、經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型：多元線性回歸模型

1、四、習(xí)題參考答案（一）基本知識類題型3-1.解釋下列概念（1）在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)活動中往往存在一個被解釋變量受到多個解釋變量的影響的現(xiàn)象， 表現(xiàn)為在線性回歸模型中有多個解釋變量，這樣的模型被稱為多元線性回歸模型，多元 指多個解釋變量。（2）形如B?的關(guān)于參數(shù)估計值的線性代數(shù)方程組稱為正規(guī)方程組。3-2.答：變量非線性、系數(shù)線性；變量、系數(shù)均線性；變量、系數(shù)均線性；變量線 性、系數(shù)非線性；變量、系數(shù)均為非線性；變量、系數(shù)均為非線性；變量、系數(shù)均為線 性。3-3.答：多元線性回歸模型與一元線性回歸模型的區(qū)別表現(xiàn)在如下幾方面：一是解釋變量的個數(shù)不同；二是模型的經(jīng)典假設(shè)不同，多元線性回歸模型比一元線性回歸模型

2、 多了 “解釋變量之間不存在線性相關(guān)關(guān)系”的假定；三是多元線性回歸模型的參數(shù)估計 式的表達(dá)更復(fù)雜；3-4.在多元線性回歸模型中，參數(shù)的最小二乘估計量具備線性、無偏性、最小方差性，同時多元線性回歸模型滿足經(jīng)典假定，所以此時的最小二乘估計量是最優(yōu)的線性無 偏估計量，又稱 BLUE估計量。對于多元線性回歸最小二乘估計的正規(guī)方程組，3-5.答：多元線性回歸模型的基本假定有：零均值假定、隨機(jī)項(xiàng)獨(dú)立同方差假定、解釋變量的非隨機(jī)性假定、解釋變量之間不存在線性相關(guān)關(guān)系假定、隨機(jī)誤差項(xiàng)Ui服從均值為0方差為 2的正態(tài)分布假定。在證明最小二乘估計量的無偏性中，利用了解釋 變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)不相關(guān)的假定；在有效性的證

3、明中，利用了隨機(jī)項(xiàng)獨(dú)立同方差假定。3-6.答：區(qū)間估計是指研究用未知參數(shù)的點(diǎn)估計值（從一組樣本觀測值算得的）作為近似值的精確程度和誤差范圍。（二）基本證明與問答類題型3-7.答：含有待估關(guān)系估計量的方程組稱為正規(guī)方程組。正規(guī)方程組的非矩陣形式如下：yiLo.1X1i2X2ik Xki )0yiX1i(?0?X1X1i?x2X2ik Xki ) X1 i0yiX2i(?0?、， 1X1i?2X2i?，kXki)X2i0yiXki(?0?、， 1X1i?2X2i?、，k X ki ) Xki0正規(guī)方程組的矩陣形式如下:E?推導(dǎo)過程略。3-16.解:(1)證明：由參數(shù)估計公式可得下列參數(shù)估計值X2i

4、 X3i2X3iX2i (yiX2i)X3i (yiX2i)x2i x3iX2iX3i2 X3iX2iYiX3iX2 X2iX2i X3i2X3i2X2iX2iX3iX2i X3i2X3iX2iX3i2 X2iX2iX3iX2i X3i2X3iX2i X3i2X3iX2iX3iX2i(yiX3i (yiX2i )X2i)2X2iX2iX3iX2 i X3i2X3i2X2iX2 y2X2i2X2iX2iX3i2X2iX3i VX2i X3iX2iX3i2 X2iX2i X3iX2i X3iX2iX3iX2iX3iy xqX23X3(1?2區(qū)3X32 X23 X3證畢。證明：uiyix2i?1?2

5、x2i?3X3iyi?1(1?2)X2i?3X3iyi?1?2X2i?3X3i?證畢。設(shè)：ZiyX2iI式的擬合優(yōu)度為:R2ESS1 1TSS?(y y)2ii式的擬合優(yōu)度為:ESS1 1TSSu?2(Z Z)2在中已經(jīng)證得u?Ui成立，即二式分子相同，若要模型II的擬合優(yōu)度R；小于模型222I的擬合優(yōu)度 R ,必須滿足：(z z) (% y)。3-17.答：方程B更合理些。原因是：方程 B中的參數(shù)估計值的符號與現(xiàn)實(shí)更接近些，如與日照的小時數(shù)同向變化，天長則慢跑的人會多些；與第二天需交學(xué)期論文的班級數(shù)成反向變化，這一點(diǎn)在學(xué)校的跑道模型中是一個合理的解釋變量。解釋變量的系數(shù)表明該變量的單位變化在

