數(shù)必須有限）。對(duì)多于兩個(gè)因素的，單用全面實(shí)驗(yàn)方法，其工作量將隨因素的個(gè)數(shù)按指數(shù)方式劇增，即不經(jīng)濟(jì)，又費(fèi)時(shí)間。這種全面實(shí)驗(yàn)方法不叫優(yōu)選法，而叫選優(yōu)法。 對(duì)于單因素試驗(yàn)，可采用0.618法，對(duì)分法，平行線法，交替法，調(diào)優(yōu)法等優(yōu)選法進(jìn)行試驗(yàn)，以減少試驗(yàn)次數(shù)。對(duì)多因素，正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)是一種顯著有效的方法。正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)就是利用正交表來(lái)合理安排試驗(yàn)的一種方法。二. 基本術(shù)語(yǔ)試驗(yàn)因素：對(duì)試驗(yàn)結(jié)果可能會(huì)產(chǎn)生影響的原因，是實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的一些自變量，或稱條件變量，是輸入?yún)?shù)。如煉鋼中的某些特種元素的含量，機(jī)加工中的刀具形式、走刀量等。試驗(yàn)指標(biāo)：試驗(yàn)研

11、究的指標(biāo)，即實(shí)驗(yàn)得出的結(jié)果(輸出的參數(shù))。水 平：試驗(yàn)因素在試驗(yàn)中所選取的具體狀態(tài)（或水平）。如考察刀具磨損。對(duì)普通碳素鋼：切削角 轉(zhuǎn)速 鋼硬度（°）（r/min） （HB） 若溫度也為實(shí)驗(yàn)因素，如取其三個(gè)水平分別為50、20及60。水平之間的差異也稱為水平級(jí)位，模糊的說(shuō)法為低溫、常溫和高溫。三. 正交設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)解決的問(wèn)題(1). 因素對(duì)實(shí)驗(yàn)指標(biāo)的影響，即能分清主要因素和次要因素，或甚微因素和忽略因素。(2). 找出較好方案的組合，形成最優(yōu)的生產(chǎn)條件。必要時(shí)，對(duì)生產(chǎn)過(guò)程作出預(yù)報(bào)。上例中，就有這樣的問(wèn)題，選怎樣的組合，使刀具磨損最小。選擇怎樣的溫度，工藝性最好。§1.2正交表一

12、.拉丁方與正交表正交實(shí)驗(yàn)最早起源于拉丁方設(shè)計(jì)思想18世紀(jì)，普魯士費(fèi)里德里希.威廉二世，要舉行一次與往常不同的六列方隊(duì)閱兵式。他要求每個(gè)方隊(duì)的行和列都得由六種部隊(duì)得六種軍官組成，不得有重復(fù)和空缺。這樣，六個(gè)方隊(duì)中，部隊(duì)、軍官、行和列全部排列均衡。群臣們冥思苦想，無(wú)一人能排出這樣的方陣來(lái)。后來(lái)向當(dāng)時(shí)著名的數(shù)學(xué)家 Eular請(qǐng)教，由此引起了數(shù)學(xué)家們的極大興趣，提出了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題：所謂36個(gè)軍官問(wèn)題，當(dāng)時(shí)用不同的拉丁字母A, B, C表示軍官，,表示為團(tuán)隊(duì)，交叉排列方陣，稱為希臘拉丁方陣。簡(jiǎn)稱拉丁方陣。因希臘字母有限，改用腳標(biāo)為自然數(shù)序列排的方陣，為n階拉丁方陣。當(dāng)，稱為正交拉丁方陣。直到190

13、1年，G.Tarry才證明“36個(gè)軍官的正交問(wèn)題”為無(wú)解。但借用拉丁方陣的構(gòu)造解決了不少的多因素實(shí)驗(yàn)優(yōu)化問(wèn)題。數(shù)學(xué)家們?nèi)绱酥匾曇粋€(gè)君王獨(dú)出心裁的閱兵式，并不是為了組織什么花樣方陣，而是為了研究具有普遍意義的新的數(shù)學(xué)思想，即均衡分布的思想，這正是今天正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的思想基礎(chǔ)。 例：有三個(gè)因素，每個(gè)因素有三個(gè)水平的實(shí)驗(yàn)，需進(jìn)行種全組合搭配試驗(yàn)。9個(gè)區(qū)域的每個(gè)區(qū)域中，兩個(gè)水平是固定的，只有一個(gè)因素是變動(dòng)的，在相鄰的區(qū)域的同一行上也是一個(gè)因素在變。 上述全搭配試驗(yàn)太多，能不能減少一些呢？能否每次保留一個(gè)因素水平而變動(dòng)其余的水平進(jìn)行比對(duì)試驗(yàn)?zāi)兀?正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)能減少試驗(yàn)次數(shù)，又能兼顧均勻搭配的效果！二.正交

