fdm-flm-fvm區(qū)別

1、FDM,FEM,FVM三者的比較1.FDM1.1 概念有限差分方法(FDM)是計算機數(shù)值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個網(wǎng)格節(jié)點代替連續(xù)的求解域。有限差分法以Taylor級數(shù)展開等方法，把控制方程中的導(dǎo)數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點上的函數(shù)值的差商代替進行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。該方法是一種直接將微分問題變?yōu)榇鷶?shù)問題的近似數(shù)值解法，數(shù)學(xué)概念直觀，表達簡單，是發(fā)展較早且比較成熟的數(shù)值方法。1.2 差分格式（1）從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。（2）從差分的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風(fēng)格式。（3）考慮時間因子的影響，

2、差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。目前常見的差分格式，主要是上述幾種形式的組合，不同的組合構(gòu)成不同的差分格式。差分方法主要適用于有結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，網(wǎng)格的步長一般根據(jù)實際地形的情況和柯朗穩(wěn)定條件來決定。1.3 構(gòu)造差分的方法構(gòu)造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級數(shù)展開方法。其基本的差分表達式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，后兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。2. FEM2.1 概述有限元方法（FEM）的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本求解思想

3、是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點作為求解函數(shù)的插值點，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達式（形函數(shù)），借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式，便構(gòu)成不同的有限元方法。2.2 原理有限元方法最早應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)，后來隨著計算機的發(fā)展慢慢用于流體力學(xué)、土力學(xué)的數(shù)值模擬。在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內(nèi)選擇基函數(shù)，用單元基函數(shù)的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數(shù)可以看為由每個單元基函數(shù)組成的，則整個計算域內(nèi)的解可以看

4、作是由所有單元上的近似解構(gòu)成。在河道數(shù)值模擬中，常見的有限元計算方法是由變分法和加權(quán)余量法發(fā)展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。根據(jù)所采用的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)的不同，有限元方法也分為多種計算格式。（1）從權(quán)函數(shù)的選擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法；（2）從計算單元網(wǎng)格的形狀來劃分，有三角形網(wǎng)格、四邊形網(wǎng)格和多邊形網(wǎng)格；（3）從插值函數(shù)的精度來劃分，又分為線性插值函數(shù)和高次插值函數(shù)等。不同的組合同樣構(gòu)成不同的有限元計算格式。對于權(quán)函數(shù)，伽遼金(Galerkin)法是將權(quán)函數(shù)取為逼近函數(shù)中的基函數(shù)；最小二乘法是令權(quán)函數(shù)等于余量本身，而內(nèi)積的極小值則為對代求系數(shù)的平方誤差最小；在配置

5、法中，先在計算域內(nèi)選取N個配置點。令近似解在選定的N個配置點上嚴格滿足微分方程，即在配置點上令方程余量為0。插值函數(shù)一般由不同次冪的多項式組成，但也有采用三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)組成的乘積表示，但最常用的多項式插值函數(shù)。有限元插值函數(shù)分為兩大類，一類只要求插值多項式本身在插值點取已知值，稱為拉格朗日(Lagrange)多項式插值；另一種不僅要求插值多項式本身，還要求它的導(dǎo)數(shù)值在插值點取已知值，稱為埃爾米特(Hermite)多項式插值。單元坐標有笛卡爾直角坐標系和無因次自然坐標，有對稱和不對稱等。常采用的無因次坐標是一種局部坐標系，它的定義取決于單元的幾何形狀，一維看作長度比，二維看作面積比，三維看作

6、體積比。在二維有限元中，三角形單元應(yīng)用的最早，近來四邊形等參元的應(yīng)用也越來越廣。對于二維三角形和四邊形電源單元，常采用的插值函數(shù)為有Lagrange插值直角坐標系中的線性插值函數(shù)及二階或更高階插值函數(shù)、面積坐標系中的線性插值函數(shù)、二階或更高階插值函數(shù)等。2.3 基本原理與解題步驟對于有限元方法，其基本思路和解題步驟可歸納為：(1)建立積分方程，根據(jù)變分原理或方程余量與權(quán)函數(shù)正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價的積分表達式，這是有限元法的出發(fā)點。(2)區(qū)域單元剖分，根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實際問題的物理特點，將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元劃分是采用有限元方法的前期準備工作，這部