6、方程中其他解釋變量不變的條件下對被解釋變量的影響，在方程 A和方程B中由于選擇了不同的解釋變量，如方程 A選擇的是“該天的最高溫度”而方程B選擇的是“第二天需交學(xué)期論文的班級數(shù)”，由此造成X2與這兩個變量之間的關(guān)系不同，所以用相同的數(shù)據(jù)估計相同的變量得到不同的符號。3-18.答：將模型改寫成 2zi)xi 5 ,則 的估計值為：?(Xi X)(yi 2zi)(Xi X)2將模型改寫成yi(Xi zi) ui ,則 的估計值為:?(xi zi X Z)yi(xi zi X Z)2這兩個模型都是三變量回歸模型在某種限制條件下的變形。如果限制條件正確，則前兩個回歸參數(shù)會更有效；如果限制條件不正確則前

7、兩個回歸參數(shù)會有偏。3-19.答：答案并不唯一，猜測為：Xi為學(xué)生數(shù)量，X2為附近餐廳的盒飯價格，X3為氣溫,X4為校園內(nèi)食堂的盒飯價格；理由是被解釋變量應(yīng)與學(xué)生數(shù)量成正比，并且應(yīng)該影響顯著；與本食堂盒飯價格 成反比，這與需求理論相吻合；與附近餐廳的盒飯價格成正比，因?yàn)楸舜耸翘娲?；與 氣溫的變化關(guān)系不是十分顯著，因?yàn)榇蠖鄶?shù)學(xué)生不會因?yàn)闅鉁厣卟怀燥垺?三)基本計算類題型3-22.解：2?yiX2iX3iyi X3iX2i X3i222X2iX3iX2iX3iX2i X3i74778.346 280 4250.9 4796.01 _ _284855.096 280 4796.055062075

8、78100.72662?yi X3iX2iyi X2iX2i X3i322X2iX3iX2i X3iX2i X3i4250.9 84855.096 74778.346 4796.01 _ 284855.096 280 4796.020735807578102.7363? Y?2X2%元367.693 0.7266 402.760 2.7363 8.053.157222?2eiy ? yx2i-3yx3in 315 366042.269 0.7266 74778.346 2.7363 4250.9126.3821se( i) Var( i)其中：AX22CT 2x3iX22x2ix3ix2i x

9、3ix2ix3ix2ix3i同理，可得：se( 2) 0.0486 , se( 3) 0.8454?擬合優(yōu)度為：R2y-22一y且 0.9988Yi22 n 1R21 (1 R2)0.9986n k d.f. 12,5%,查表得 P(t 2.179) 0.952.179 0.7266一2 2.179,得到 0.62072 0.83250.04862.179 2.73633 2.179 ,得到 0.89423 4.57840.84542 95%的置信區(qū)間為：0.62072 0.8325,395%的置信區(qū)間為：0.89423 4.5784 H0：Bi 0,(i 1,2,3), H1 ： Bi 05

10、%(雙邊)，d.f. 15 3 12查表得臨界值為2.179 t 2.179531572 0，,一 ,、一則：53/52 0 4.0963 2.179,拒絕零假設(shè)：B1 0112.97680.7266 0 14.9509 2.179,拒絕零假設(shè)：B2 020.0486t 2.7363 0 3.2367 2.179,拒絕零假設(shè)：B3 030.8454方差來源平方和自由度平方和的均值來自回歸65963.018232981.509來自殘差79.2507126.6042所有的部分系數(shù)為 0,即：H0 B1 B20,等價于H0:R20總離差66042.26932981.5096.60424994.020

11、3 ,5%,d.f . 2,12, F 臨界值為 3.89F值是顯著的，所以拒絕零假設(shè)。3-23.解:對給定在5%的顯著水平下，可以進(jìn)行 t檢驗(yàn)，得到的結(jié)果如下:系數(shù)?Pt?pt 1?U假設(shè)符號+T值5%顯著水平3-28.解：在降雨量不變時，每畝增加一磅肥料將使第 t年的玉米產(chǎn)量增加 0.1蒲式耳/畝；在每畝施肥量不變的情況下，每增加一英寸的降雨量將使第t年的玉米產(chǎn)量增加 5.33蒲式耳/畝；在種地的一年中不施肥、也不下雨的現(xiàn)象同時發(fā)生的可能性極小，所以玉米的負(fù)產(chǎn)量不可能存在；如果 f的真實(shí)值為0.40,并不能說明0.1是有偏的估計，理由是 0.1是本題估計 的參數(shù)，而0.40是從總體得到的系數(shù)的均值。不一定。即便該方程并不滿足所有的古典模型假設(shè)、不是最佳線性無偏估計值,也有可能得出的估計系數(shù)等于5.33。