14、表(1). 定義設(shè)A是n×k的矩陣，它的第j列元素由1，2，j構(gòu)成（也可用別的符號(hào)），如果矩陣A的任意兩列元素都搭配均勻，就稱A是一個(gè)正交表。如8×7的矩陣： 注意到，任意兩列的相鄰元素所構(gòu)成的都是完全有序?qū)?，都包含有四個(gè)相同的數(shù)字對(duì)（1，1），（1，2）,（2,1），（2，2），因此A是一個(gè)正交表。正交表的性質(zhì)：（1） 每一列中各數(shù)字（或稱水平）出現(xiàn)的次數(shù)相同；如上例中都是4次。（2） 任意兩列的號(hào)碼所構(gòu)成的水平對(duì)中。每個(gè)水平對(duì)重復(fù)出現(xiàn)的次數(shù)相同。如上例中每個(gè)水平對(duì)重復(fù)出現(xiàn)2次。正交表的特點(diǎn)：搭配均勻性、組合代表性、綜合可比性。(2). 正交表的種類:a).標(biāo)準(zhǔn)表凡是標(biāo)準(zhǔn)

15、表，水平數(shù)都相等，且水平數(shù)只能取素?cái)?shù)或素?cái)?shù)冪，利用標(biāo)準(zhǔn)表可考察因素之間的交互作用。根據(jù)正交表設(shè)計(jì)的思想，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，將正交實(shí)驗(yàn)中多種因素和水平搭配的結(jié)果編成表格，這種規(guī)格化的表格稱為正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)表，簡(jiǎn)稱正交表。簡(jiǎn)記為符號(hào):.其中 L-表示正交表n-表示實(shí)驗(yàn)方案的個(gè)數(shù)（表的行數(shù)）m-表示試驗(yàn)因素的水平數(shù)k-表示最多可安排因素的數(shù)目（表的列數(shù)）常見(jiàn)的水平數(shù)相同的正交表有：二水平正交表：、等三水平正交表：、四水平正交表：、 五水平正交表：、最簡(jiǎn)單的，做四次試驗(yàn)，最多安排2個(gè)水平3個(gè)因素（而全做次）。正交表行列（1）（2）（3）1111212232124221b). 混合型正交表 如混合型正交表。表

16、示1個(gè)因素是4個(gè)水平的，4個(gè)因素是2個(gè)水平的，不等水平的混合。其中第一列與其他列的搭配是均勻的。行 列（1）（2）（3）（4）（5）111111212222321122422211531212632121741221842112還有如 正交表的構(gòu)造是一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題，并非給定參數(shù)就能構(gòu)造正交表，一般查用現(xiàn)成即可，下面僅介紹一般的構(gòu)造方法。(3).正交表構(gòu)造的一般方法正交表的構(gòu)造是一個(gè)組合數(shù)學(xué)問(wèn)題，不同類型的表構(gòu)造方法差異很大。(a).正交表的正交性及其變換性 線性代數(shù)中，兩個(gè)向量和，如果內(nèi)積為0，即 稱該兩向量正交。正交性： 正交表每一列可看成一個(gè)列向量，表中數(shù)字為因素水平記號(hào)（可以數(shù)字，或其它代

