正方形專題-訓(xùn)練

1、正方形內(nèi)套 45°專題訓(xùn)練已知正方形 ABCD，AB=6，點(diǎn) P在對角線 BD 上，AP交 DC于 G，PHDC， PEPA交 BC于 E，PFBC，垂足為 F點(diǎn)，連結(jié) EG交 PF于 N，連結(jié) AN交 PE于 M，EKBD于K，連結(jié) AE交BD于 Q點(diǎn)。第一問 求證： PAE 是等腰直角三角形； 方法一：在四邊形 ABEP 中， ABE= APE=90°，即 ABE+APE=180°，由此可知 A、B、E、P四點(diǎn)共圓 . 故 AEP=ABD=45 °， 所以 PAE 是等腰直角三角形。方法二：根據(jù)對稱性知 AP=CP， PAB=PCB. 在四邊形 AB

2、EP 中， ABE= APE=90°，即 PAB+PEB=180° 又 PEB+PEC=180°，所以 PAB=PEC， 故PEC=PCB，PE=PC，AP =PE .又 APE=90°，所以 PAE 是等腰直角三角形。方法三：過 P做PI垂直 AB，垂足為 I，易知四邊形 IBFP為正方形. 由 APE=IPF=90°可得 API=EPF.又 PI=PF，故 RtAIP RtEFP，從而 AP=EP. 所以 PAE 是等腰直角三角形。第二問 求證： EF=FC ；又 PF BC，故 EF=FC（“三線合一”）簡證：由第一問方法二可知 EP=C

3、P.第三問 求證： PB-PD= 2BE；簡證： PB= 2 BF，PD= 2PH= 2FC= 2EF， 故 PB-PD= 2 （BF-EF）= 2 BE。第四問求證： EG=EB+DG ；簡證：由第一問可知 EAP=45°，即 BAE+ GAD=45°. 在 CB 的延長線上取一點(diǎn) G，使BG =DG.易知 RtABGRtADG，即 GAB= GAD ，AG =AG. 所以 GAE=GAB+BAE=GAD+BAE=45°.在 GAE和 GAE 中，AG =AG ， GAE=GAE=45°,AE=AE 即 GAE GAE ， 從而 EG=EG=EB+BG

4、 =EB+DG 。第五問 求證： BC+BE= 2 BP； 簡證：由第二問可知 EF=FC，故 BC+BE=2BF.又 BP= 2 BF，即 2 BP=2BF ，所以 BC+BE=BP第六問求證： GA 平分 DGE ；簡證：由第四問可知 AGE=AGE= AGD, 故 GA 平分 DGE 。第七問 求證： A 到 EG 的距離為定值； 方法一： 過點(diǎn) A 作 EG 的垂線，垂足為 N. 由第六問可知 GA 平分 DGE，即 AGN =AGD ， 故 RtAGNRtAGD,所以 AN =AD=6 ，即 A到 EG的距離為 6（定值）方法二：令 A 到 EG 的距離為 h，BE=x，DG=y.由

5、等面積法，得1x y h2661216x26 y 12 6 x 6 y ，即h 36 xyxy由勾股定理，得x y 2 6 x2 6 y，即 36xy 6 x y .故 h 36 xy6 x y6 為定值。xyxy第八問 求證： EFN 的周長為定值；簡證：由第二問可知 F為 EC的中點(diǎn)，所以 C1.C ECG. 2 ECG由第四問可知 EG=BE+DG ，故C ECG EG EC GC (BE EC) (DG GC) 所以 C EFG 6 。第九問 求證： FH=AP ；簡證：由第一問可知 AP=CP.又四邊形 PFCG 為矩形，所以 FH=CP，故 FH=AP第十問求證： BAE= BPE

6、；簡證：由第一問可知 QEP=45°，又 ABQ=45 °， 在AQB 和PQE 中， AQB= PQE， QEPABQ=45 所以 BAE= BPE。第十一問求證： APB= AEG；簡證：同理第十問，得 APB=AEB.由第四問，可知AEB= AEG，故 APB=AEG。第十二問求證： DGE=2 AQD；簡證：同理（ 10），得 AQD= AGD. 又由（ 6）可知 DGE=2 AGD.故 DGE=2 AQD。第十三問求證： PQ2=BQ2+PD2；簡證：將 ABQ沿 AQ翻折，點(diǎn) B 的對應(yīng)點(diǎn)為 B'，并連接 AB'、PB'.BAQ=B

7、9;AQ，B'AQ+B'AP=45°， 即 B'AP=DAP.又 AB'=AB=AD故, B'AP DAP. 從而 AB'P= ADP=45°， PD=PB'. 又 AB'Q=ABQ=4°5 ， BQ=Q'B. 所以， QB'P=90° , PQ2=QB'2+PB'2=BQ2+PD2。第十四問 求證： AB= 2 PK； 方法一：連接 AC，易知 AC BD，交點(diǎn)為 PAO+APO=9°0 ， EPK+APO=9°0 . 故 PAO=EPK

8、.由第一問可知， AP=PE，即 Rt PAORt EPK,得 PK=AO.易知 AB= 2 AO,所以 AB= 2PK.BAQ+DAP=45°，方法二： KP=BD-(BK+PD)=BD-(2 BE+ 2 PH)2=BD-(2 BE+ 2 EC )22=BD-2 (BE+EC)2=BD-2 BC222 AB- 2 AB22 AB， 故 AB= 2 PK。2第十五問若 BE=2,求 PF；簡解：由 BE=2， BC=6,得 EF=FC=，2 PF=4, 所以， PF=BF=4。第十六問若 EPF=22.5°，求 PF；簡解：因?yàn)?EPF=22.5°，所以 PEF=

9、67.5° 易知 PAB=PEF,故 PAB=67.5°.又 ABP=45°，故 APB=67.5°. 所以， BP=AB=6.22又 BP= 2 PF,從而， PF= 2 BP= 2 6=3 2 。22第十七問若 PEC為等邊三角形，求 PD的長； 簡解：因?yàn)?PEC為等邊三角形，所以 PCH=3°0 . 令 PH=x，則 HC= 3x，PD= 2x ,DH=6 3x.又 PH=D，H所以 x=6 3x，即 x=3 3 1 .故 PD= 2x 3（ 6 2） 。第十八問若 SABE=6, 求 S ECG；簡解：因?yàn)?S ABE=6，AB=6,所以 BE=2,EC=4. 由第四問可知 EG=EB+DG.令 DG=x，得 EG=2+x， GC=6-x，在 Rt ECG中，根據(jù)勾股定理，得 （2+x）2=42+（6-x ）2，即 x=3.所以， DG=3，GC=6-x=3.故 S ECG=1 EC GC 1 4 3 6 。22第十九問若 AN EG,求 PD；簡解：由 ANEG,易知 EGBD,ANBD, EAB= EAN=GAN= GAD=22.5°