7、分工作量比較大，除了給計算單元和節(jié)點進行編號和確定相互之間的關(guān)系之外，還要表示節(jié)點的位置坐標，同時還需要列出自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點序號和相應(yīng)的邊界值。(3)確定單元基函數(shù)，根據(jù)單元中節(jié)點數(shù)目及對近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選取的，由于各單元具有規(guī)則的幾何形狀，在選取基函數(shù)時可遵循一定的法則。(4)單元分析：將各個單元中的求解函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合表達式進行逼近；再將近似函數(shù)代入積分方程，并對單元區(qū)域進行積分，可獲得含有待定系數(shù)(即單元中各節(jié)點的參數(shù)值)的代數(shù)方程組，稱為單元有限元方程。(5)總體合成：在得出單元有限元方程之

8、后，將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法則進行累加，形成總體有限元方程。(6)邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質(zhì)邊界條件(狄里克雷邊界條件)、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對于自然邊界條件，一般在積分表達式中可自動得到滿足。對于本質(zhì)邊界條件和混合邊界條件，需按一定法則對總體有限元方程進行修正滿足。(7)解有限元方程：根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉方程組，采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值計算方法求解，可求得各節(jié)點的函數(shù)值。3. FVM有限體積法（FiniteVolumeMethod）又稱為控制體積法。其基本思路是：將計算區(qū)域劃分為一系列不重復(fù)

9、的控制體積，并使每個網(wǎng)格點周圍有一個控制體積；將待解的微分方程對每一個控制體積積分，便得出一組離散方程。其中的未知數(shù)是網(wǎng)格點上的因變量的數(shù)值。為了求出控制體積的積分，必須假定值在網(wǎng)格點之間的變化規(guī)律，即假設(shè)值的分段的分布的分布剖面。從積分區(qū)域的選取方法看來，有限體積法屬于加權(quán)剩余法中的子區(qū)域法；從未知解的近似方法看來，有限體積法屬于采用局部近似的離散方法。簡言之，子區(qū)域法屬于有限體積法的基本方法。有限體積法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解釋。離散方程的物理意義，就是因變量在有限大小的控制體積中的守恒原理，如同微分方程表示因變量在無限小的控制體積中的守恒原理一樣。有限體積法得出的離散方程

10、，要求因變量的積分守恒對任意一組控制體積都得到滿足，對整個計算區(qū)域，自然也得到滿足。這是有限體積法吸引人的優(yōu)點。有一些離散方法，例如有限差分法，僅當(dāng)網(wǎng)格極其細密時，離散方程才滿足積分守恒；而有限體積法即使在粗網(wǎng)格情況下，也顯示出準確的積分守恒。就離散方法而言，有限體積法可視作有限單元法和有限差分法的中間物。有限單元法必須假定值在網(wǎng)格點之間的變化規(guī)律（既插值函數(shù)），并將其作為近似解。有限差分法只考慮網(wǎng)格點上的數(shù)值而不考慮值在網(wǎng)格點之間如何變化。有限體積法只尋求的結(jié)點值，這與有限差分法相類似；但有限體積法在尋求控制體積的積分時，必須假定值在網(wǎng)格點之間的分布，這又與有限單元法相類似。在有限體積法中，

11、插值函數(shù)只用于計算控制體積的積分，得出離散方程之后，便可忘掉插值函數(shù)；如果需要的話，可以對微分方程中不同的項采取不同的插值函數(shù)。4.比較分析有限差分法（FDM）:直觀，理論成熟，精度可眩但是不規(guī)則區(qū)域處理繁瑣，雖然網(wǎng)格生成可以使FDM應(yīng)用于不規(guī)則區(qū)域，但是對區(qū)域的連續(xù)性等要求較嚴。使用FDM的好處在于易于編程，易于并行。有限元方法（FEM）:適合處理復(fù)雜區(qū)域，精度可眩缺憾在于內(nèi)存和計算量巨大。并行不如FDM和FVM直觀。不過FEM的并行是當(dāng)前和將來應(yīng)用的一個不錯的方向。有限容積法 (FVM) :適于流體計算，可以應(yīng)用于不規(guī)則網(wǎng)格，適于并行。但是精度基本上只能是二階了。FVM的優(yōu)勢正逐漸顯現(xiàn)出來

12、，F(xiàn)VM在應(yīng)力應(yīng)變，高頻電磁場方面的特殊的優(yōu)點正在被人重視。比較一下：有限容積法和有限差分法：一個區(qū)別就是有限容積法的截差是不定的（跟取的相鄰點有關(guān)，積分方法離散方程），而有限差分法就可以直接知道截差（微分方法離散方程）。有限容積法和有限差分法最本質(zhì)的區(qū)別是，前者是根據(jù)積分方程推導(dǎo)出來的（即對每個控制體積分），后者直接根據(jù)微分方程推導(dǎo)出來，所以前者的精度不但取決于積分時的精度，還取決與對導(dǎo)數(shù)處理的精度，一般有限容積法總體的精度為二階，因為積分的精度限制，當(dāng)然有限容積法對于守恒型方程導(dǎo)出的離散方程可以保持守恒型；而后者直接由微分方程導(dǎo)出，不涉及積分過程，各種導(dǎo)數(shù)的微分借助Taylor展開，直接寫