17、號(hào)表示，無(wú)本質(zhì)區(qū)別），如二水平的記為1，2，分別用1，1來(lái)代替也可以。任意兩列構(gòu)成的水平對(duì)是一個(gè)“完全有序?qū)Α?，即?，1），（1，1），（1，1），（1，1），重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)相同。則：即二水平正交表任意兩列是正交的。 變換性：表的列地位平等，各列可以置換；表的行地位平等，各行可以置換；同一列中的水平可以置換。上述稱為正交表的三種初等變換，經(jīng)初等變換后的正交表與原表是等價(jià)的（或稱同構(gòu)）。（b）有限域的概念由全體有理數(shù)組成的集合中，其元素是無(wú)限多，因此是無(wú)限域。因素和水平數(shù)字是有限的，所以它們的域是在有限域內(nèi)。記U是一個(gè)有限域，一個(gè)有限域至少有兩個(gè)元素，設(shè)是由3個(gè)元素0和1、2組成，元素之間可滿足

18、加或乘法的定義，但集合的加法和乘法結(jié)果顯然不屬于（如1+2=3）,但如果我們新定義兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算：或：乘法 q為正整數(shù)，t為U集中元素的個(gè)數(shù)。例： 加法 乘法 +01001110×010001011+1=2，22/2=1,無(wú)余數(shù)，故為零。加法 乘法012001211202201×012000010122021加法 減法+01234001234112340223401334012440123×01234000000101234202413303142404321計(jì)算結(jié)果表明，每行每列均構(gòu)成獨(dú)立向量，彼此無(wú)關(guān)。正交表便利用這種算法構(gòu)造因素水平的順序。一般可以設(shè)m為因素的

19、水平數(shù)， k為因素個(gè)數(shù)，則全組合的試驗(yàn)次數(shù)Q為（即k維向量的總數(shù)）： 其獨(dú)立向量個(gè)數(shù)的計(jì)算式為：例如：，三維向量。但其獨(dú)立向量： 于是可利用向量的運(yùn)算法則構(gòu)造27行、13列的正交表，（c）型正交表構(gòu)成以表說(shuō)明其構(gòu)成方法，是4因素，3水平。其中取兩維向量個(gè)（即試驗(yàn)的總次數(shù)為9），按順序置于表的最左列，其獨(dú)立向量只有4個(gè)（4個(gè)因素），依次置于正交表的最上面一行各列中，即（1，0），（0，1），（1,1）,(2,1)。行向量，獨(dú)立的有序?qū)?。列向量以表?水平表中的各水平數(shù)，即對(duì)應(yīng)行、列向量交叉處的數(shù)字，則：第一行、第一列元素：第二行、第二列元素： 第九行、第四列元素：注意到，其結(jié)果是按有限域運(yùn)算法則

20、計(jì)算得出。的構(gòu)造 列號(hào)行1234號(hào)（1，0）（0，1）（1，1）（2，1） （0，0）10000 （0，1）20111 （0，2）30222 （1，0）41012 （1，1）51120 （1，2）61201 （2，0）72021 （2，1）82102 （2，2）92210三.正交表的正確選用為充分利用正交表的均衡性與可比性特點(diǎn)，力求達(dá)到實(shí)驗(yàn)次數(shù)少，但能得到實(shí)驗(yàn)精度較高的優(yōu)化設(shè)計(jì)，為此，選擇時(shí)盡量滿足下列要求：(1).水平數(shù)相符 等水平實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，滿足水平相符要求。不等水平試驗(yàn)設(shè)計(jì)，可選用混合水平正交表。如沒(méi)有，可用現(xiàn)有規(guī)格化的正交表進(jìn)行改造（后述）。(2).列數(shù)容限要求 每一個(gè)因素占一列位置。因

21、此選表的列數(shù)必須全部能容納全部因數(shù)，當(dāng)存在空列時(shí)，可以將多余空列用來(lái)計(jì)算實(shí)驗(yàn)誤差（比重復(fù)試驗(yàn)更為經(jīng)濟(jì)）。應(yīng)選擇列數(shù)最少的正交表，稱為列數(shù)容限要求。(3).滿足行數(shù)要求 行數(shù)是各個(gè)因素的水平組合，這種組合之間有些是相關(guān)的，或者說(shuō)這些組合不全是獨(dú)立的，所以行數(shù)相符是一種從屬條件。因此在選正交表時(shí)，只要試驗(yàn)因素能安排得下，就盡可能用小號(hào)的正交表§1.3正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的直觀分析 根據(jù)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的分析方法不同可分為：直觀分析法（極差分析法）；方差分析法（統(tǒng)計(jì)分析法）按指標(biāo)多少，又可分為：多指標(biāo)試驗(yàn)設(shè)計(jì)；單指標(biāo)試驗(yàn)設(shè)計(jì)一.單指標(biāo)正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)例1對(duì)零件鏜孔質(zhì)量不穩(wěn)，內(nèi)徑偏差大，需改進(jìn)工藝操作，確定因

