線性代數(shù)期末考試試卷答案合集

1、XXX大學(xué)線性代數(shù)期末考試題一、填空題（將正確答案填在題中橫線上。每小題 2分，共10分） 1311.若 05 x 0,則 。1 22x1 x2 x302 .若齊次線性方程組 x1 x2 x3 0只有零解，則 應(yīng)滿足。 x1 x2 x303 .已知矩陣A, B, C （Cij）sn,滿足AC CB,則A與B分另I是 階矩陣。a11 a124 .矩陣A a21 a22的行向量組線性 。 a31 a 325 . n階方陣A滿足A2 3A E 0 ,則A 1 。二、判斷正誤（正確的在括號(hào)內(nèi)填,錯(cuò)誤的在括號(hào)內(nèi)填“X” 。每小題2分, 共10分）1 .若行列式D中每個(gè)元素都大于零，則 D0。（）2 .零

2、向量一定可以表示成任意一組向量的線性組合。（）3 .向量組a1, a2, , am中，如果a1與am對(duì)應(yīng)的分量成比例，則向量組 a1, a2, , as線性相關(guān)。（）0 10 010 0 014 . A，貝 1 A A。（）0 0 0 10 0 105 .若 為可逆矩陣A的特征值，則A 1的特征值為三、單項(xiàng)選擇題（每小題僅有一個(gè)正確答案，將正確答案題號(hào)填入括號(hào)內(nèi)。每小題2分，共10分）1 .設(shè)A為n階矩陣，且A 2,則|AAT（）。2 . n維向量組 1,2, , s （3 s n ）線性無(wú)關(guān)的充要條件是（）1,2,中任意兩個(gè)向量都線性無(wú)關(guān)1,2,中存在一個(gè)向量不能用其余向量線性表示中任一個(gè)向

3、量都不能用其余向量線性表示2,中不含零向量3 .下列命題中正確的是（）。任意n個(gè)n 1維向量線性相關(guān)任意n個(gè)n 1維向量線性無(wú)關(guān)任意n 1個(gè)n維向量線性相關(guān)任意n 1個(gè)n維向量線性無(wú)關(guān)4 .設(shè)A, B均為n階方陣，下面結(jié)論正確的是（）。若A, B均可逆，則A B可逆若A, B均可逆,則AB可逆若A B可逆，則 A B可逆若A B可逆，則A,B均可逆5 .若1,2,3,4是線性方程組 A 0的基礎(chǔ)解系，則 1234是A 0的（解向量基礎(chǔ)解系通解A的行向量四、計(jì)算題（每小題9分,共63分）1.計(jì)算行列式2.3.4.5.bx bbbdddd設(shè) AB A 2B ,且 A(A 2E)B1(A 2E) 1

4、A11 00問(wèn)a取何值時(shí),011 0(A21_2E)21001120001200312 04312且矩陣滿足關(guān)系式X(CB) E,F列向量組線性相關(guān)為何值時(shí)，線性方程組XiXiXiX2X2X2X3X3X3程組有無(wú)窮多解時(shí)求其通解。a121212 a12122 a3有唯一解，無(wú)解和有無(wú)窮多解當(dāng)方當(dāng) 1且2時(shí)，方程組有唯一解;當(dāng) 2時(shí)方程組無(wú)解當(dāng) 1時(shí)，有無(wú)窮多組解，通解為2110Ci 1C2 000112136.設(shè)14,29,30,410.求此向量組的秩和一個(gè)極大無(wú)關(guān)11370317組，并將其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表示。1 0 07.設(shè)A 0 10,求A的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量0 2 1五、證

5、明題（7分）若A是n階方陣，且AA I, A 1證明|A I 0。其中I為單位矩陣。X X X大學(xué)線性代數(shù)期末考試題答案一、填空題1. 52.13. s s , n n4.相關(guān)5. A 3E二、判斷正誤1. X 2. V3. V 4. V 5. X三、單項(xiàng)選擇題1 .2.3.4.5.四、計(jì)算題1.2.(A 2E)B(A2E) 1B (A512E) A 423.4.ab a2,a312121 -(2a 82 -1) (2a2)當(dāng)1時(shí),向量組a1,a2, a3線性相關(guān)。5.當(dāng)當(dāng)6.a1,7.特征值2時(shí),方程組有唯一解;2時(shí)方程組無(wú)解1時(shí)，有無(wú)窮多組解，通解為a2,a3, a4CiC23 ,其中a1