13、出離散方程，當(dāng)然不一定有守恒性，精度也和有限容積法不一樣，一般有限差分法可以使精度更高一些。當(dāng)然二者有聯(lián)系，有時導(dǎo)出的形式一樣，但是概念上是不一樣的。至于有限容積法和有限元法相比，有限元法在復(fù)雜區(qū)域的適應(yīng)性對有限容積法是毫無優(yōu)勢可言的，至于有限容積的守恒性，物理概念明顯的這些特點，有限元是沒有的。目前有限容積在精度方面與有限元法有些差距。有限元方法比有限差分法優(yōu)越的方面主要在能適應(yīng)不規(guī)則區(qū)域，但是這只是指的是傳統(tǒng)意義上的有限差分，現(xiàn)在發(fā)展的一些有限差分已經(jīng)能適應(yīng)不規(guī)則區(qū)域。對于橢圓型方程，如果區(qū)域規(guī)則，傳統(tǒng)有限差分和有限元都能解，在求解效率，這里主要指編程負責(zé)度和收斂快慢、內(nèi)存需要，肯定有限差

14、分有優(yōu)勢。5.論壇討論樓主：我最先學(xué)了FVM的方法，感覺計算流動主要是計算通過單元邊界的數(shù)值，后來看到FEM，它計算流動主要是計算單元節(jié)點的值，我不明白除了物理意義明確以外，F(xiàn)VM做流動計算的優(yōu)勢在于什么地方，因為現(xiàn)在看到Ansys大力推廣用FEM方法計算流動和傳熱，對于簡單的例子看不出什么區(qū)別，哪位高手感興趣，一起討論一下回答1：FEM得好處是能夠方便的提高精度，二階三階多項式逼近都是小菜，譜元搞到十幾階逼近。FVM和傳統(tǒng)的FEM相比的優(yōu)勢在于：1 FVM守恒性能夠保證，F(xiàn)EM里面不是那么直接2 FVM保證雙曲守恒方程計算的TVD/TVB性質(zhì)(總差減小或者總差有界)、或者ENO性質(zhì)，F(xiàn)EM的

15、多項式逼近則不能保證。上述2點對于雙曲守恒方程（如可壓縮流）是非常重要的，對橢圓或者拋物方程（不可壓縮流）沒有太大意義。所以FEM在不可壓用得不錯，但可壓縮流領(lǐng)域不那么流行。因為這兩點不保證，逼近精度提高也是扯淡。 FVM的精度提高比較麻煩，所以目前流行的都不過是2階格式。高階的ENO/WENO還沒有真正進入實用階段。為了保證以上2點的情況下提高精度也是花了不少力氣，使得格式變得比較復(fù)雜（特別是在多維情況下）。 不過自從出了Discontinuous Galerkin Method（DGM:間斷伽遼金法）之后(注：無網(wǎng)格伽遼金法中的不連續(xù)問題)，看來是FEM要把FVM變成它的一個特例了（不是太

16、明白這里哦O(_)O？）。DGM能夠保證守恒、TVD或者TVB，又能達到高精度。（注：ENO:Essentially Non-Oscillatory;WENO:Weighted ENO）回答2：從加權(quán)余量法的角度看，F(xiàn)DM 是point collocation method, FVM是 domain collocation method, 而一般提到的FEM是 galerkin method 現(xiàn)在FEM類的方法好像的確在不可壓流動模擬中應(yīng)用越來越多啊，而且可以上來就按照統(tǒng)一的方法套，在非牛頓流，和生物力學(xué)或者比較交叉的學(xué)科中很有優(yōu)勢的樣子。而且在流動穩(wěn)定性和湍流等傳統(tǒng)項目上也后勁很足。工業(yè)實際應(yīng)用中，F(xiàn)VM似乎還是占主導(dǎo)地位。不過隨著流固耦合計算推廣，F(xiàn)EM還是很有前途的。6.附錄加權(quán)殘值法、虛功原理、最小勢能原理以及變分法之間的關(guān)系最小勢能原理和虛功原理的提法為物理提法，它們有相應(yīng)的物理量表達和物理意義。加權(quán)殘值法是一種數(shù)學(xué)提法，它基于試函數(shù)來求取對原始方程的最佳逼近。變分方法提法完全是從純數(shù)學(xué)的角度來描述的，只是用方程、泛函（復(fù)合函