22、素的主次影響程度，探求好的工藝程序。(1).試驗(yàn)方按設(shè)計(jì)(a).確定因素與水平可能因素有四個(gè)：刀具數(shù)量與布局A 2把3把4把切削速度B30r/min38r/min56r/min走刀量C0.6mm/r0.7mm/r0.47mm/r刀具種類D常規(guī)刀I型刀II型刀列出因素水平表：水平 因素A(刀具數(shù))B(切削速度r/min)(走刀量mm/r)D(刀具種類(型)12300.6常規(guī)23380.7I34560.47II(b).選擇正交表本試驗(yàn)為4因素3水平，選擇。(c).確定試驗(yàn)方案 表頭行為因素，水平按水平表“對(duì)號(hào)入座”。指標(biāo)為內(nèi)孔偏差量。 試驗(yàn)方案表 因素ABCD偏差量試驗(yàn)號(hào) 列號(hào)1234(mm)11

23、(2把)1(30)1(0.6)1(常規(guī))0.39212(38)2(0.7)2(I)0.145313(56)3(0.47)3(II)0.3742(3把)1230.285522310.335623120.3573(4把)1320.285832130.05933210.315K1(水平1三次偏差和)0.8450.960.791.04K2(水平2三次偏差和)0.970.530.7450.78K3(水平3三次偏差和)0.650.9750.930.645K1=k1/30.2820.320.2630.347K2=k2/30.3230.1760.2480.26K3=k3/30.2170.3250.310.21

24、5極差R0.1060.149-0.0620.132試驗(yàn)結(jié)果分析 直觀分析。差組合最好，偏差量為0.050mm，是否為最佳呢？ 計(jì)算分析每一列水平相關(guān)的結(jié)果進(jìn)行累加， ， ， 同理可計(jì)算。并且分別求出其平均值，并計(jì)算平均值的極差(最大的數(shù)最小的數(shù)R)。 畫出趨勢(shì)圖(指標(biāo)因素關(guān)系)可以看出：a. 刀具數(shù)量越多，偏差量越小，4把刀為最好，可考慮刀具再多的情況。b. 切削速度以38r/min偏差最小。c. 走刀量為0.7mm/r偏差量最小?？煽紤]走刀量再增大情況d. 以II型刀具為最好。另外，從極差看因素的作用： 極差大說(shuō)明因素對(duì)指標(biāo)的影響大，常為主要因素 極差小說(shuō)明因素對(duì)指標(biāo)的影響小，常為次要因素因

25、此，本例中主次次序：BDAC（轉(zhuǎn)速、刀型、刀數(shù)量、走刀量）注意到：尋找考察指標(biāo)越大越好的條件時(shí)，選取或?yàn)樽畲蟮乃浇M合為最優(yōu);尋找考察指標(biāo)越小越好的條件時(shí)，選取或?yàn)樽钚〉乃浇M合為最優(yōu)一般最終確定水平后，要做再現(xiàn)性的驗(yàn)證試驗(yàn)，即再做第二批、第三批的試驗(yàn)。 直接分析與計(jì)算分析的關(guān)系 為什么不統(tǒng)一？對(duì)直接分析結(jié)果：原次試驗(yàn)，這里由正交表只選出9個(gè)，只1/9。憑借正交表的正交性，這9個(gè)條件均衡分散在81個(gè)試驗(yàn)條件中，代表性很強(qiáng)，所以偏差最小的在9個(gè)試驗(yàn)中效果相當(dāng)好，但畢竟只做了總試驗(yàn)次數(shù)的1/9，只能代表，不能全部復(fù)蓋。計(jì)算分析: 是為了展望更好的條件（攪混了水，再摸魚(yú)）。對(duì)大多數(shù)項(xiàng)目，計(jì)算分析得到