6、，a2, a3構(gòu)成極大無(wú)關(guān)組,a42a12a2a30123 1 ,對(duì)于入 1 = 1,1E A 001特征向量為k 009、計(jì)算行列式D四、證明題(本題共2小題，每小題8分，滿分16分。寫出證明過(guò)程)11、若向量組3線性相關(guān)，向量組2, 3 ,4線性無(wú)關(guān)。證明:五、證明題，2 I A 0 ,I A 0一、選擇題(本題共4小題，每小題4分，滿分16分。每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 一項(xiàng)符合題目要求)1、設(shè)A, B為n階方陣，滿足等式AB 0,則必有()(A) A 0或 B 0; (B) A B 0;(0 A 0或 B 0; (D) A B 0。2、A和B均為n階矩陣，且(A B)2 A2 2AB

7、 B2 ,則必有()(A) A E;(B) BE;(C) A B .(D) AB BA。3、設(shè)A為m n矩陣，齊次方程組Ax 0僅有零解的充要條件是()(A) A的列向量線性無(wú)關(guān)；(B)A的列向量線性相關(guān)；(C) A的行向量線性無(wú)關(guān)；(D)A的行向量線性相關(guān).4、 n階矩陣A為奇異矩陣的充要條件是()(A) A的秩小于n ；(B)A 0 ;(C) A的特征值都等于零；(D)A的特征值都不等于零；二、填空題(本題共4小題，每題4分，滿分16分)5、若4階矩陣A的行列式|A 5, A是A的伴隨矩陣，則A =。6、A為 n n 階矩陣，且 A2 A 2E 0 ,則(A 2E) 三、計(jì)算題(本題共2小

8、題，每題8分，滿分16分)1 x 11111x11111 y 1 111 y10、計(jì)算n階行列式 。1 21x117、已知方程組23a 2x23無(wú)解，則a 。2 a2x343 228、一次型f (Xi,X2, x3) 2xi 3x2 tx3 2xiX2 2xX3是正 止的，則t的取 值沱圍(1)1能有2, 3線性表出;4不能由1, 2, 3線性表出。12、設(shè)A是n階矩方陣，E是n階單位矩陣，A E可逆，且f(A) (E A)(E A)證明(1) (E f (A)( E A) 2E;(2) f(f(A) A五、解答題(本題共3小題，每小題12分，滿分32分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明或演算步 驟)2 0

9、 013、設(shè) A0 3 2,求一個(gè)正交矩陣P使得P 1AP為對(duì)角矩陣。X114、已知方程組X1X1X22x24x2X3ax32a X300與方程組X1 2x2 x30a 1有公共解。求a的值15、設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3,已知1,2,3是它的三個(gè)解向量,2 13 21,234 35 4求該方程組的通解。解答和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題1、C; 2、D; 3、A; 4、A。二、填空題5、-125;6三、計(jì)算題9、解：第一行減第二行，第三行減第四行得:第二列減第一列,第四列減第二列得：Dx101（4分）按第一行展開(kāi)得 按第三列展開(kāi)得（4分）D xy3 ,再通過(guò)行列式的變10、解：把各列加到

10、第一列，然后提取第一列的公因子換化為上三角形行列式Dn1x21x23IIXnXn（4分）x IIIxn33n 1（4分）四、證明題11、證明:(1)、因?yàn)?,3線性無(wú)關(guān)，所以3線性無(wú)關(guān)。3線性相關(guān)，故1能由3線性表出。（4 分）(2)、(反正法)若不，則4能由不妨設(shè) 4 k1 1 k2 2 k3 3。由(1)知，1能由2 , 3線性表出,不妨設(shè)1 t1 2t2 3 0所以 4 k1(t1 2t23)k22 k3 3 ,4線性相關(guān)，矛盾。12、證明(1)(E f(A)(EA) E一一1 一(E A)(E A) (EA)(EA) (EA)(E A) 1(E A)(EA)(EA) 2E(4分)(2)

11、f(f(A)Ef(A)E1 f(A)由(1)得：Ef (A) 1 (E A),代入上式得1A) (E A) A 2(4分)五、解答題13、解：(1)由 E A0得A的特征值為1,(4分)(2)11的特征向量為2的特征向量為5的特征向量為(3分)(3)因?yàn)樘卣髦挡幌嗟?，則3正父。(2分)(4)將3單位化得P1委P21P3、/2(2分)(5)取 PPl, P2, P31.21.2121.21 0 0(1分)(6) P 1AP 0 2 00 0 514、解：該非齊次線性方程組 Axb對(duì)應(yīng)的齊次方程組為另一方面，記向量2 1( 23),則直接計(jì)算得(3,4,5,6)t 0 ,就是它的一個(gè)基礎(chǔ)解系。根據(jù)