26、的好條件往往不在已做過(guò)的試驗(yàn)中，比如條件，將會(huì)得到超出直接分析的好條件，這正體現(xiàn)了正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的優(yōu)越性。但有時(shí)也會(huì)得出的結(jié)果不如直觀分析，直觀分析與計(jì)算分析不一致時(shí)，應(yīng)仔細(xì)分析原因，如：.試驗(yàn)誤差大；.還有別的因素未考慮；.因素的水平選擇不當(dāng)?shù)?。這時(shí)往往需再做試驗(yàn)。二.多指標(biāo)正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)生產(chǎn)實(shí)踐中考察的指標(biāo)不只一個(gè)，這類試驗(yàn)設(shè)計(jì)稱為多指標(biāo)正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)。往往各指標(biāo)之間可能存在一定的矛盾，如何兼顧各個(gè)指標(biāo)來(lái)選優(yōu)，有多種方法。1 綜合平衡法我們以下例來(lái)說(shuō)明這種方法的應(yīng)用例2.柱塞組合收口的強(qiáng)度穩(wěn)定性試驗(yàn) 指標(biāo)：拉脫力, 軸向油隙，轉(zhuǎn)角。因素：、高度、倒角、收口壓力等四個(gè)因素。水平：各因素均取三個(gè)。選

27、用4因素3水平正交表，然后對(duì)號(hào)入座。每個(gè)試驗(yàn)條件做7次，每次試驗(yàn)對(duì)三個(gè)指標(biāo)測(cè)定并取其平均值。計(jì)算分析試驗(yàn)數(shù)據(jù)，并選取最優(yōu)生產(chǎn)條件。按極差大小排列，得出因素主次順序： 主 次 拉脫力 BDCA軸向游隙 BDCA轉(zhuǎn)角 BDCA得出BDCA（對(duì)轉(zhuǎn)角，C、D兩因素極差R相差不大）。 試驗(yàn)方案及試驗(yàn)結(jié)果分析 試 驗(yàn) 方 案 試 驗(yàn) 結(jié) 果 因素ABC倒角D收口壓力拉脫力(N)軸向游隙轉(zhuǎn)角試驗(yàn)號(hào)列號(hào)123411111-302025.5212223648542123-15.5621.55223151128-1062312-12526.573132-682818.5832139152

28、0.5933211956-4.5拉4-382013.3T=88.5T=390T=94.5脫11.559.313.2-11力148-3.727.161097.123.738.16軸31.61832.368向537636.633.6游45.3366128.3隙21.35828.739.7轉(zhuǎn)1421.817.53.612.6-3.55.314.6角4.8213.28.713.169.1725.312.211說(shuō)明：1. 、為7次試驗(yàn)的平均值 2. 如完全為簡(jiǎn)化計(jì)算，不影響結(jié)果的趨勢(shì)分析綜合平衡選優(yōu)對(duì)因素B：軸向游隙小，轉(zhuǎn)角為大角度，應(yīng)選，但主要考慮拉脫力，故選（拉脫力最大）。對(duì)因素C：明顯，拉脫力大，

29、游隙小，轉(zhuǎn)角大。對(duì)因素D：應(yīng)選，游隙小，轉(zhuǎn)角與差不多，拉脫力最高對(duì)因素A：對(duì)三個(gè)指標(biāo)來(lái)說(shuō)均是次要因素，從轉(zhuǎn)角大一點(diǎn)，游隙小些的角度，選綜合平衡后：選為最優(yōu)生產(chǎn)條件。2.綜合評(píng)分法(1).排隊(duì)綜合評(píng)分法。 當(dāng)幾個(gè)指標(biāo)在整個(gè)效果中間等同重要，則可按試驗(yàn)結(jié)果的情況，綜合幾個(gè)指標(biāo)，按效果好壞，從優(yōu)至劣排隊(duì)，然后按規(guī)則進(jìn)行評(píng)分（可用100分、10分、5分制均可）。這種方法中，經(jīng)驗(yàn)、專家知識(shí)很重要！(2).加權(quán)綜合評(píng)分法。 用公式 權(quán)因子系數(shù)，表示多項(xiàng)指標(biāo)在綜合加權(quán)中應(yīng)（）的權(quán)重所考慮的指標(biāo)第號(hào)試驗(yàn)第個(gè)考察指標(biāo)如果考察指標(biāo)趨勢(shì)相同，則符號(hào)相同；趨勢(shì)不同，符號(hào)相異。如果第二項(xiàng)指標(biāo)與其它不同，則。三.混合型正

30、交試驗(yàn)實(shí)際工作中，試驗(yàn)受到設(shè)備、材料、生產(chǎn)條件等限制，不可能做到每個(gè)因素都是等水平的，或在各試驗(yàn)中，重要考察的因素，多取幾個(gè)水平，因而會(huì)遇到不同水平的正交試驗(yàn)。解決辦法有(1).直接選用現(xiàn)成的混合水平正交表?；旌闲退秸槐砗推胀ㄕ槐硪粯樱哂芯獯钆浜途C合可比的特點(diǎn)，即每列之中各水平出現(xiàn)的次數(shù)相同，行與列之間是正交有序的。如有一實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，考察4個(gè)因素，其中：因素1為4水平，因素2、3、4均是2水平。此時(shí)可選用的混合水平正交表。試驗(yàn)號(hào) 因素(A)1(B)2（C）3(D)45試驗(yàn)結(jié)果111111212222321122422211531212632121741221842112極差折算極差注意

31、：(1).由于每個(gè)因素有不同的水平數(shù)，因此計(jì)算每個(gè)相應(yīng)水平的平均試驗(yàn)結(jié)果不同。如A因素，是2次試驗(yàn)結(jié)果的平均。而B(niǎo)、C、D因素，、都是4次試驗(yàn)結(jié)果的平均。(2).極差R的折算，當(dāng)因素水平相同時(shí)，因素的主次順序完成由極差R決定。水平不同時(shí)，直接比較欠妥，因?yàn)椋魞蓚€(gè)因素對(duì)指標(biāo)值有影響，一般水平數(shù)多的因素極差可能大些，此時(shí)可用一個(gè)系數(shù)把極差R折算后再比較。推薦式：是折算系數(shù)水平數(shù) m2345678910折算系數(shù) R0.710.520.450.40.370.350.340.320.31r因素中每一個(gè)水平試驗(yàn)的重復(fù)次數(shù)R因素的極差每個(gè)都折算，然后按前面所示的方法畫出指標(biāo)因素關(guān)系圖，找出主次因素。四.考

32、慮交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì) 在實(shí)際試驗(yàn)中，不僅因素對(duì)指標(biāo)有作用，而且因素之間還會(huì)聯(lián)合搭配起來(lái)對(duì)指標(biāo)產(chǎn)生影響，因素對(duì)試驗(yàn)的總效果是每個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)的單獨(dú)作用再加上各因素的搭配作用決定，這種聯(lián)合搭配的作用叫做交互作用。兩列間交互作用表如有A、B、C三個(gè)因素（都是2水平的），并考慮A×B、A×C、B×C的交互作用。這相當(dāng)于有6個(gè)因素，在試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，交互作用一律當(dāng)作因素看待。因此選用表。正交表安排試驗(yàn)因素ABA×BCA×CB×C空列試驗(yàn)結(jié)果試驗(yàn)號(hào)123456711111111211122223122112241222211521212226212

33、21117221121182212122注意： 交互作用所占的列的位置是一定的，不能任意排，它有交互作用的列位順序，如上例，的位置只能在第3列。不像因素獨(dú)立時(shí)，可任意將因素排列。交互作用的表頭設(shè)計(jì)必須嚴(yán)格按交互列表進(jìn)行配列，這是有交互作用的正交設(shè)計(jì)的一個(gè)重要特點(diǎn)。(1).交互作用試驗(yàn)設(shè)計(jì)的表頭設(shè)計(jì)列號(hào) 列號(hào)12345671(1)3254672(2)167453(3)76544(4)1235(5)326(6)17(7) 二列間交互作用表還有、等表可查。從上例中，看表頭設(shè)計(jì)是否符合？，、交互列為3，、交互列為5，、交互列為6 完全符合!表頭排好后，按正常的因素水平表確定關(guān)系，對(duì)號(hào)入座，獲得正交試驗(yàn)