12、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)知，原方程組的通解為32.43,x k 1 k, k Ro5465(7分)15、解：將與聯(lián)立得非齊次線性方程組： 若此非齊次線Tt方程組有解，則與有公共解且的解即為所求全部公共解對(duì)的增廣矩陣A作初等行變換得1 110-12a0A21 4 a01 21 a 11 1100 1 a 100 0 (a 2)(a 1)00 01 a a 1(4分)1° 當(dāng) a 1 時(shí),有 r(A) r(A)2 3 ,方程組有解，即與有公共解其全部公共解因R(A) 3,則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系有1個(gè)非零解構(gòu)成，即任何一個(gè)非零解都是(5分)它的基礎(chǔ)解系即為的通解，此時(shí)10 100 10

13、 00 0 0 00 0 0 0則方程組為齊次線性方程組，其基礎(chǔ)解系為1所以與的全部公共解為k 0 , k為任意常數(shù).1方程組有唯一解，此時(shí)(4分)20 當(dāng) a 2時(shí)，有 r(A) r(A) 3,10 000 101A 0 0 110 0 00故方程組的解為：001 ,即與有唯一公共解x 111線性代數(shù)習(xí)題和答案第一部分選擇題（共28分）(4分)單項(xiàng)選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填在題后的括號(hào)內(nèi)。 錯(cuò)選或未選均無(wú)分。1.設(shè)行列式a11a21a12a 22a13 a11a23a21=n,則行列式a11a12a13a21

14、a 22a23等于（A. m+nB. - (m+n)D. m- n2.設(shè)矩陣A=00 ,則A- 1等于（C. n - mA.1300B.01200013C.30 1010 02D.01303123.設(shè)矩陣A= 101214A是A的伴隨矩陣，則A*中位于（1,2）的元素是A.C. 2B. 6D. 24.設(shè)A是方陣，如有矩陣關(guān)系式 AB=AC則必有（）A. A = 0B. B C 時(shí) A=0C. A 0 時(shí) B=CD. | A| 0 時(shí) B=C5.已知3X4矩陣A的行向量組線性無(wú)關(guān)，則秩（AT）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.設(shè)兩個(gè)向量組a 1, a 2,，a s和0 1, 0 2,，

15、（3 s均線性相關(guān)，則（A.有不全為0的數(shù)入1,入2,，入s使人10（,1+入20（,2+入s（Xs=0和入12 +入 sB s = 0B.有不全為0的數(shù)入1,入2,，入s使入1（01+01）+入2（02+02）+s+B s） =0C.有不全為0的數(shù)入1,入2,入 s 使入 1 ( a 1-0 1)+入 2 (a 2-0 2)+入 sa s-0 s) =0D.有不全為0的數(shù)入1,入2,，入 2 a 2+入 s a s=0 和醫(yī) i B i+ 醫(yī) 27 .設(shè)矩陣A的秩為r,則人中（A.所有r - 1階子式都不為0C.至少有一個(gè)r階子式不等于08 .設(shè)Ax=b是一非齊次線性方程組，是（）A. Y

16、l+刀2是Ax=0的一個(gè)解C. Y 1- Y 2 是 Ax=0 的一個(gè)解9.設(shè)n階方陣A不可逆，則必有（A.秩（A）n=0入s和不全為0的數(shù)醫(yī)1,醫(yī)2,，（is使入iai +B 2+ 醫(yī) s B s=0）B.所有r- 1階子式全為0D.所有r階子式都不為0刀1,刀2是其任意2個(gè)解，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的B. - Y 1+- Y 2 是 Ax=b 的一個(gè)解 22Y1 1- Y 2是Ax=b的一個(gè)解）B.秩（A）=n- 1.方程組Ax=0只有零解10 .設(shè)A是一個(gè)n（3）階方陣，下列陳述中正確的是（）A.如存在數(shù)人和向量a使Aa =入a ,則a是A的屬于特征值人的特征向量B.如存在數(shù)人和非零向量 a ,

17、使（入E- A） a =0,則人是A的特征值的2個(gè)不同的特征值可以有同一個(gè)特征向量D.如入1,入2,入3是A的3個(gè)互不相同的特征值，a1, a 2, 0C3依次是A的屬于入1,入2,入3的特征向量，則0C1, a 2, a 3有可能線性相關(guān)11 .設(shè)入0是矩陣A的特征方程的3重根，A的屬于人°的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)為k,則必有（B. k<3C. k=3D. k>312 .設(shè)A是正交矩陣，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）B.| A|必為1A.| A|2 必為 1=AT的行（列）向量組是正交單位向量組13.設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，C是實(shí)可逆矩陣,TB=CAC 則(與B相似B. A與B不等