34、方案。由于交互作用不是具體的因素，因而交互作用在試驗(yàn)方案中不會(huì)出現(xiàn)。在分析試驗(yàn)結(jié)果時(shí)，可以把它看成一個(gè)單獨(dú)因素，同樣計(jì)算極差，以便反映交互作用的大小。 必須指出：在交互試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，必須遵守一個(gè)因素占據(jù)一列的原則，如果由于列數(shù)不夠因素分配，寧可選用規(guī)模較大的正交表，也不允許因素共列現(xiàn)象，否則必然會(huì)產(chǎn)生“數(shù)據(jù)混雜”，比如：因素ABA×B C×DCA×C B×DA×D B×CD列1234567 表頭設(shè)計(jì)在3、5、6列上的數(shù)據(jù)會(huì)兩兩混雜，說(shuō)不清是那兩列的交互作用，只有肯定了有一兩兩因素?zé)o交互作用時(shí)，才有價(jià)值。因此，當(dāng)參與因素為m個(gè)時(shí)，二列間交

35、互作用要列。如果要考察全因素交互效應(yīng)，選用的正交表的列數(shù)至少等于列。一般不考慮多級(jí)的交互作用，應(yīng)有選擇地合理地考察交互作用，這樣才能突出正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)可以大量減少試驗(yàn)次數(shù)的優(yōu)點(diǎn)。(2).交互作用的試驗(yàn)結(jié)果分析例3. 消除用材料制的葉片的脆性，目的提高延伸率。尋找生產(chǎn)工藝參數(shù)。其中固定因素為澆鑄速度35秒，模殼預(yù)熱1080ºC,保溫1小時(shí)。需要研究的因素及其相應(yīng)的水平如表所示。 因素水平表A(含炭量%)B(含鎳量)C(含銅量)D(出爐溫度) E(冷卻方式)10.122.501620不造型20.0743.51560造型考察5個(gè)因素外，還考察交互作用、。除考察上述5個(gè)因素外，還要考察交互作用

36、。(a) 選正交表，至少需九列表，四列交互，5列獨(dú)立因素，選(b) 表頭設(shè)計(jì)因素ABA×BCA×CD×EDB×EE列123456789101112131415要仔細(xì)查對(duì)交互表，每一列可能排列的因素，再分析其可能性。注意到表頭排列不是唯一的，不妨可以試試！(c) 試驗(yàn)結(jié)果分析 計(jì)算值，極差值。 分析找出影響的主次順序、。可以看出：D、E交互作用很大，而本身的影響因素較小。那么D、E各什么樣的水平又為最佳組合呢？試驗(yàn)方案及結(jié)果123456789101112131415ABA×BCA×CD×EDB×EE延伸率111111

37、1111119.22111111122224.831112222112224111222222113.85122112211123.86122112222213.67122221111218.68122221122129.69212121212229.410212121221111211212212112118.612212212121229.813221122112219.214221122121129.61522121121212316221211221212.445.459.64461.645.269.453.859.657.46449.865.447.864.24055.649.852

38、.4R18.69.821.413.81929.41.89.85.4以兩因素搭配表來(lái)計(jì)算交互因素多水平搭配下的數(shù)據(jù)和，再選優(yōu)D E 9.2+8.6+8.6+9.2=35.62.0+3.8+9.4+3.0=18.23.8+3.6+12.0+2.4=21.84.8+9.6+9.8+9.6=33.8D×EA B 9.2+4.8+2.0+3.8=19.83.8+3.6+8.6+9.6=25.69.8+9.4+12.0+8.6=39.89.2+9.6+3.0+2.4=24.2 從而可以得優(yōu)選組方案：，即含炭量為 0.7%，含鎳量為2.5%，含銅量0，出爐溫，不造型冷卻為最佳。我們也可以通過(guò)應(yīng)用“

39、析因設(shè)計(jì)”的分析方法研究因素的交互作用。先看兩個(gè)例子： 例一： 如A、B兩個(gè)因素分別有兩個(gè)水平，組合的響應(yīng)（即試驗(yàn)結(jié)果）為20304052從水平變到水平的效應(yīng)為A（4052）/2（2030）/2=21從水平變到水平的效應(yīng)為B（3052）/2（2040）/2=11對(duì)參與試驗(yàn)A水平響應(yīng)的變化量為402020對(duì)參與試驗(yàn)A水平響應(yīng)的變化量為523022說(shuō)明：B因素的參與對(duì)A因素影響不大；A因素的水平變化比B因素的水平變化要顯著。例二：還是兩因素兩水平的例子，其組合響應(yīng)為20405012從水平變到水平的效應(yīng)為A（5012）/2（2040）/2=1從水平變到水平的效應(yīng)為B（4012）/2（2050）/2=

40、9對(duì)參與試驗(yàn)A水平響應(yīng)的變化量為502030對(duì)參與試驗(yàn)A水平響應(yīng)的變化量為124028說(shuō)明：A因素的水平變化對(duì)響應(yīng)的影響不大；B因素的水平變化比A因素的水平變化要顯著。B因素的水平變化對(duì)A因素的響應(yīng)影響很大，A的效應(yīng)依賴于B的水平變化，即A與B因素之間有交互作用。（上兩例用圖示直觀反映它們的交互作用）再看上面的計(jì)算結(jié)果：A B19.825.639.824.2D E 35.618.221.833.8從水平變到水平的效應(yīng)為A（39.824.2）/2（19.825.6）/2=9.3從水平變到水平的效應(yīng)為B（25.624.2）/2（19.839.8）/2=4.9對(duì)參與試驗(yàn)A水平響應(yīng)的變化量為39.81

41、9.820對(duì)參與試驗(yàn)A水平響應(yīng)的變化量為24.225.61.4說(shuō)明：A、B因素的水平變化對(duì)響應(yīng)均有影響； 水平參與對(duì)A因素響應(yīng)的影響顯著，而參與試驗(yàn)對(duì)A因素響應(yīng)的影響不大；因此可以認(rèn)為，B因素中的水平參與對(duì)A因素的響應(yīng)影響很大，A的效應(yīng)依賴于B的水平變化，即A與B因素之間有交互作用。D、E的析因分析將有同樣的結(jié)果。§1.4 正交試驗(yàn)的一般步驟1 明確實(shí)驗(yàn)?zāi)康?，確定考察指標(biāo)2 挑因素，選水平，制定因素水平表3 選正交表，進(jìn)行表頭設(shè)計(jì)，定試驗(yàn)方案4 試驗(yàn)、填數(shù)據(jù)5 計(jì)算分析試驗(yàn)數(shù)據(jù)，找最優(yōu)方案（計(jì)算，畫整體圖，排主次順序，初選方案，分析后定終選方案）6 驗(yàn)證試驗(yàn)（第二批試驗(yàn)）§

42、1.5 試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方差分析直觀分析法（極差分析法）：計(jì)算工作量少，簡(jiǎn)單易懂，可直觀判斷。但：不能把實(shí)驗(yàn)條件引起波動(dòng)，與試驗(yàn)誤差引起的波動(dòng)區(qū)分開(kāi)，對(duì)影響試驗(yàn)結(jié)果的各因素的重要程度不能作量化估計(jì)。下面介紹的方差分析方法可以彌補(bǔ)直觀分析方法的不足，可提供一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)判斷多因素的作用是否顯著。一. 單因素試驗(yàn)的方差分析在一項(xiàng)試驗(yàn)中，若只有一個(gè)因素在改變，而其它因素保持不變，這就叫單因素試驗(yàn)。為考慮某因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響，設(shè)有m個(gè)實(shí)驗(yàn)條件（m個(gè)水平），每個(gè)條件進(jìn)行n次試驗(yàn)，每次試驗(yàn)結(jié)果都是一個(gè)隨機(jī)變量，同一條件下n次重復(fù)試驗(yàn)的結(jié)果是同一總體的一個(gè)樣本，m個(gè)條件下，就有m個(gè)樣本，根據(jù)m個(gè)樣本值分析實(shí)驗(yàn)條件的變化對(duì)所考察指標(biāo)有無(wú)顯著影響，實(shí)際是考察m個(gè)總體的數(shù)學(xué)期望值有無(wú)顯著差異，因而這是一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題。 下面通過(guò)一個(gè)單因素試驗(yàn)的例子來(lái)介紹方差分析的主要過(guò)程。在前面的一個(gè)柱塞組合強(qiáng)度例子中得出了優(yōu)選方案，因素的主次順序BDCA, 其中柱塞頭高B是主要因素，在B的三個(gè)因素中以mm為最好，試問(wèn)：如再增加B尺寸，是否拉脫力F為更有利？為此取mm，mm，做單因素對(duì)比試驗(yàn)，若每個(gè)水平（試驗(yàn)條件）重復(fù)5次，