18、價(jià)C. A與B有相同的特征值D. A與B合同14.下列矩陣中是正定矩陣的為（）A.B. 31 1 1D. 1 2 01 0 2100C. 023035第二部分非選擇題（共72分）二、填空題（本大題共 10小題，每小題2分，共20分）不寫解答過(guò)程，將正確的答案寫在每小題的空格內(nèi)。錯(cuò)填或不填均無(wú)分。1 1115 . 3 5 69 25 3616 .設(shè) A= 1 1 1 . B= 1 2 3 .則 A+2B=.1 11 '12 417 .設(shè)A=（aij）3x3, |A|=2, Aj表示|A|中元素aj的代數(shù)余子式（i,j=1,2,3），則(a nA1+a12A22+a13A23) +(a 2

19、1A21+a22A22+2233) +(a 31A21+a32A22+a33A23)=18 .設(shè)向量（2,-3, 5）與向量（-4, 6, a）線性相關(guān)，則a=.19 .設(shè)A是3X4矩陣，其秩為3,若刀1,刀2為非齊次線性方程組 Ax=b的2個(gè)不 同的解，則它的通解為.20 .設(shè)A是mx n矩陣，A的秩為r（n）,則齊次線性方程組 Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系 中含有解的個(gè)數(shù)為.21 .設(shè)向量a、B的長(zhǎng)度依次為2和3,則向量a +B與a - B的內(nèi)積（a+B, a-B ）=.22 .設(shè)3階矩陣A的行列式| A|二8，已知A有2個(gè)特征值-1和4,則另一特征值023.設(shè)矩陣A= 1210310是它的一個(gè)

20、特征向量，則 a所對(duì)應(yīng)的特征值為24 .設(shè)實(shí)二次型f（x1,x 2,x 3,x 4,x 5）的秩為4,正慣性指數(shù)為3,則其規(guī)范形為三、計(jì)算題（本大題共 7小題,每小題6分，共42分）12 025 .設(shè) A= 3 4 01 2 1，B=.求（1） ABT; |4 A|.26 .試計(jì)算行列式3521110513132413427.設(shè)矩陣A= 11求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B.28.給定向量組a 1=21031_3a 2=243_ 0a 3=210_1a 4=4試判斷a，是否為ai, a 3的線性組合；若是，則求出組合系數(shù)1022660233341229 .設(shè)矩陣A= 2 42133求：（

21、1）秩（A）;（2） A的列向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組。02230 .設(shè)矩陣A= 2 3 4的全部特征值為1, 1和-8.求正交矩陣T和對(duì)角矩陣D,243使 T- 1AT=D.31 .試用配方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形f（x1,x 2,x 3）= x2 2x2 3x3 4x1x2 4x1x3 4x2x3 ,并寫出所用的滿秩線性變換。四、證明題（本大題共 2小題，每小題5分，共10分）32 .設(shè)方陣A滿足A3=0,試證明E- A可逆，且（E- A） - 2E+A+A2.33 .設(shè)“0是非齊次線性方程組 Ax=b的一個(gè)特解，H 1, H 2是其導(dǎo)出組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.試證明（1 ） Y 1= Y

22、 0+ 衛(wèi) 1 , Y 2= Y 0+ 2 均是 Ax=b 的解；（2） Y 0, Y 1 , Y 2 線性無(wú)關(guān)。答案：一、單項(xiàng)選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）二、填空題（本大題共 10空，每空2分，共20分）15. 6 16.717.4 18.-10 19.1+C( Y 2-刀1）（或刀2+C( Y 2- Y 1),c為任意常數(shù)20. n - r 21.22.-2 23. 1 24.22zi z2z3z4三、計(jì)算題（本大題共7小題,每小題6分，共42分）1225.解(1) AB= 3 41 2818361010 |4 A|=43| A|=64|26.解|A=所以 14 A=6

23、4 (- 2)1283521110513132413511051105131311005115301040.27.解 AB=A+2B 即(A-2E)B=A,(A-2E) -1所以B=(A- 2E)1A=28.解一210313243021014901005311321035103510112011220088001112001414000021230332266 .9301141189121000010000102110所以a 4=2 a 1+ a2+ a 3,組合系數(shù)為2,1,1).解二 考慮 a 4=X1 a 1+X2 a 2+X3 a 3,2x1 X2 3x3 0X1 3X212X2 2X3 43x1 4x2 X3 9.方程組有唯一解（2, 1, 1）;組合系數(shù)為2, 1, 1)29 .解對(duì)矩陣A施行初等行變換1210 20006203282096321210203283000620002171210 203283c=B.0003100000（1）秩（B） =3,所以秩（A）=秩（B） =3.（2）由于A與B的列向量組有相同的線性關(guān)系，而B(niǎo)是階梯形，B的第1、2、4列是B的列向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組，故A的第1、2、4列是A的列向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組（A的第1、2、5列或1、3、4歹或1、3、5列也是）30 .解 A的屬于特征值人=1的2個(gè)線性